Leonhard Euler (1707-1783) - famós matemàtic suís i rus, membre de l'Acadèmia de Ciències de Sant Petersburg, va viure la major part de la seva vida a Rússia. El més famós en anàlisi matemàtica, estadística, informàtica i lògica és el cercle d'Euler (diagrama d'Euler-Venn), utilitzat per indicar l'abast dels conceptes i conjunts d'elements.
John Venn (1834-1923) - filòsof i lògic anglès, coautor del diagrama d'Euler-Venn.
Conceptes compatibles i incompatibles
Sota el concepte en lògica significa una forma de pensament que reflecteix les característiques essencials d'una classe d'objectes homogenis. Es denoten amb una o un grup de paraules: “mapa del món”, “acord de quinta-setena dominant”, “dilluns”, etc.
En el cas que els elements de l'abast d'un concepte pertanyin totalment o parcialment a l'àmbit d'un altre, es parla de conceptes compatibles. Tanmateix, si cap element de l'abast d'un determinat concepte pertany a l'àmbit d'un altre, tenim conceptes incompatibles.
Al seu torn, cada tipus de concepte té el seu propi conjunt de possibles relacions. Per als conceptes compatibles, aquests són:
- identitat (equivalència) de volums;
- crossing (concordança parcial)volums;
- subordinació (subordinació).
Per a incompatibles:
- subordinació (coordinació);
- oposat (contrararalitat);
- contradicció (contradicció).
De manera esquemàtica, les relacions entre conceptes en lògica solen indicar-se mitjançant cercles d'Euler-Venn.
Relacions equivalents
En aquest cas, els conceptes signifiquen el mateix tema. En conseqüència, els volums d'aquests conceptes són completament els mateixos. Per exemple:
A - Sigmund Freud;
B és el fundador de la psicoanàlisi.
O:
A és un quadrat;
B és un rectangle equilàter;
C és un rombe equiangular.
Per a la designació s'utilitzen cercles d'Euler que coincideixen completament.
Intersecció (concordança parcial)
Aquesta categoria inclou conceptes que tenen elements comuns relacionats amb l'encreuament. És a dir, el volum d'un dels conceptes s'inclou parcialment en el volum de l' altre:
A - professor;
B és un amant de la música.
Com es pot veure en aquest exemple, els volums de conceptes coincideixen parcialment: un determinat grup de professors pot resultar ser amants de la música, i viceversa, hi pot haver representants de la professió docent entre els amants de la música. Una actitud similar serà en el cas quan el concepte A sigui, per exemple, un "ciutadà" i B un "conductor".
Subordinació (subordinació)
Denotada esquemàticament com a cercles d'Euler de diferents escales. Relacionsentre conceptes en aquest cas es caracteritzen pel fet que el concepte subordinat (més petit en volum) està totalment inclòs en el subordinat (més gran en volum). Al mateix temps, el concepte de subordinat no esgota completament el de subordinat.
Per exemple:
A - arbre;
B - pi.
El concepte B estarà subordinat al concepte A. Com que el pi pertany als arbres, el concepte A en aquest exemple passa a ser subordinat, "absorbint" l'abast del concepte B.
Coordinació (coordinació)
La relació caracteritza dos o més conceptes que s'exclouen, però pertanyen a un cercle genèric comú determinat. Per exemple:
A – clarinet;
B - guitarra;
C - violí;
D és un instrument musical.
Els conceptes A, B i C no es creuen entre si, però tots pertanyen a la categoria d'instruments musicals (el concepte D).
Contrària (al contrari)
Les relacions oposades entre conceptes impliquen que aquests conceptes pertanyen al mateix gènere. Al mateix temps, un dels conceptes té certes propietats (característiques), mentre que l' altre les nega, substituint-les per altres oposades a la naturalesa. Per tant, estem davant d'antònims. Per exemple:
A és un nan;
B és un gegant.
Cercle d'Euler amb relacions oposades entre conceptesestà dividit en tres segments, el primer dels quals correspon al concepte A, el segon al concepte B i el tercer a tots els altres conceptes possibles.
