L'estudi de la teoria de la probabilitat comença amb la resolució de problemes de suma i multiplicació de probabilitats. Val la pena esmentar de seguida que en dominar aquest camp de coneixement, un estudiant pot trobar un problema: si els processos físics o químics es poden representar visualment i comprendre empíricament, aleshores el nivell d'abstracció matemàtica és molt alt, i la comprensió només arriba amb experiència.
No obstant això, el joc val la pena, perquè les fórmules, tant considerades en aquest article com d' altres més complexes, s'utilitzen a tot arreu avui dia i poden ser útils a la feina.
Origen
Curiosament, l'impuls per al desenvolupament d'aquesta secció de matemàtiques va ser… el joc. De fet, els daus, el llançament de monedes, el pòquer, la ruleta són exemples típics que utilitzen la suma i la multiplicació de probabilitats. A l'exemple de les tasques de qualsevol llibre de text, això es pot veure clarament. La gent estava interessada a aprendre a augmentar les seves possibilitats de guanyar, i he de dir que alguns ho van aconseguir.
Per exemple, ja al segle XXI, una persona, el nom de la qual no revelarem,va utilitzar aquest coneixement acumulat al llarg dels segles per "netejar" literalment el casino, guanyant diverses desenes de milions de dòlars a la ruleta.
No obstant això, malgrat l'augment de l'interès per la matèria, no va ser fins al segle XX que es va desenvolupar un marc teòric que va convertir el "teorver" en un component complet de les matemàtiques. Avui, en gairebé qualsevol ciència, podeu trobar càlculs amb mètodes probabilístics.
Aplicabilitat
Un punt important quan s'utilitzen fórmules d'addició i multiplicació de probabilitats, la probabilitat condicional és la satisfaciabilitat del teorema del límit central. En cas contrari, encara que l'estudiant no ho faci, tots els càlculs, per més plausibles que semblin, seran incorrectes.
Sí, l'estudiant altament motivat té la temptació d'utilitzar els nous coneixements a cada oportunitat. Però en aquest cas, s'hauria de frenar una mica i esbossar estrictament l'abast d'aplicabilitat.
La teoria de la probabilitat tracta d'esdeveniments aleatoris, que en termes empírics són els resultats d'experiments: podem llançar un dau de sis cares, treure una carta d'una baralla, predir el nombre de peces defectuoses en un lot. Tanmateix, en algunes preguntes és categòricament impossible utilitzar fórmules d'aquesta secció de matemàtiques. Analitzarem les característiques de considerar les probabilitats d'un esdeveniment, els teoremes d'addició i multiplicació d'esdeveniments al final de l'article, però de moment passem als exemples.
Conceptes bàsics
Un esdeveniment aleatori significa algun procés o resultat que pot aparèixer o nocom a resultat de l'experiment. Per exemple, llencem un sandvitx: pot caure mantega cap amunt o mantega cap avall. Qualsevol dels dos resultats serà aleatori i no sabem per endavant quin d'ells tindrà lloc.
Quan estudiem la suma i la multiplicació de probabilitats, necessitem dos conceptes més.
Els esdeveniments conjunts són aquells esdeveniments, l'ocurrència d'un dels quals no exclou l'ocurrència de l' altre. Suposem que dues persones disparen a un objectiu alhora. Si un d'ells dispara un tir amb èxit, no afectarà la capacitat de l' altre per colpejar o fallar.
Incoherents seran aquests esdeveniments, l'ocurrència dels quals és alhora impossible. Per exemple, en treure només una bola de la caixa, no pots aconseguir tant el blau com el vermell alhora.
Designació
El concepte de probabilitat s'indica amb la majúscula llatina P. A continuació, entre parèntesis, hi ha arguments que denoten alguns esdeveniments.
A les fórmules del teorema de l'addició, de la probabilitat condicional, del teorema de la multiplicació, veureu expressions entre parèntesis, per exemple: A+B, AB o A|B. Es calcularan de diverses maneres, ara passarem a ells.
Afegit
Considerem els casos en què s'utilitzen fórmules de suma i multiplicació.
Per als esdeveniments incompatibles, la fórmula d'addició més senzilla és rellevant: la probabilitat de qualsevol dels resultats aleatoris serà igual a la suma de les probabilitats de cadascun d'aquests resultats.
Suposem que hi ha una caixa amb 2 globus blaus, 3 vermells i 5 grocs. Hi ha 10 articles en total a la caixa. Quin és el percentatge de veritat de l'afirmació que dibuixarem una bola blava o vermella? Serà igual a 2/10 + 3/10, és a dir, un cinquanta per cent.
En el cas d'esdeveniments incompatibles, la fórmula es fa més complicada, ja que s'afegeix un terme addicional. Hi tornarem en un paràgraf, després de considerar una fórmula més.
Multiplicació
La suma i la multiplicació de probabilitats d'esdeveniments independents s'utilitzen en diferents casos. Si, segons la condició de l'experiment, estem satisfets amb qualsevol dels dos possibles resultats, calcularem la suma; si volem obtenir dos resultats determinats un darrere l' altre, recorrerem a una fórmula diferent.
