Piràmide triangular i fórmules per determinar la seva àrea

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 05:19

La piràmide és una figura geomètrica espacial, les característiques de la qual s'estudien a l'institut en el curs de geometria sòlida. En aquest article, considerarem una piràmide triangular, els seus tipus, així com fórmules per calcular la seva superfície.

De quina piràmide estem parlant?

Una piràmide triangular és una figura que es pot obtenir connectant tots els vèrtexs d'un triangle arbitrari amb un sol punt que no es troba en el pla d'aquest triangle. Segons aquesta definició, la piràmide considerada hauria de constar d'un triangle inicial, que s'anomena base de la figura, i tres triangles laterals que tinguin un costat comú amb la base i estiguin connectats entre si en un punt. Aquesta última s'anomena la part superior de la piràmide.

La imatge de d alt mostra una piràmide triangular arbitrària.

La figura considerada pot ser obliqua o recta. En aquest últim cas, la perpendicular caiguda des de la part superior de la piràmide fins a la seva base l'ha de tallar en el centre geomètric. el centre geomètric de qualsevolEl triangle és el punt d'intersecció de les seves mitjanes. El centre geomètric coincideix amb el centre de masses de la figura en física.

Si un triangle regular (equilàter) es troba a la base d'una piràmide recta, s'anomena triangular regular. En una piràmide regular, tots els costats són iguals entre si i són triangles equilàters.

Si l'alçada d'una piràmide regular és tal que els seus triangles laterals esdevenen equilàters, llavors s'anomena tetraedre. En un tetraedre, les quatre cares són iguals entre si, de manera que cadascuna d'elles es pot considerar una base.

Elements de la piràmide

Aquests elements inclouen les cares o els costats d'una figura, les seves arestes, vèrtexs, alçada i apotemes.

Com es mostra, tots els costats d'una piràmide triangular són triangles. El seu número és 4 (3 laterals i un a la base).

Els vèrtexs són els punts d'intersecció dels tres costats triangulars. No és difícil endevinar que per a la piràmide considerada n'hi ha 4 (3 pertanyen a la base i 1 a la part superior de la piràmide).

Les arestes es poden definir com a línies que tallen dos costats triangulars o com a línies que connecten cada dos vèrtexs. El nombre d'arestes correspon al doble del nombre de vèrtexs de la base, és a dir, per a una piràmide triangular és 6 (3 arestes pertanyen a la base i 3 arestes estan formades per les cares laterals).

L'alçada, com s'ha indicat anteriorment, és la longitud de la perpendicular dibuixada des de la part superior de la piràmide fins a la seva base. Si dibuixem altures des d'aquest vèrtex a cada costat de la base triangular,llavors s'anomenaran apotemes (o apotemes). Així, la piràmide triangular té una alçada i tres apotemes. Aquests últims són iguals entre si per a una piràmide normal.

La base de la piràmide i la seva àrea

Com que la base de la figura en qüestió és generalment un triangle, per calcular la seva àrea n'hi ha prou amb trobar la seva alçada h_o i la longitud del costat de la base a, sobre la qual es baixa. La fórmula per a l'àrea S_o de la base és:

S_o=1/2h_oa

Si el triangle de la base és equilàter, l'àrea de la base de la piràmide triangular es calcula amb la fórmula següent:

S_o=√3/4a²

És a dir, l'àrea S_o està determinada exclusivament per la longitud del costat a de la base triangular.

Àrea lateral i total de la figura

Abans de considerar l'àrea d'una piràmide triangular, és útil mostrar el seu desenvolupament. A continuació es mostra a la foto.

L'àrea d'aquest escombrat formada per quatre triangles és l'àrea total de la piràmide. Un dels triangles correspon a la base, la fórmula del valor considerat de la qual s'ha escrit més amunt. Tres cares triangulars laterals juntes formen l'àrea lateral de la figura. Per tant, per determinar aquest valor, n'hi ha prou d'aplicar la fórmula anterior per a un triangle arbitrari a cadascun d'ells i després afegir els tres resultats.

Si la piràmide és correcta, llavors el càlcules facilita la superfície lateral, ja que totes les cares laterals són triangles equilàters idèntics. Indica h_bla longitud de l'apotema, i després l'àrea de la superfície lateral S_b es pot determinar de la següent manera:

S_b=3/2ah_b

Aquesta fórmula es desprèn de l'expressió general per a l'àrea d'un triangle. El número 3 va aparèixer als numeradors a causa del fet que la piràmide té tres cares laterals.

Apotema h_b en una piràmide regular es pot calcular si es coneix l'alçada de la figura h. Aplicant el teorema de Pitàgores, obtenim:

h_b=√(h²+ a²/12)

Òbviament, l'àrea total S de la superfície de la figura és igual a la suma de les seves àrees laterals i base:

S=S_o+ S_b

Per a una piràmide normal, substituint tots els valors coneguts, obtenim la fórmula:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

L'àrea d'una piràmide triangular depèn només de la longitud del costat de la seva base i de l'alçada.

Problema d'exemple

Se sap que la vora lateral d'una piràmide triangular és de 7 cm, i el costat de la base és de 5 cm. Cal trobar la superfície de la figura si sabeu que la piràmide és normal.

Utilitza una igu altat general:

S=S_o+ S_b

Àrea S_o és igual a:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

Per determinar la superfície lateral, cal trobar l'apotema. No és difícil demostrar que a través de la longitud de la vora lateral a_b ve determinat per la fórmula:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Llavors, l'àrea de S_b és:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

L'àrea total de la piràmide és:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Tingueu en compte que en resoldre el problema, no hem utilitzat el valor de l'alçada de la piràmide en els càlculs.