Quan es resolen problemes geomètrics a l'espai, sovint n'hi ha en què cal calcular els angles entre diferents objectes espacials. En aquest article, considerarem la qüestió de trobar angles entre plans i entre ells i una recta.
Línia a l'espai
Se sap que absolutament qualsevol línia recta del pla es pot definir amb la igu altat següent:
y=ax + b
Aquí a i b hi ha alguns números. Si representem una recta a l'espai amb la mateixa expressió, obtenim un pla paral·lel a l'eix z. Per a la definició matemàtica de la línia espacial, s'utilitza un mètode de solució diferent que en el cas bidimensional. Consisteix a utilitzar el concepte de "vector de direcció".
El vector directiu d'una línia recta mostra la seva orientació en l'espai. Aquest paràmetre pertany a la línia. Com que hi ha un conjunt infinit de vectors paral·lels a l'espai, per tal de determinar de manera única l'objecte geomètric considerat, també cal conèixer les coordenades del punt que li pertany.
Suposem que n'hi hapunt P(x0; y0; z0) i el vector de direcció v¯(a; b; c), llavors l'equació d'una recta es pot donar de la següent manera:
(x; y; z)=P + αv¯ o
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Aquesta expressió s'anomena equació vectorial paramètrica d'una recta. El coeficient α és un paràmetre que pot prendre absolutament qualsevol valor real. Les coordenades d'una línia es poden representar explícitament expandint aquesta igu altat:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Equació del pla
Hi ha diverses formes d'escriure una equació per a un pla a l'espai. Aquí considerarem un d'ells, que s'utilitza més sovint quan es calculan els angles entre dos plans o entre un d'ells i una recta.
Si es coneix algun vector n¯(A; B; C), que és perpendicular al pla desitjat, i el punt P(x0; y 0; z0), que li pertany, llavors l'equació general d'aquest últim és:
Ax + By + Cz + D=0 on D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Hem omès la derivació d'aquesta expressió, que és força senzilla. Aquí només observem que, coneixent els coeficients de les variables de l'equació del pla, es poden trobar fàcilment tots els vectors que hi són perpendiculars. Aquestes últimes s'anomenen normals i s'utilitzen per calcular els angles entre l'inclinat i el pla i entreanàlegs arbitraris.
La ubicació dels plans i la fórmula de l'angle entre ells
Diguem que hi ha dos avions. Quines són les opcions per a la seva posició relativa a l'espai. Com que el pla té dues dimensions infinites i un zero, només són possibles dues opcions per a la seva orientació mútua:
- seran paral·lels entre ells;
- poden superposar-se.
L'angle entre plans és l'índex entre els seus vectors de direcció, és a dir, entre els seus normals n1¯ i n2¯.
Òbviament, si són paral·lels al pla, l'angle d'intersecció és zero entre ells. Si es creuen, aleshores és diferent de zero, però sempre nítid. Un cas especial d'intersecció serà l'angle 90o, quan els plans són mútuament perpendiculars entre si.
L'angle α entre n1¯ i n2¯ es determina fàcilment a partir del producte escalar d'aquests vectors. És a dir, la fórmula té lloc:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Suposem que les coordenades d'aquests vectors són: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Aleshores, utilitzant les fórmules per calcular el producte escalar i els mòduls dels vectors a través de les seves coordenades, l'expressió anterior es pot reescriure com:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
El mòdul del numerador va aparèixer perquè per excloure els valors dels angles obtusos.
Exemples de resolució de problemes per determinar l'angle d'intersecció de plans
Saber trobar l'angle entre els plans, resoldrem el següent problema. Es donen dos plans, les equacions dels quals són:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Quin és l'angle entre els plans?
Per respondre a la pregunta del problema, recordem que els coeficients de les variables de l'equació general del pla són les coordenades del vector guia. Per als plans indicats tenim les següents coordenades de les seves normals:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Ara trobem el producte escalar d'aquests vectors i els seus mòduls, tenim:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Ara pots substituir els números trobats a la fórmula que es dóna al paràgraf anterior. Obtenim:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
El valor resultant correspon a un angle agut d'intersecció dels plans especificats a la condiciótasques.
Ara considereu un altre exemple. Donats dos avions:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
S'entrecreuen? Escrivim els valors de les coordenades dels seus vectors de direcció, calculem el seu producte escalar i mòduls:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Llavors l'angle d'intersecció és:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Aquest angle indica que els plans no es tallen, sinó que són paral·lels. El fet que no coincideixen entre si és fàcil de comprovar. Prenem per a això un punt arbitrari pertanyent al primer d'ells, per exemple, P(0; 3; 2). Substituint les seves coordenades a la segona equació, obtenim:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
És a dir, el punt P només pertany al primer pla.
Així que dos plans són paral·lels quan les seves normals ho són.
Plànol i línia recta
En el cas de considerar la posició relativa entre un pla i una recta, hi ha diverses opcions més que amb dos plans. Aquest fet està relacionat amb el fet que la línia recta és un objecte unidimensional. La línia i l'avió poden ser:
- mútuament paral·lel, en aquest cas el pla no talla la recta;
- aquest últim pot pertànyer al pla, mentre que també serà paral·lel a aquest;
- ambdós objectes podentalla en algun angle.
Considerem primer l'últim cas, ja que requereix la introducció del concepte d'angle d'intersecció.