Tornant a l'exemple de l'apartat anterior, volem dibuixar primer la bola blava i després la vermella. El primer nombre que coneixem és 2/10. Què passa després? Queden 9 boles, encara queden el mateix nombre de vermelles: tres peces. Segons els càlculs, obteniu 3/9 o 1/3. Però què fer ara amb dos números? La resposta correcta és multiplicar per obtenir 2/30.
Esdeveniments conjunts
Ara podem revisar la fórmula de la suma per a esdeveniments conjunts. Per què ens desviem del tema? Per saber com es multipliquen les probabilitats. Ara aquest coneixement serà útil.
Ja sabem quins seran els dos primers termes (el mateix que en la fórmula de suma considerada anteriorment), ara hem de restarel producte de probabilitats que acabem d'aprendre a calcular. Per a més claredat, escrivim la fórmula: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Resulta que tant la suma com la multiplicació de probabilitats s'utilitzen en una expressió.
Diguem que hem de resoldre qualsevol dels dos problemes per obtenir crèdit. Podem resoldre el primer amb una probabilitat de 0,3 i el segon - 0,6. Solució: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Tingueu en compte que no n'hi haurà prou amb sumar els nombres aquí.
Probabilitat condicional
Finalment, hi ha el concepte de probabilitat condicional, els arguments del qual s'indiquen entre parèntesis i separats per una barra vertical. L'entrada P(A|B) diu el següent: “probabilitat de l'esdeveniment A donat esdeveniment B”.
Mirem un exemple: un amic et regala algun dispositiu, que sigui un telèfon. Pot estar trencat (20%) o bé (80%). Podeu reparar qualsevol dispositiu que us caigui a les mans amb una probabilitat de 0,4 o no podeu fer-ho (0,6). Finalment, si el dispositiu funciona, podeu contactar amb la persona adequada amb una probabilitat de 0,7.
És fàcil veure com funciona la probabilitat condicional en aquest cas: no pots posar-te en contacte amb una persona si el telèfon està trencat i, si és bo, no cal que ho arregli. Per tant, per obtenir resultats al "segon nivell", heu de saber quin esdeveniment s'ha executat al primer.
Càlculs
Considerem exemples de resolució de problemes de suma i multiplicació de probabilitats, utilitzant les dades del paràgraf anterior.
Primer, busquem la probabilitat que tureparar el dispositiu que se't va donar. Per fer-ho, en primer lloc, ha de ser defectuós i, en segon lloc, heu de fer front a la reparació. Aquest és un problema de multiplicació típic: obtenim 0,20,4=0,08.
Quina és la probabilitat d'arribar immediatament a la persona adequada? Més fàcil que senzill: 0,80,7=0,56. En aquest cas, heu trobat que el telèfon funciona i heu fet una trucada correctament.
Finalment, considereu aquest escenari: heu rebut un telèfon trencat, l'heu arreglat, després heu marcat el número i la persona de l'extrem oposat ha contestat el telèfon. Aquí, la multiplicació de tres components ja és necessària: 0, 20, 40, 7=0, 056.
I què passa si tens dos telèfons que no funcionen alhora? Quina és la probabilitat d'arreglar almenys un d'ells? Aquest és un problema de suma i multiplicació de probabilitats, ja que s'utilitzen esdeveniments conjunts. Solució: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Ús amb compte
Com s'ha esmentat al principi de l'article, l'ús de la teoria de la probabilitat ha de ser deliberat i conscient.
Com més gran sigui la sèrie d'experiments, més s'acostarà el valor teòricament previst al pràctic. Per exemple, estem llançant una moneda. Teòricament, sabent de l'existència de fórmules per a la suma i la multiplicació de probabilitats, podem predir quantes vegades cauran cap i cua si fem l'experiment 10 vegades. Vam fer un experiment iCasualment, la proporció dels costats caigut era de 3 a 7. Però si feu una sèrie de 100, 1000 o més intents, resulta que el gràfic de distribució s'acosta cada cop més al teòric: 44 a 56, 482 a 518 i així successivament.
Ara imagineu-vos que aquest experiment no es fa amb una moneda, sinó amb la producció d'alguna substància química nova, la probabilitat de la qual no sabem. Faríem 10 experiments i, si no aconseguim un resultat satisfactori, podríem generalitzar: "la substància no es pot obtenir". Però qui sap, si féssim l'onzè intent, hauríem arribat a l'objectiu o no?
Així que si aneu cap al desconegut, el regne inexplorat, és possible que la teoria de la probabilitat no s'apliqui. Cada intent posterior en aquest cas pot tenir èxit i generalitzacions com "X no existeix" o "X és impossible" seran prematures.
Paraula de tancament
Així que hem analitzat dos tipus de sumes, multiplicacions i probabilitats condicionals. Amb més estudi d'aquesta àrea, cal aprendre a distingir situacions en què s'utilitza cada fórmula específica. A més, heu d'entendre si els mètodes probabilístics són generalment aplicables per resoldre el vostre problema.
Si practiques, al cap d'un temps començaràs a realitzar totes les operacions requerides exclusivament en la teva ment. Per als amants dels jocs de cartes, aquesta habilitat es pot considerarextremadament valuós: augmentaràs significativament les teves possibilitats de guanyar, només calculant la probabilitat que una carta o un vestit en particular caigui. Tanmateix, els coneixements adquirits es poden aplicar fàcilment en altres àrees d'activitat.
