Georg Kantor (la foto es dóna més endavant a l'article) és un matemàtic alemany que va crear la teoria de conjunts i va introduir el concepte de nombres transfinits, infinitament grans, però diferents entre si. També va definir els nombres ordinals i cardinals i va crear la seva aritmètica.
Georg Kantor: breu biografia
Nascuda a Sant Petersburg el 1845-03-03. El seu pare era un danès de fe protestant, Georg-Valdemar Kantor, que es dedicava al comerç, fins i tot a la borsa. La seva mare Maria Bem era catòlica i provenia d'una família de músics destacats. Quan el pare de Georg va emmal altir el 1856, la família es va traslladar primer a Wiesbaden i després a Frankfurt a la recerca d'un clima més suau. Els talents matemàtics del nen es van mostrar fins i tot abans del seu 15è aniversari mentre estudiava a escoles privades i gimnàs de Darmstadt i Wiesbaden. Al final, Georg Cantor va convèncer el seu pare de la seva ferma intenció de convertir-se en matemàtic, no en enginyer.
Després d'un breu estudi a la Universitat de Zuric, el 1863 Kantor es va traslladar a la Universitat de Berlín per estudiar física, filosofia i matemàtiques. Allà ellensenyat:
- Karl Theodor Weierstrass, l'especialització del qual en anàlisi probablement va tenir la major influència en Georg;
- Ernst Eduard Kummer, que va ensenyar aritmètica superior;
- Leopold Kronecker, teòric dels nombres que més tard es va oposar a Cantor.
Després de passar un semestre a la Universitat de Göttingen el 1866, l'any següent Georg va escriure la seva tesi doctoral titulada "En matemàtiques l'art de fer preguntes és més valuós que resoldre problemes", sobre un problema que tenia Carl Friedrich Gauss. deixat sense resoldre a les seves Disquisitiones Arithmeticae (1801). Després d'ensenyar breument a l'escola de noies de Berlín, Kantor va començar a treballar a la Universitat de Halle, on va romandre fins al final de la seva vida, primer com a professor, a partir de 1872 com a professor ajudant i a partir de 1879 com a professor.
Recerca
Al començament d'una sèrie de 10 articles de 1869 a 1873, Georg Cantor va considerar la teoria dels nombres. L'obra reflectia la seva passió pel tema, els seus estudis de Gauss i la influència de Kronecker. A proposta d'Heinrich Eduard Heine, col·lega de Cantor a Halle, que va reconèixer el seu talent matemàtic, va recórrer a la teoria de les sèries trigonomètriques, en la qual va ampliar el concepte de nombres reals.
Basant-se en el treball sobre la funció d'una variable complexa del matemàtic alemany Bernhard Riemann el 1854, el 1870 Kantor va demostrar que aquesta funció només es pot representar d'una manera: per sèries trigonomètriques. Consideració d'un conjunt de nombres (punts) queno contradiria aquesta visió, el va portar, en primer lloc, l'any 1872 a la definició de nombres irracionals en termes de seqüències convergents de nombres racionals (fraccions de nombres enters) i després a l'inici del treball sobre l'obra de la seva vida, la teoria de conjunts i el concepte. de nombres transfinits.
Teoria de conjunts
Georg Cantor, la teoria de conjunts del qual es va originar en correspondència amb el matemàtic de l'Institut Tècnic de Braunschweig Richard Dedekind, era amic seu des de la infància. Van arribar a la conclusió que els conjunts, siguin finits o infinits, són col·leccions d'elements (per exemple, nombres, {0, ±1, ±2…}) que tenen una certa propietat tot conservant la seva individualitat. Però quan Georg Cantor va utilitzar una correspondència un a un (per exemple, {A, B, C} a {1, 2, 3}) per estudiar-ne les característiques, ràpidament es va adonar que difereixen pel seu grau de pertinença, fins i tot si fossin conjunts infinits, és a dir, conjunts, una part o subconjunt dels quals inclou tants objectes com ell mateix. El seu mètode aviat va donar resultats sorprenents.
El 1873, Georg Cantor (matemàtic) va demostrar que els nombres racionals, tot i que són infinits, són comptables perquè es poden posar en correspondència un a un amb nombres naturals (és a dir, 1, 2, 3, etc.). d.). Va demostrar que el conjunt de nombres reals, format per irracionals i racionals, és infinit i incomptable. Més paradoxalment, Cantor va demostrar que el conjunt de tots els nombres algebraics conté tants elements comquants són el conjunt de tots els nombres enters, i que els nombres transcendentals, que no són algebraics, que són un subconjunt de nombres irracionals, són incomptables i, per tant, el seu nombre és més gran que els nombres enters i s'han de considerar infinits.
Opositors i partidaris
Però l'article de Kantor, en el qual va presentar per primera vegada aquests resultats, no es va publicar a Krell, ja que un dels revisors, Kronecker, es va oposar amb vehemència. Però després de la intervenció de Dedekind, es va publicar el 1874 amb el títol "Sobre les propietats característiques de tots els nombres algebraics reals".
