L'estadística matemàtica és una metodologia que permet prendre decisions informades davant condicions d'incertesa. L'estudi dels mètodes de recollida i sistematització de dades, el processament dels resultats finals d'experiments i experiments amb aleatorietat massiva i la descoberta de patrons és el que fa aquesta branca de les matemàtiques. Considereu els conceptes bàsics d'estadística matemàtica.
Diferència amb la teoria de la probabilitat
Els mètodes d'estadística matemàtica s'entrecreuen estretament amb la teoria de la probabilitat. Les dues branques de les matemàtiques s'ocupen de l'estudi de nombrosos fenòmens aleatoris. Les dues disciplines estan connectades per teoremes de límits. Tanmateix, hi ha una gran diferència entre aquestes ciències. Si la teoria de la probabilitat determina les característiques d'un procés en el món real sobre la base d'un model matemàtic, aleshores l'estadística matemàtica fa el contrari: estableix les propietats del model enbasat en la informació observada.
Pasos
L'aplicació de l'estadística matemàtica només es pot dur a terme en relació a esdeveniments o processos aleatoris, o millor dit, a dades obtingudes de l'observació d'ells. I això passa en diverses etapes. En primer lloc, les dades dels experiments i experiments se sotmeten a cert processament. S'ordenen per a la claredat i la facilitat d'anàlisi. A continuació, es fa una estimació exacta o aproximada dels paràmetres requerits del procés aleatori observat. Poden ser:
- avaluació de la probabilitat d'un esdeveniment (la seva probabilitat es desconeix inicialment);
- estudiar el comportament d'una funció de distribució indefinida;
- estimació d'expectativa;
- estimació de la variància
- etc.
La tercera etapa és la verificació de qualsevol hipòtesi plantejada abans de l'anàlisi, és a dir, obtenir una resposta a la pregunta de com es corresponen els resultats dels experiments amb els càlculs teòrics. De fet, aquesta és l'etapa principal de l'estadística matemàtica. Un exemple seria considerar si el comportament d'un procés aleatori observat es troba dins de la distribució normal.
Població
Els conceptes bàsics de l'estadística matemàtica inclouen poblacions generals i mostres. Aquesta disciplina s'ocupa de l'estudi d'un conjunt de determinats objectes respecte d'alguna propietat. Un exemple és la feina d'un taxista. Considereu aquestes variables aleatòries:
- càrrega o nombre de clients: per dia, abans de dinar, després de dinar, …;
- temps mitjà de viatge;
- nombre d'aplicacions entrants o la seva vinculació als districtes de la ciutat i molt més.
També val la pena assenyalar que és possible estudiar un conjunt de processos aleatoris similars, que també serà una variable aleatòria que es podrà observar.
Per tant, en els mètodes d'estadística matemàtica, s'anomena població general tot el conjunt d'objectes en estudi o els resultats de diverses observacions que es realitzen en les mateixes condicions sobre un objecte determinat. En altres paraules, matemàticament més estrictament, és una variable aleatòria que es defineix en l'espai dels esdeveniments elementals, amb una classe de subconjunts designats en ell, els elements dels quals tenen una probabilitat coneguda.
Mostra de població
Hi ha casos en què és impossible o poc pràctic per algun motiu (cost, temps) realitzar un estudi continu per estudiar cada objecte. Per exemple, obrir cada pot de melmelada tancada per comprovar-ne la qualitat és una decisió dubtosa, i intentar estimar la trajectòria de cada molècula d'aire en un metre cúbic és impossible. En aquests casos, s'utilitza el mètode d'observació selectiva: es selecciona un nombre determinat d'objectes (generalment aleatòriament) de la població general i se'ls sotmet a la seva anàlisi.
Aquests conceptes poden semblar complicats al principi. Per tant, per entendre completament el tema, cal estudiar el llibre de text de V. E. Gmurman "Teoria de la probabilitat i estadística matemàtica". Així, un conjunt o mostra de mostreig és una sèrie d'objectes seleccionats a l'atzar del conjunt general. En termes matemàtics estrictes, es tracta d'una seqüència de variables aleatòries independents i uniformement distribuïdes, per a cadascuna de les quals la distribució coincideix amb la indicada per a la variable aleatòria general.
