Què són les variables? Variable en matemàtiques

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

La importància de les variables en matemàtiques és gran, perquè durant la seva existència, els científics van aconseguir fer molts descobriments en aquest àmbit, i per tal d'enunciar de manera breu i clara aquest o aquell teorema, fem servir variables per escriure les fórmules corresponents.. Per exemple, el teorema de Pitàgores sobre un triangle rectangle: a² =b² + c^{2. Com escriure cada cop quan es resol un problema: segons el teorema de Pitàgores, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets; ho anotem amb una fórmula i tot queda clar de seguida.}

Per tant, aquest article tractarà quines són les variables, els seus tipus i propietats. També es consideraran diverses expressions matemàtiques: desigu altats, fórmules, sistemes i algorismes per a la seva solució.

Concepte variable

En primer lloc, què és una variable? Aquest és un valor numèric que pot prendre molts valors. No pot ser constant, ja que en diferents problemes i equacions, per comoditat, prenem solucions comnombres variables diferents, és a dir, per exemple, z és una designació general per a cadascuna de les magnituds per a les quals es pren. Normalment es denoten amb lletres de l'alfabet llatí o grec (x, y, a, b, etc.).

Hi ha diferents tipus de variables. Estableixen algunes magnituds físiques: camí (S), temps (t) i simplement valors desconeguts en equacions, funcions i altres expressions.

Per exemple, hi ha una fórmula: S=Vt. Aquí, les variables denoten determinades quantitats relacionades amb el món real: el camí, la velocitat i el temps.

I hi ha una equació de la forma: 3x - 16=12x. Aquí, x ja es pren com un nombre abstracte que té sentit en aquesta notació.

Tipus de quantitats

Quant significa quelcom que expressa les propietats d'un determinat objecte, substància o fenomen. Per exemple, la temperatura de l'aire, el pes d'un animal, el percentatge de vitamines en una pastilla - totes són quantitats els valors numèrics de les quals es poden calcular.

Cada quantitat té les seves pròpies unitats de mesura, que juntes formen un sistema. S'anomena sistema de numeració (SI).

Què són les variables i les constants? Considereu-los amb exemples concrets.

Agafem el moviment rectilini uniforme. Un punt de l'espai es mou a la mateixa velocitat cada cop. És a dir, el temps i la distància canvien, però la velocitat continua sent la mateixa. En aquest exemple, el temps i la distància són variables i la velocitat és constant.

O, per exemple, "pi". Aquest és un nombre irracional que continua sense repetir-seuna seqüència de dígits i no es pot escriure completament, de manera que en matemàtiques s'expressa mitjançant un símbol generalment acceptat que només pren el valor d'una fracció infinita determinada. És a dir, "pi" és un valor constant.

Història

La història de la notació de variables comença al segle XVII amb el científic René Descartes.

Va designar els valors coneguts amb les primeres lletres de l'abecedari: a, b i així successivament, i per a la incògnita va proposar utilitzar les darreres lletres: x, y, z. Cal destacar que Descartes considerava que aquestes variables eren nombres no negatius, i davant de paràmetres negatius posava un signe menys davant de la variable o, si no se sabia de quin signe era el nombre, una el·lipse. Però amb el temps, els noms de les variables van començar a denotar nombres de qualsevol signe, i això va començar amb el matemàtic Johann Hudde.

Amb variables, els càlculs en matemàtiques són més fàcils de resoldre, perquè, per exemple, com resolem ara les equacions biquadratiques? Introduïm una variable. Per exemple:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Per a x2 prenem una mica de k i l'equació queda clara:

x2=k, per a k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Això és el que aporta la introducció de variables a les matemàtiques.

Desigu altats, exemples de solucions

Una desigu altat és un registre en el qual dues expressions matemàtiques o dos nombres estan connectats per signes de comparació:, ≦, ≧. Són estrictes i s'indiquen amb signes o no estrictes amb signes ≦, ≧.

Per primera vegada es van introduir aquests signesThomas Harriot. Després de la mort de Thomas, es va publicar el seu llibre amb aquestes anotacions, els va agradar als matemàtics i amb el temps es van fer servir àmpliament en càlculs matemàtics.

Hi ha diverses regles a seguir per resoldre desigu altats de variable única:

Quan transferiu un nombre d'una part de la desigu altat a una altra, canvieu-ne el signe al contrari.
Quan es multipliquen o es divideixen parts d'una desigu altat per un nombre negatiu, els seus signes s'inverteixen.
Si multipliqueu o dividiu els dos costats de la desigu altat per un nombre positiu, obtindreu una desigu altat igual a l'original.

Resolver una desigu altat significa trobar tots els valors vàlids per a una variable.

Exemple de variable única:

10x - 50 > 150

Ho resolem com una equació lineal normal - movem els termes amb una variable a l'esquerra, sense variable - a la dreta i donem termes semblants:

10x > 200

Dividim els dos costats de la desigu altat per 10 i obtenim:

x > 20

Per a més claredat, en l'exemple de resolució d'una desigu altat amb una variable, dibuixeu una recta numèrica, marqueu-hi el punt perforat 20, ja que la desigu altat és estricta i aquest nombre no està inclòs en el conjunt de les seves solucions..

La solució d'aquesta desigu altat és l'interval (20; +∞).

