Polinomi, o polinomi: una de les estructures algebraiques bàsiques, que es troba a les matemàtiques escolars i superiors. L'estudi d'un polinomi és el tema més important en un curs d'àlgebra, ja que, d'una banda, els polinomis són força simples en comparació amb altres tipus de funcions, i, d' altra banda, són molt utilitzats en la resolució de problemes d'anàlisi matemàtica.. Aleshores, què és un polinomi?
Definició
La definició del terme polinomi es pot donar mitjançant el concepte de monomi, o monomi.
Un monomi és una expressió de la forma cx1i1x2 i2 …x en. Aquí с és una constant, x1, x2, … x - variables, i1, i2, … en - Exponents de variables. Aleshores un polinomi és qualsevol suma finita de monomis.
Per entendre què és un polinomi, podeu mirar exemples concrets.
El trinomi quadrat, tractat en detall al curs de matemàtiques de 8è, és un polinomi: ax2+bx+c.
Un polinomi amb dues variables pot semblar així: x2-xy+y2. Talun polinomi també s'anomena quadrat incomplet de la diferència entre x i y.
Classificacions polinomials
Grau polinomi
Per a cada monomi del polinomi, troba la suma dels exponents i1+i2+…+in. La més gran de les sumes s'anomena exponent del polinomi, i el monomi corresponent a aquesta suma s'anomena terme més alt.
Per cert, qualsevol constant es pot considerar un polinomi de grau zero.
Polinomis reduïts i no reduïts
Si el coeficient c és igual a 1 per al terme més alt, es dóna el polinomi, en cas contrari no ho és.
Per exemple, l'expressió x2+2x+1 és un polinomi reduït i 2x2+2x+1 no es redueix.
Polinomis homogenis i no homogenis
Si els graus de tots els membres d'un polinomi són iguals, aleshores diem que aquest polinomi és homogeni. Tots els altres polinomis es consideren no homogenis.
Polinomis homogenis: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogeni: x+1, x2+y.
Hi ha noms especials per a un polinomi de dos i tres termes: binomi i trinomi, respectivament.
Els polinomis d'una variable s'assignen en una categoria separada.
Aplicació d'un polinomi d'una variable
Els polinomis d'una variable aproximen funcions ben contínues de complexitat variable a partir d'un argument.
El fet és que aquests polinomis es poden considerar com a sumes parcials d'una sèrie de potències, i una funció contínua es pot representar com una sèrie amb un error arbitràriament petit. Les sèries d'expansió d'una funció s'anomenen sèries de Taylor, i les sevessumes parcials en forma de polinomis: polinomis de Taylor.
Estudiar gràficament el comportament d'una funció aproximant-lo amb algun polinomi sovint és més fàcil que investigar directament la mateixa funció o utilitzar una sèrie.
És fàcil cercar derivades de polinomis. Per trobar les arrels dels polinomis de grau 4 i inferior, hi ha fórmules ja fetes i, per treballar amb graus superiors, s'utilitzen algorismes aproximats d' alta precisió.
També hi ha una generalització dels polinomis descrits per a funcions de diverses variables.
binomi de Newton
Els polinomis famosos són polinomis de Newton, derivats pels científics per trobar els coeficients de l'expressió (x + y).
N'hi ha prou amb mirar les primeres potències de la descomposició binomial per assegurar-se que la fórmula no és trivial:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Per a cada coeficient hi ha una expressió que permet calcular-lo. Tanmateix, memoritzar fórmules feixugues i realitzar les operacions aritmètiques necessàries cada vegada seria extremadament incòmode per a aquells matemàtics que sovint necessiten aquestes expansions. El triangle de Pascal els va fer la vida molt més fàcil.
La figura es construeix d'acord amb el principi següent. 1 s'escriu a la part superior del triangle, i en cada línia següent es converteix en un dígit més, 1 es posa a les vores i el mig de la línia s'omple amb la suma de dos nombres adjacents de l'anterior.
Quan mireu la il·lustració, tot queda clar.
Per descomptat, l'ús de polinomis en matemàtiques no es limita als exemples donats, els més coneguts.
