Escoltant un professor de matemàtiques, la majoria dels estudiants prenen el material com un axioma. Al mateix temps, poques persones intenten arribar al fons i esbrinar per què el "menos" del "més" dóna un signe "menos" i quan es multipliquen dos nombres negatius, surt positiu.
Lleis de les matemàtiques
La majoria dels adults no poden explicar-se ni a ells mateixos ni als seus fills per què passa això. Havien absorbit a fons aquest material a l'escola, però ni tan sols van intentar esbrinar d'on venien aquestes normes. Però en va. Sovint, els nens moderns no són tan crédules, han d'anar al fons de la qüestió i entendre, per exemple, per què "més" a "menys" dóna "menys". I de vegades els nois fan preguntes complicades deliberadament per gaudir del moment en què els adults no poden donar una resposta intel·ligible. I és realment un desastre si un jove professor es fica en un embolic…
Per cert, cal tenir en compte que la regla esmentada anteriorment és vàlida tant per a la multiplicació com per a la divisió. El producte d'un nombre negatiu i positiu només donarà un menys. Si estem parlant de dos dígits amb el signe "-", el resultat serà un nombre positiu. El mateix passa amb la divisió. Si aun dels nombres és negatiu, aleshores el quocient també estarà amb un signe “-”.
Per explicar la correcció d'aquesta llei de les matemàtiques, cal formular els axiomes de l'anell. Però primer cal entendre què és. En matemàtiques, s'acostuma a anomenar anell un conjunt en el qual intervenen dues operacions amb dos elements. Però és millor tractar-ho amb un exemple.
Axioma de l'anell
Hi ha diverses lleis matemàtiques.
- La primera és commutativa, segons ell, C + V=V + C.
- El segon s'anomena associatiu (V + C) + D=V + (C + D).
També obeeixen la multiplicació (V x C) x D=V x (C x D).
Ningú ha cancel·lat les regles per les quals s'obren els claudàtors (V + C) x D=V x D + C x D, també és cert que C x (V + D)=C x V + C x D.
A més, s'ha establert que es pot introduir a l'anell un element especial, neutre pel que fa a l'addició, amb el qual serà cert: C + 0=C. A més, per cada C hi ha un element oposat, que es pot denotar com a (-C). En aquest cas, C + (-C)=0.
Derivació d'axiomes per a nombres negatius
Acceptant les afirmacions anteriors, podem respondre la pregunta: ""Més" a "Menys" dóna quin signe? Coneixent l'axioma sobre la multiplicació de nombres negatius, cal confirmar que efectivament (-C) x V=-(C x V). I també que la igu altat següent és certa: (-(-C))=C.
Per fer-ho, primer haurem de demostrar que cadascun dels elements només en té ungermà contrari. Considereu l'exemple de prova següent. Intentem imaginar que dos nombres són oposats per a C - V i D. D'això se'n dedueix que C + V=0 i C + D=0, és a dir, C + V=0=C + D. Recordant les lleis de desplaçament i sobre les propietats del nombre 0, podem considerar la suma dels tres nombres: C, V i D. Intentem esbrinar el valor de V. És lògic que V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, perquè el valor de C + D, com es va acceptar anteriorment, és igual a 0. Per tant, V=V + C + D.
El valor de D es deriva exactament de la mateixa manera: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. A partir d'això, queda clar que V=D.
Per entendre per què el "més" del "menys" dóna un "menys", heu d'entendre el següent. Per tant, per a l'element (-C), el contrari són C i (-(-C)), és a dir, són iguals entre si.
Llavors és obvi que 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Es dedueix que C x V és oposat a (-)C x V, per tant (-C) x V=-(C x V).
Per a un rigor matemàtic complet, també cal confirmar que 0 x V=0 per a qualsevol element. Si seguiu la lògica, aleshores 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Això vol dir que afegir el producte 0 x V no canvia la quantitat establerta de cap manera. Després de tot, aquest producte és igual a zero.
Coneixent tots aquests axiomes, pots deduir no només quant dóna "plus" per "menys", sinó també què passa quan multipliques nombres negatius.
Multiplicació i divisió de dos nombres amb el signe "-"
Si no aprofundeixes en matemàtiquesmatisos, podeu intentar explicar les regles d'operacions amb nombres negatius d'una manera més senzilla.
Suposem que C - (-V)=D, per tant, C=D + (-V), és a dir, C=D - V. Transferiu V i obteniu C + V=D. És a dir, C + V=C - (-V). Aquest exemple explica per què en una expressió on hi ha dos "menys" seguits, els signes esmentats s'han de canviar per "més". Ara parlem de la multiplicació.
(-C) x (-V)=D, podeu sumar i restar dos productes idèntics a l'expressió, que no canviaran el seu valor: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Recordant les regles per treballar amb claudàtors, obtenim:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Segueix que C x V=(-C) x (-V).
De la mateixa manera, podem demostrar que dividint dos nombres negatius en donarà un de positiu.
Regles generals de matemàtiques
Per descomptat, aquesta explicació no és adequada per als estudiants de primària que tot just comencen a aprendre números negatius abstractes. És millor que s'expliquin sobre objectes visibles, manipulant el terme familiar a través del mirall. Per exemple, s'hi troben joguines inventades, però no existents. Es poden mostrar amb un signe "-". La multiplicació de dos objectes mirall els trasllada a un altre món, que s'equipara al present, és a dir, com a resultat, tenim nombres positius. Però la multiplicació d'un nombre negatiu abstracte per un de positiu només dóna el resultat familiar per a tothom. Perquè "més"multiplicar per "menys" dóna "menys". És cert que a l'edat de l'escola primària els nens no intenten aprofundir en tots els matisos matemàtics.
Tot i que, si t'enfrontes a la veritat, per a moltes persones, fins i tot amb estudis superiors, moltes regles segueixen sent un misteri. Tothom dóna per fet el que els ensenyen els professors, sense perdre's per aprofundir en totes les complexitats de les que estan carregades les matemàtiques. "Menys" a "menys" dóna un "plus": tothom ho sap sense excepció. Això és cert tant per als nombres enters com per als nombres fraccionaris.