La solució d'una desigu altat no estricta es porta a terme de la mateixa manera que una d'estricta:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Però hi ha una excepció. Un registre de la forma x ≧ 5 s'ha d'entendre de la següent manera: x és major o igual a cinc, el que significael número cinc està inclòs en el conjunt de totes les solucions de la desigu altat, és a dir, en escriure la resposta, posem un claudàtor davant del número cinc.

x ∈ [5; +∞)

Desigu altats quadrades

Si prenem una equació quadràtica de la forma ax2 + bx +c=0 i canviem el signe d'igu altat pel signe de desigu altat que hi ha, llavors obtindrem una desigu altat quadràtica.

Per resoldre una desigu altat quadràtica, has de ser capaç de resoldre equacions quadràtiques.

y=ax2 + bx + c és una funció quadràtica. Ho podem resoldre amb el discriminant, o amb el teorema de Vieta. Recordeu com es resolen aquestes equacions:

1) y=x2 + 12x + 11 - la funció és una paràbola. Les seves branques estan dirigides cap amunt, ja que el signe del coeficient "a" és positiu.

2) x2 + 12x + 11=0 - iguala a zero i resol amb el discriminant.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 arrels

Segons la fórmula de les arrels de l'equació de segon grau, obtenim:

x₁ =-1, x_2=-11

O podeu resoldre aquesta equació utilitzant el teorema de Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Usant el mètode de selecció, obtenim les mateixes arrels de l'equació.

Parabola

Per tant, la primera manera de resoldre una desigu altat quadràtica és una paràbola. L'algorisme per resoldre'l és el següent:

1. Determineu cap a on es dirigeixen les branques de la paràbola.

2. Iguala la funció a zero i troba les arrels de l'equació.

3. Construïm una recta numèrica, hi marquem les arrels, dibuixem una paràbola i trobem el buit que necessitem, en funció del signe de la desigu altat.

Resol la desigu altat x2 + x - 12 > 0

Escriu com a funció:

1) y=x2 + x - 12 - paràbola, ramificacions cap amunt.

Ajust a zero.

2) x2 + x -12=0

A continuació, resolem com una equació quadràtica i trobem els zeros de la funció:

x₁ =3, x_2=-4

3) Dibuixa una recta numèrica amb els punts 3 i -4. La paràbola els passarà, es ramifica i la resposta a la desigu altat serà un conjunt de valors positius, és a dir, (-∞; -4), (3; +∞).

Mètode d'interval

La segona manera és el mètode d'espaiat. Algorisme per resoldre'l:

1. Troba les arrels de l'equació per a la qual la desigu altat és igual a zero.

2. Els marquem a la recta numèrica. Així, es divideix en diversos intervals.

3. Determineu el signe de qualsevol interval.

4. Col·loquem rètols als intervals restants, canviant-los després d'un.

Resol la desigu altat (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Zeros de desigu altat: 4, 5 i -7.

2) Dibuixa'ls a la recta numèrica.

3) Determineu els signes dels intervals.

Resposta: (-∞; -7]; [4; 5].

Resol una desigu altat més: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Zeros de desigu altat: 0, 2, -2 i 1.

2. Marqueu-los a la recta numèrica.

3. Determina els signes d'interval.

La línia es divideix en intervals: de -2 a 0, de 0 a 1, d'1 a 2.

Preneu el valor del primer interval - (-1). Substitut en la desigu altat. Amb aquest valor, la desigu altat esdevé positiva, la qual cosa significa que el signe d'aquest interval serà +.

A més, a partir del primer buit, disposem els rètols, canviant-los després d'un.

La desigu altat és major que zero, és a dir, cal trobar un conjunt de valors positius a la línia.

Resposta: (-2; 0), (1; 2).

Sistemes d'equacions

Un sistema d'equacions amb dues variables són dues equacions unides per una clau per a les quals cal trobar una solució comuna.

Els sistemes poden ser equivalents si la solució general d'un d'ells és la solució de l' altre, o els dos no tenen solucions.

Estudiarem la solució de sistemes d'equacions amb dues variables. Hi ha dues maneres de resoldre'ls: el mètode de substitució o el mètode algebraic.

Mètode algebraic

Per resoldre el sistema que es mostra a la imatge utilitzant aquest mètode, primer heu de multiplicar una de les seves parts per aquest nombre, de manera que després podeu cancel·lar mútuament una variable de les dues parts de l'equació. Aquí multipliquem per tres, tracem una línia sota el sistema i sumem les seves parts. Com a resultat, les x es tornen idèntiques en mòdul, però oposades en signe, i les reduïm. A continuació, obtenim una equació lineal amb una variable i la resolem.

Hem trobat Y, però no ens podem aturar aquí, perquè encara no hem trobat X. SubstitutY a la part de la qual serà convenient retirar X, per exemple:

-x + 5y=8, amb y=1

-x + 5=8

Resol l'equació resultant i troba x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

El principal a la solució del sistema és escriure la resposta correctament. Molts estudiants cometen l'error d'escriure:

Resposta: -3, 1.

Però aquesta és una entrada incorrecta. Després de tot, com ja s'ha esmentat anteriorment, en resoldre un sistema d'equacions, busquem una solució general per a les seves parts. La resposta correcta seria:

(-3; 1)