Contradicció (contradicció)
En aquest cas, tots dos conceptes són espècies del mateix gènere. Com en l'exemple anterior, un dels conceptes indica certes qualitats (característiques), mentre que l' altre les nega. Tanmateix, a diferència de la relació d'oposats, el segon concepte oposat no substitueix les propietats negues per altres alternatives. Per exemple:
A és una tasca difícil;
B és una tasca fàcil (no A).
Expressant el volum de conceptes d'aquesta mena, el cercle d'Euler es divideix en dues parts: el tercer enllaç intermedi en aquest cas no existeix. Així, els conceptes també són antònims. Al mateix temps, un d'ells (A) esdevé positiu (afirmant alguna característica), i el segon (B o no A) esdevé negatiu (negant la característica corresponent): "paper blanc" - "no paper blanc", " història nacional” – “història estrangera”, etc.
Així, la proporció dels volums de conceptes en relació entre si és una característica clau que defineix els cercles d'Euler.
Relacions entre conjunts
També cal distingir entre els conceptes d'elements i conjunts, el volum dels quals es mostra amb cercles d'Euler. El concepte de conjunt està manllevat de la ciència matemàtica i té un significat força ampli. Els exemples de lògica i matemàtiques el mostren com un determinat conjunt d'objectes. Els objectes en si ho sónelements d'aquest conjunt. "Molts són molts es pensen com un" (Georg Kantor, fundador de la teoria de conjunts).
Els conjunts es designen amb lletres majúscules: A, B, C, D… etc., els elements dels conjunts es designen amb lletres minúscules: a, b, c, d… etc. Exemples de conjunt poden ser estudiants que estan en una classe, llibres en un prestatge determinat (o, per exemple, tots els llibres d'una biblioteca determinada), pàgines d'un diari, baies en una clariana del bosc, etc.
Al seu torn, si un determinat conjunt no conté un sol element, llavors s'anomena buit i es denota amb el signe Ø. Per exemple, el conjunt de punts d'intersecció de rectes paral·leles, el conjunt de solucions de l'equació x2=-5.
Resolució de problemes
Els cercles
Euler s'utilitzen activament per resoldre un gran nombre de problemes. Els exemples en lògica demostren clarament la connexió entre les operacions lògiques i la teoria de conjunts. En aquest cas, s'utilitzen taules de veritat dels conceptes. Per exemple, el cercle etiquetat amb A representa la regió de la veritat. Així, l'àrea fora del cercle representarà fals. Per determinar l'àrea del diagrama per a una operació lògica, hauríeu d'ombrejar les àrees que defineixen el cercle d'Euler, en què els seus valors per als elements A i B seran certs.
L'ús dels cercles d'Euler ha trobat una àmplia aplicació pràctica en diverses indústries. Per exemple, en una situació amb una elecció professional. Si el subjecte està preocupat per l'elecció d'una futura professió, es pot guiar pels criteris següents:
W: què m'agrada fer?
D: què estic fent?
P– Com puc guanyar bons diners?
Dibuixem això com a diagrama: cercles d'Euler (exemples de relació lògica - intersecció):
El resultat seran aquelles professions que es trobaran a la intersecció dels tres cercles.
Els cercles d'Euler-Venn ocupen un lloc separat a les matemàtiques (teoria de conjunts) quan es calculen combinacions i propietats. Els cercles d'Euler del conjunt d'elements estan tancats a la imatge d'un rectangle que denota el conjunt universal (U). En lloc de cercles, també es poden utilitzar altres figures tancades, però l'essència d'això no canvia. Les figures es creuen entre si, segons les condicions del problema (en el cas més general). A més, aquestes xifres s'han d'etiquetar en conseqüència. Els elements dels conjunts considerats poden ser punts situats dins de diferents segments del diagrama. A partir d'això, podeu ombrejar àrees específiques, designant així els conjunts acabats de formar.
Amb aquests conjunts és possible realitzar operacions matemàtiques bàsiques: suma (suma de conjunts d'elements), resta (diferència), multiplicació (producte). A més, gràcies als diagrames d'Euler-Venn, és possible comparar conjunts pel nombre d'elements inclosos en ells, sense comptar-los.
