En geometria, després d'un punt, una recta és potser l'element més simple. S'utilitza en la construcció de qualsevol figura complexa en el pla i en l'espai tridimensional. En aquest article, considerarem l'equació general d'una recta i resoldrem un parell de problemes utilitzant-la. Comencem!
Línia recta en geometria
Tothom sap que formes com el rectangle, el triangle, el prisma, el cub, etc. es formen mitjançant la intersecció de línies rectes. Una línia recta en geometria és un objecte unidimensional que es pot obtenir transferint un punt determinat a un vector que tingui la mateixa direcció o oposada. Per entendre millor aquesta definició, imagineu que hi ha algun punt P a l'espai. Preneu un vector arbitrari u¯ en aquest espai. Aleshores, qualsevol punt Q de la recta es pot obtenir com a resultat de les següents operacions matemàtiques:
Q=P + λu¯.
Aquí λ és un nombre arbitrari que pot ser positiu o negatiu. Si la igu altatescriviu més amunt en termes de coordenades, aleshores obtenim la següent equació d'una recta:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Aquesta igu altat s'anomena equació d'una recta en forma vectorial. I el vector u¯ s'anomena guia.
Equació general d'una recta en un pla
Tots els alumnes poden escriure-ho sense cap dificultat. Però la majoria de vegades l'equació s'escriu així:
y=kx + b.
On k i b són nombres arbitraris. El número b s'anomena membre lliure. El paràmetre k és igual a la tangent de l'angle format per la intersecció de la recta amb l'eix x.
L'equació anterior s'expressa respecte a la variable y. Si el presentem d'una forma més general, obtenim la notació següent:
Ax + By + C=0.
És fàcil demostrar que aquesta forma d'escriure l'equació general d'una recta en un pla es transforma fàcilment a la forma anterior. Per fer-ho, les parts esquerra i dreta s'han de dividir pel factor B i expressar y.
La figura de d alt mostra una línia recta que passa per dos punts.
Una línia a l'espai 3D
Continuem el nostre estudi. Hem considerat la qüestió de com es dóna l'equació d'una recta en una forma general en un pla. Si apliquem la notació donada en el paràgraf anterior de l'article per al cas espacial, què obtindrem? Tot és senzill: ja no és una línia recta, sinó un avió. De fet, l'expressió següent descriu un pla que és paral·lel a l'eix z:
Ax + By + C=0.
Si C=0, llavors aquest pla passaa través de l'eix z. Aquesta és una característica important.
Com ser llavors amb l'equació general d'una recta a l'espai? Per entendre com demanar-ho, cal recordar alguna cosa. Dos plans es tallen al llarg d'una recta determinada. Què vol dir això? Només que l'equació general és el resultat de resoldre un sistema de dues equacions per a plans. Escrivim aquest sistema:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Aquest sistema és l'equació general d'una recta en l'espai. Tingueu en compte que els plans no han de ser paral·lels entre si, és a dir, els seus vectors normals han d'estar inclinats en algun angle entre ells. En cas contrari, el sistema no tindrà solucions.
A d alt hem donat la forma vectorial de l'equació per a una recta. És convenient utilitzar-lo per resoldre aquest sistema. Per fer-ho, primer cal trobar el producte vectorial de les normals d'aquests plans. El resultat d'aquesta operació serà un vector de direcció d'una recta. Aleshores, cal calcular qualsevol punt pertanyent a la línia. Per fer-ho, cal que qualsevol de les variables sigui igual a un valor determinat, les dues variables restants es poden trobar resolent el sistema reduït.
Com traduir una equació vectorial a una de general? Matisos
Aquest és un problema real que pot sorgir si necessiteu escriure l'equació general d'una recta utilitzant les coordenades conegudes de dos punts. Mostrem com es resol aquest problema amb un exemple. Coneixem les coordenades de dos punts:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
L'equació en forma vectorial és bastant fàcil de compondre. Les coordenades del vector de direcció són:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Tingueu en compte que no hi ha cap diferència si restem les coordenades Q de les coordenades del punt P, el vector només canviarà la seva direcció cap al contrari. Ara hauríeu de prendre qualsevol punt i escriure l'equació vectorial:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Per escriure l'equació general d'una recta, el paràmetre λ s'ha d'expressar en tots dos casos. I després compareu els resultats. Tenim:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Només queda obrir els claudàtors i transferir tots els termes de l'equació a un costat de l'equació per obtenir una expressió general per a una recta que passa per dos punts coneguts.
En el cas d'un problema tridimensional, es conserva l'algorisme de solució, només el seu resultat serà un sistema de dues equacions per a plans.
Tasca
Cal fer una equació generaluna recta que talla l'eix x a (-3, 0) i és paral·lela a l'eix y.
Comencem a resoldre el problema escrivint l'equació en forma vectorial. Com que la recta és paral·lela a l'eix y, el vector que la dirigeix serà el següent:
u¯=(0, 1).
A continuació, la línia desitjada s'escriurà de la següent manera:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Ara traduïm aquesta expressió a una forma general, per a això expressem el paràmetre λ:
- x=-3;
- y=λ.
Així, qualsevol valor de la variable y pertany a la línia, però només li correspon el valor únic de la variable x. Per tant, l'equació general tindrà la forma:
x + 3=0.
Problema amb una línia recta a l'espai
Se sap que dos plans que es tallen estan donats per les equacions següents:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Cal trobar l'equació vectorial de la recta al llarg de la qual es tallen aquests plans. Comencem.
Com es va dir, l'equació general d'una recta en un espai tridimensional ja es dóna en forma d'un sistema de dos amb tres incògnites. En primer lloc, determinem el vector de direcció al llarg del qual es tallen els plans. Multiplicant les coordenades vectorials de les normals als plans, obtenim:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Com que multiplicar un vector per un nombre negatiu inverteix la seva direcció, podem escriure:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Aper trobar una expressió vectorial per a una recta, a més del vector de direcció, cal conèixer algun punt d'aquesta recta. Troba com que les seves coordenades han de satisfer el sistema d'equacions en la condició del problema, llavors les trobarem. Per exemple, posem x=0, llavors obtenim:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Així, el punt que pertany a la recta desitjada té les coordenades:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Aleshores obtenim la resposta a aquest problema, l'equació vectorial de la línia desitjada serà així:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
La correcció de la solució es pot comprovar fàcilment. Per fer-ho, heu de triar un valor arbitrari del paràmetre λ i substituir les coordenades obtingudes del punt de la recta en les dues equacions dels plans, obtindreu una identitat en tots dos casos.
