Què és un prisma recte? Propietats i fórmules. Exemple de tasca

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 05:19

L'estereometria és l'estudi de les característiques de les formes geomètriques tridimensionals. Una de les figures volumètriques conegudes que apareixen en problemes de geometria és un prisma recte. Considerem en aquest article què és, i també descrivim amb detall un prisma amb una base triangular.

Prism i els seus tipus

Un prisma és una figura que es forma com a resultat de la translació paral·lela d'un polígon a l'espai. Com a resultat d'aquesta operació geomètrica, es forma una figura, formada per diversos paral·lelograms i dos polígons idèntics paral·lels entre si. Els paral·lelograms són els costats del prisma i els polígons en són les bases.

Qualsevol prisma té n+2 costats, 3n arestes i 2n vèrtexs, on n és el nombre de cantonades o costats de la base poligonal. La imatge mostra un prisma pentagonal que té 7 costats, 10 vèrtexs i 15 arestes.

La classe de figures considerada està representada per diversos tipus de prismes. Els enumerem breument:

• còncava i convexa;
• oblic i recte;
• incorrecte i correcta.

Cada figura pertany a un dels tres tipus de classificació enumerats. Quan es resolen problemes geomètrics, és més fàcil realitzar càlculs per a prismes regulars i rectes. Aquest últim es parlarà amb més detall als paràgrafs següents de l'article.

Què és un prisma recte?

Un prisma recte és un prisma còncau o convex, regular o irregular, en el qual tots els costats estan representats per quadrilàters amb angles de 90°. Si almenys un dels quadrangles dels costats no és un rectangle o un quadrat, el prisma s'anomena oblic. També es pot donar una altra definició: un prisma recte és una figura d'una classe determinada en la qual qualsevol aresta lateral és igual a l'alçada. Sota l'alçada h del prisma, s'assumeix la distància entre les seves bases.

Les dues definicions donades que és un prisma directe són iguals i autosuficients. D'ells es dedueix que tots els angles díedrics entre qualsevol de les bases i cada costat són de 90°.

A d alt es va dir que és convenient treballar amb figures rectes a l'hora de resoldre problemes. Això es deu al fet que l'alçada coincideix amb la longitud de la costella lateral. Aquest darrer fet facilita el procés de càlcul del volum d'una figura i l'àrea de la seva superfície lateral.

Volum d'un prisma directe

Volum - un valor inherent a qualsevol figura espacial, que reflecteix numèricament la part de l'espai tancada entre les superfícies de l'espai considerat.objecte. El volum d'un prisma es pot calcular mitjançant la fórmula general següent:

V=S_oh.

És a dir, el producte de l'alçada i l'àrea de la base donarà el valor desitjat V. Com que les bases d'un prisma recte són iguals, cal determinar l'àrea S_o podeu prendre qualsevol d'ells.

L'avantatge d'utilitzar la fórmula anterior específicament per a un prisma recte en comparació amb els seus altres tipus és que és molt fàcil trobar l'alçada de la figura, ja que coincideix amb la longitud de la vora lateral.

Zona lateral

És convenient calcular no només el volum d'una figura recta de la classe en qüestió, sinó també la seva superfície lateral. De fet, qualsevol costat és un rectangle o un quadrat. Cada estudiant sap com calcular l'àrea d'aquestes figures planes, per a això cal multiplicar els costats adjacents entre si.

Suposem que la base del prisma és un n-gon arbitrari els costats del qual són iguals a a_i. L'índex i va de l'1 al n. L'àrea d'un rectangle es calcula així:

S_i=a_ih.

L'àrea de la superfície lateral S_b és fàcil de calcular si sumes totes les àrees S_i rectangles. En aquest cas, obtenim la fórmula final per a S_bprisma recte:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Per tant, per determinar l'àrea de la superfície lateral d'un prisma recte, heu de multiplicar la seva alçada pel perímetre d'una base.

Problema amb un prisma triangular

Suposem que es dóna un prisma recte. La base és un triangle rectangle. Els catets d'aquest triangle fan 12 cm i 8 cm. Cal calcular el volum de la figura i la seva àrea total si l'alçada del prisma és de 15 cm.

Primer, calculem el volum d'un prisma recte. El triangle (rectangular) situat a les seves bases té una àrea:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48 cm².

Com podeu suposar, a₁ i a₂ són potes en aquesta equació. Coneixent l'àrea base i l'alçada (vegeu l'estat del problema), podeu utilitzar la fórmula per a V:

V=S_oh=4815=720 cm³.

L'àrea total de la figura està formada per dues parts: les zones de les bases i la superfície lateral. Les àrees de les dues bases són:

S_2o=2S_o=482=96 cm².

Per calcular l'àrea de la superfície lateral, cal conèixer el perímetre d'un triangle rectangle. Calcula amb el teorema de Pitàgores la seva hipotenusa a₃, tenim:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Llavors el perímetre del triangle de la base del prisma dret serà:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Aplicant la fórmula per a S_b, que es va escriure al paràgraf anterior,obtenir:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Afegim les àrees de S_2o i S_b, obtenim l'àrea de superfície total de la figura geomètrica estudiada:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3 cm^2.

Un prisma triangular, que està fet de tipus especials de vidre, s'utilitza en òptica per estudiar els espectres dels objectes que emeten llum. Aquests prismes són capaços de descompondre la llum en freqüències de components a causa del fenomen de dispersió.