Per entendre quins són els punts extrems d'una funció, no és gens necessari conèixer la presència de les derivades primera i segona i comprendre el seu significat físic. Primer heu d'entendre el següent:
- funció extrema maximitzar o, per contra, minimitzar el valor de la funció en un barri arbitràriament petit;
- No hi hauria d'haver una interrupció de funció al punt extrem.
I ara el mateix, només en llenguatge senzill. Mireu la punta d'un bolígraf. Si el llapis es col·loca verticalment, amb l'extrem d'escriptura cap amunt, llavors el centre de la bola serà el punt extrem, el punt més alt. En aquest cas, parlem del màxim. Ara, si gireu el llapis amb l'extrem d'escriptura cap avall, al mig de la bola ja hi haurà un mínim de la funció. Amb l'ajuda de la figura que es mostra aquí, podeu imaginar les manipulacions enumerades per a un llapis de papereria. Així, els extrems d'una funció són sempre punts crítics: els seus màxims o mínims. La secció adjacent del gràfic pot ser arbitràriament nítida o llisa, però ha d'existir als dos costats, només en aquest cas el punt és un extrem. Si el gràfic només està present en un costat, aquest punt no serà un extrem encara que sigui en un costates compleixen condicions extremes. Ara estudiem els extrems de la funció des d'un punt de vista científic. Perquè un punt es consideri un extrem, és necessari i suficient que:
- la primera derivada era igual a zero o no existia en el punt;
- la primera derivada ha canviat de signe en aquest moment.
La condició s'interpreta de manera una mica diferent des del punt de vista de les derivades d'ordre superior: per a una funció derivable en un punt, n'hi ha prou que hi hagi una derivada d'ordre senar que no sigui igual a zero, mentre que totes Les derivades d'ordre inferior han d'existir i ser iguals a zero. Aquesta és la interpretació més senzilla dels teoremes dels llibres de text de matemàtiques superiors. Però per a la gent més corrent, val la pena explicar aquest punt amb un exemple. La base és una paràbola ordinària. Feu una reserva immediatament, al punt zero té un mínim. Només una mica de matemàtiques:
- primera derivada (X2)|=2X, per al punt zero 2X=0;
- segona derivada (2X)|=2, per al punt zero 2=2.
Aquesta és una il·lustració senzilla de les condicions que determinen els extrems de la funció tant per a les derivades de primer ordre com per a les derivades d'ordre superior. A això podem afegir que la segona derivada és la mateixa derivada d'ordre imparell, desigual a zero, que es va parlar una mica més amunt. Quan es tracta d'extrems d'una funció de dues variables, s'han de complir les condicions per als dos arguments. Quanes produeix la generalització, llavors s'utilitzen derivades parcials. És a dir, és necessari per a la presència d'un extrem en un punt que les dues derivades de primer ordre siguin iguals a zero, o almenys una d'elles no existeix. Per a la suficiència de la presència d'un extrem, s'investiga una expressió, que és la diferència entre el producte de les derivades de segon ordre i el quadrat de la derivada mixta de segon ordre de la funció. Si aquesta expressió és més gran que zero, aleshores hi ha un extrem, i si hi ha zero, aleshores la pregunta roman oberta i cal investigar més.