Línia i pla, l'angle entre ells
Si una recta talla un pla, llavors s'anomena inclinada respecte a aquest. El punt d'intersecció s'anomena base del talús. Per determinar l'angle entre aquests objectes geomètrics, cal baixar una recta perpendicular al pla des de qualsevol punt. Aleshores el punt d'intersecció de la perpendicular amb el pla i el lloc d'intersecció de la línia inclinada amb ell formen una recta. Aquesta última s'anomena projecció de la línia original sobre el pla considerat. L'angle agut entre la línia i la seva projecció és el requerit.
Una definició una mica confusa de l'angle entre un pla i un oblic aclareix la figura següent.
Aquí l'angle ABO és l'angle entre la recta AB i el pla a.
Per escriure la fórmula, considereu un exemple. Sigui una recta i un pla, que es descriuen per les equacions:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
És fàcil calcular l'angle desitjat per a aquests objectes si trobeu el producte escalar entre els vectors de direcció de la recta i el pla. L'angle agut resultant s'ha de restar de 90o i després s'obté entre una recta i un pla.
La figura anterior mostra l'algorisme descrit per trobarangle considerat. Aquí β és l'angle entre la normal i la recta, i α és entre la recta i la seva projecció sobre el pla. Es pot veure que la seva suma és 90o.
A d alt, es va presentar una fórmula que respon a la pregunta de com trobar un angle entre plans. Ara donem l'expressió corresponent per al cas d'una recta i un pla:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
El mòdul de la fórmula només permet calcular angles aguts. La funció arcsinus va aparèixer en lloc de l'arcosinus a causa de l'ús de la fórmula de reducció corresponent entre funcions trigonomètriques (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problema: un avió talla una recta
Ara mostrem com treballar amb la fórmula anterior. Anem a resoldre el problema: cal calcular l'angle entre l'eix y i el pla donat per l'equació:
y - z + 12=0
Aquest avió es mostra a la imatge.
Podeu veure que talla els eixos y i z als punts (0; -12; 0) i (0; 0; 12), respectivament, i és paral·lel a l'eix x.
El vector de direcció de la recta y té coordenades (0; 1; 0). Un vector perpendicular a un pla donat es caracteritza per les coordenades (0; 1; -1). Apliquem la fórmula per a l'angle d'intersecció d'una recta i un pla, obtenim:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Problema: recta paral·lela al pla
Ara decidimsimilar al problema anterior, la pregunta del qual es planteja de manera diferent. Es coneixen les equacions del pla i la recta:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Cal esbrinar si aquests objectes geomètrics són paral·lels entre ells.
Tenim dos vectors: la direcció de la recta és (0; 2; 2) i la direcció del pla és (1; 1; -1). Trobeu el seu producte puntual:
01 + 12 - 12=0
El zero resultant indica que l'angle entre aquests vectors és de 90o, la qual cosa demostra que la recta i el pla són paral·lels.
Ara comprovem si aquesta recta només és paral·lela o també es troba en el pla. Per fer-ho, seleccioneu un punt arbitrari de la línia i comproveu si pertany al pla. Per exemple, prenem λ=0, aleshores el punt P(1; 0; 0) pertany a la recta. Substitueix a l'equació del pla P:
1 - 3=-2 ≠ 0
El punt P no pertany al pla, la qual cosa significa que tampoc hi està tota la línia.
On és important conèixer els angles entre els objectes geomètrics considerats?
Les fórmules anteriors i els exemples de resolució de problemes no són només d'interès teòric. Sovint s'utilitzen per determinar quantitats físiques importants de figures tridimensionals reals, com ara prismes o piràmides. És important poder determinar l'angle entre els plans a l'hora de calcular els volums de les figures i les àrees de les seves superfícies. A més, si en el cas d'un prisma recte és possible no utilitzar aquestes fórmules per determinarvalors especificats, aleshores per a qualsevol tipus de piràmide el seu ús és inevitable.
A continuació, considereu un exemple d'ús de la teoria anterior per determinar els angles d'una piràmide amb una base quadrada.
Piràmide i els seus racons
La figura següent mostra una piràmide, a la base de la qual hi ha un quadrat de costat a. L'alçada de la figura és h. Cal trobar dos racons:
- entre la superfície lateral i la base;
- entre la costella lateral i la base.
Per resoldre el problema, primer has d'entrar al sistema de coordenades i determinar els paràmetres dels vèrtexs corresponents. La figura mostra que l'origen de les coordenades coincideix amb el punt del centre de la base quadrada. En aquest cas, el pla base es descriu per l'equació:
z=0
És a dir, per a qualsevol x i y, el valor de la tercera coordenada sempre és zero. El pla lateral ABC talla l'eix z en el punt B(0; 0; h) i l'eix y en el punt amb les coordenades (0; a/2; 0). No travessa l'eix x. Això vol dir que l'equació del pla ABC es pot escriure com:
y/(a /2) + z/h=1 o
2hy + az - ah=0
Vector AB¯ és una vora lateral. Les seves coordenades inicial i final són: A(a/2; a/2; 0) i B(0; 0; h). Aleshores les coordenades del propi vector:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Hem trobat totes les equacions i vectors necessaris. Ara queda utilitzar les fórmules considerades.
Primer calculem a la piràmide l'angle entre els plans de la basei costat. Els vectors normals corresponents són: n1¯(0; 0; 1) i n2¯(0; 2h; a). Llavors l'angle serà:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
L'angle entre el pla i l'aresta AB serà:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Resta substituir els valors específics del costat de la base a i l'alçada h per obtenir els angles requerits.