Ciència i vida privada
El mateix any, mentre estava de lluna de mel amb la seva dona Wally Gutman a Interlaken, Suïssa, Kantor va conèixer Dedekind, que va parlar favorablement de la seva nova teoria. El sou de George era petit, però amb els diners del seu pare, que va morir el 1863, va construir una casa per a la seva dona i els seus cinc fills. Molts dels seus articles es van publicar a Suècia a la nova revista Acta Mathematica, editada i fundada per Gesta Mittag-Leffler, que va ser dels primers a reconèixer el talent del matemàtic alemany.
Connexió amb la metafísica
La teoria de Cantor es va convertir en un tema d'estudi completament nou pel que fa a les matemàtiques de l'infinit (per exemple, sèries 1, 2, 3, etc., i conjunts més complexos), que depenia molt de la correspondència un a un. Desenvolupament de Kantor de nous mètodes de posada en escenapreguntes sobre la continuïtat i l'infinit, van donar a la seva recerca un caràcter ambigu.
Quan va argumentar que els nombres infinits realment existeixen, va recórrer a la filosofia antiga i medieval sobre l'infinit real i potencial, així com a l'educació religiosa primerenca que li van donar els seus pares. L'any 1883, al seu llibre Foundations of General Set Theory, Kantor va combinar el seu concepte amb la metafísica de Plató.
Kronecker, que va afirmar que només "existeixen" els nombres enters ("Déu va crear els nombres enters, la resta és obra de l'home"), durant molts anys va rebutjar amb vehemència el seu raonament i va impedir el seu nomenament a la Universitat de Berlín.
Nombres transfinits
El 1895-97. Georg Cantor va formar plenament la seva noció de continuïtat i infinit, inclosos els nombres ordinals i cardinals infinits, en la seva obra més famosa, publicada com a Contribucions a l'establiment de la teoria dels nombres transfinits (1915). Aquest assaig conté el seu concepte, al qual va ser conduït demostrant que un conjunt infinit es pot posar en una correspondència un a un amb un dels seus subconjunts.
Sota el nombre cardinal menys transfinit, volia dir la cardinalitat de qualsevol conjunt que es pugui posar en correspondència un a un amb nombres naturals. Cantor l'anomenava aleph-null. Els grans conjunts transfinits es denoten alef-un, alef-dos, etc. Va desenvolupar encara més l'aritmètica dels nombres transfinits, que era anàloga a l'aritmètica finita. doncs, ellva enriquir el concepte d'infinit.
L'oposició a la qual es va enfrontar i el temps que va trigar a acceptar plenament les seves idees es deu a la dificultat de re-avaluar l'antiga qüestió de què és un nombre. Cantor va demostrar que el conjunt de punts d'una línia té una cardinalitat superior a l'aleph-zero. Això va conduir al conegut problema de la hipòtesi del continu: no hi ha nombres cardinals entre l'aleph-zero i la potència dels punts de la línia. Aquest problema a la primera i segona meitat del segle XX va despertar un gran interès i va ser estudiat per molts matemàtics, entre ells Kurt Gödel i Paul Cohen.
Depressió
La biografia de Georg Kantor des de 1884 va quedar eclipsada per la seva mal altia mental, però va continuar treballant activament. El 1897 va ajudar a celebrar el primer congrés internacional de matemàtiques a Zuric. En part perquè Kronecker s'hi va oposar, sovint simpatitzava amb els joves aspirants a matemàtics i va intentar trobar una manera de salvar-los de l'assetjament dels professors que se sentien amenaçats per noves idees.
Reconeixement
A principis de segle, el seu treball va ser totalment reconegut com la base de la teoria de funcions, l'anàlisi i la topologia. A més, els llibres de Cantor Georg van servir d'impuls per al desenvolupament posterior de les escoles intuïcionistes i formalistes dels fonaments lògics de les matemàtiques. Això va canviar significativament el sistema d'ensenyament i sovint s'associa amb les "nous matemàtiques".
El 1911, Kantor va ser un dels convidatscelebració del 500 aniversari de la Universitat de St. Andrews a Escòcia. Hi va anar amb l'esperança de conèixer en Bertrand Russell, qui, en el seu treball recentment publicat Principia Mathematica, es referia repetidament al matemàtic alemany, però això no va passar. La universitat va concedir a Kantor un títol honorífic, però a causa d'una mal altia no va poder acceptar el premi en persona.
Kantor es va jubilar el 1913, va viure en la pobresa i va morir de fam durant la Primera Guerra Mundial. Les celebracions en honor al seu 70è aniversari el 1915 es van cancel·lar a causa de la guerra, però una petita cerimònia va tenir lloc a casa seva. Va morir l'1918-06-01 a Halle, en un hospital psiquiàtric, on va passar els últims anys de la seva vida.
Georg Kantor: biografia. Família
El 9 d'agost de 1874, un matemàtic alemany es va casar amb Wally Gutmann. La parella va tenir 4 fills i 2 filles. L'últim fill va néixer l'any 1886 en una casa nova comprada per Kantor. L'herència del seu pare el va ajudar a mantenir la seva família. La salut de Kantor es va veure molt afectada per la mort del seu fill petit el 1899, i des d'aleshores la depressió no l'ha abandonat.