Conceptes bàsics
Considerem breument una sèrie d' altres conceptes bàsics d'estadística matemàtica. El nombre d'objectes de la població o mostra general s'anomena volum. Els valors de mostra que s'obtenen durant l'experiment s'anomenen realització de la mostra. Per tal que una estimació de la població general a partir d'una mostra sigui fiable, és important disposar d'una mostra anomenada representativa o representativa. Això vol dir que la mostra ha de representar completament la població. Això només es pot aconseguir si tots els elements de la població tenen la mateixa probabilitat d'estar a la mostra.
Les mostres distingeixen entre retorn i no retorn. En el primer cas, en el contingut de la mostra, l'element repetit es torna al conjunt general, en el segon cas, no. Normalment, a la pràctica, s'utilitza el mostreig sense substitucions. També cal tenir en compte que la mida de la població general sempre supera significativament la mida de la mostra. Existeixmoltes opcions per al procés de mostreig:
- simple: els elements es seleccionen aleatòriament un a un;
- typed: la població general es divideix en tipus i s'elecciona entre cadascun; un exemple és una enquesta als residents: homes i dones per separat;
- mecànic - per exemple, seleccioneu cada 10è element;
- sèrie: la selecció es fa en sèrie d'elements.
Distribució estadística
Segons Gmurman, la teoria de la probabilitat i l'estadística matemàtica són disciplines extremadament importants en el món científic, especialment en la seva part pràctica. Considereu la distribució estadística de la mostra.
Suposem que tenim un grup d'alumnes a qui es van provar les matemàtiques. Com a resultat, tenim un conjunt d'estimacions: 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5: aquest és el nostre material estadístic principal.
Primer de tot, hem d'ordenar-lo o realitzar una operació de classificació: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 - i així obtenir una sèrie variacional. El nombre de repeticions de cadascuna de les avaluacions s'anomena freqüència d'avaluació i la seva relació amb la mida de la mostra s'anomena freqüència relativa. Fem una taula de la distribució estadística de la mostra, o només una sèrie estadística:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
o
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Tindrem una variable aleatòria sobre la qual realitzarem una sèrie d'experiments i veurem quin valor pren aquesta variable. Suposem que va prendre el valor a1 - m1 vegades; a2 - m2 vegades, etc. La mida d'aquesta mostra serà m1 + … + mk=m. El conjunt ai, on i varia d'1 a k, és una sèrie estadística.
Distribució d'intervals
Al llibre de VE Gmurman "Teoria de probabilitats i estadística matemàtica" també es presenta una sèrie d'estadístiques d'interval. La seva compilació és possible quan el valor de la característica en estudi és continu en un interval determinat i el nombre de valors és gran. Considereu un grup d'estudiants, o millor dit, la seva alçada: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 159, 171, 173, 173, 173, 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - 30 alumnes en total. Evidentment, l'alçada d'una persona és un valor continu. Hem de definir el pas d'interval. Per a això, s'utilitza la fórmula de Sturges.
| h= | màx - min | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+registre2m | 1+registre230 | 5, 9 |
Per tant, el valor de 6 es pot prendre com a mida de l'interval. També cal dir que el valor 1+log2m és la fórmula perdeterminant el nombre d'intervals (per descomptat, amb arrodoniment). Així, segons les fórmules, s'obtenen 6 intervals, cadascun dels quals té una mida de 6. I el primer valor de l'interval inicial serà el nombre determinat per la fórmula: min - h / 2=156 - 6/2=153. Fem una taula que contindrà els intervals i el nombre d'alumnes el creixement dels quals va caure dins d'un interval determinat.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
Per descomptat, això no és tot, perquè hi ha moltes més fórmules en estadística matemàtica. Només hem considerat alguns conceptes bàsics.
Programa de distribució
Els conceptes bàsics de l'estadística matemàtica també inclouen una representació gràfica de la distribució, que es distingeix per la claredat. Hi ha dos tipus de gràfics: polígon i histograma. El primer s'utilitza per a una sèrie estadística discreta. I per a la distribució contínua, respectivament, la segona.
