Prisma hexagonal i les seves principals característiques

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

La geometria espacial és l'estudi dels prismes. Les seves característiques importants són el volum contingut en ells, la superfície i el nombre d'elements constitutius. A l'article, tindrem en compte totes aquestes propietats per a un prisma hexagonal.

De quin prisma estem parlant?

Un prisma hexagonal és una figura formada per dos polígons de sis costats i sis angles, i sis paral·lelograms que connecten els hexàgons marcats en una única formació geomètrica.

La figura mostra un exemple d'aquest prisma.

L'hexàgon marcat en vermell s'anomena base de la figura. Òbviament, el nombre de les seves bases és igual a dues, i totes dues són idèntiques. Les cares groc-verdoses d'un prisma s'anomenen els seus costats. A la figura es representen amb quadrats, però en general són paral·lelograms.

El prisma hexagonal pot ser inclinat i recte. En el primer cas, els angles entre la base i els costats no són rectes, en el segon són iguals a 90o. A més, aquest prisma pot ser correcte i incorrecte. Hexagonal regularel prisma ha de ser recte i tenir un hexàgon regular a la base. El prisma anterior de la figura compleix aquests requisits, per la qual cosa s'anomena correcte. Més endavant en l'article estudiarem només les seves propietats, com a cas general.

Elements

Per a qualsevol prisma, els seus elements principals són arestes, cares i vèrtexs. El prisma hexagonal no és una excepció. La figura anterior us permet comptar el nombre d'aquests elements. Així, obtenim 8 cares o costats (dues bases i sis paral·lelograms laterals), el nombre de vèrtexs és 12 (6 vèrtexs per a cada base), el nombre d'arestes d'un prisma hexagonal és 18 (sis laterals i 12 per a les bases).

A la dècada de 1750, Leonhard Euler (un matemàtic suís) va establir per a tots els poliedres, que inclouen un prisma, una relació matemàtica entre els nombres dels elements indicats. Aquesta relació sembla:

nombre d'arestes=nombre de cares + nombre de vèrtexs - 2.

Les xifres anteriors compleixen aquesta fórmula.

Diagonals de prismes

Totes les diagonals d'un prisma hexagonal es poden dividir en dos tipus:

• els que es troben en els plànols de les seves cares;
• els que pertanyen a tot el volum de la figura.

La imatge de sota mostra totes aquestes diagonals.

Es pot veure que D₁ és la diagonal lateral, D₂ i D₃ són les diagonals el prisma sencer, D₄ i D_{5 - les diagonals de la base.}

Les longituds de les diagonals dels costats són iguals entre si. És fàcil calcular-los mitjançant el conegut teorema de Pitàgores. Sigui a la longitud del costat de l'hexàgon, b la longitud de la vora lateral. Aleshores la diagonal té longitud:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ també és fàcil de determinar. Si recordem que un hexàgon regular encaixa en un cercle de radi a, aleshores D_{4 és el diàmetre d'aquest cercle, és a dir, obtenim la fórmula següent:}

D_4=2a.

Les bases

Diagonal D₅ són una mica més difícils de trobar. Per fer-ho, considereu un triangle equilàter ABC (vegeu la figura). Per a ell AB=BC=a, l'angle ABC és 120^{o. Si baixem l'alçada des d'aquest angle (també serà la bisectriu i la mediana), aleshores la meitat de la base AC serà igual a:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

El costat AC és la diagonal de D_{5, així que obtenim:}

D_5=AC=√3a.

Ara queda per trobar les diagonals D₂ i D_{3 d'un prisma hexagonal regular. Per fer-ho, heu de veure que són les hipotenuses dels triangles rectangles corresponents. Utilitzant el teorema de Pitàgores, obtenim:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Així, la diagonal més gran per a qualsevol valor de a i b ésD_2.

Superfície

Per entendre què està en joc, la manera més fàcil és considerar el desenvolupament d'aquest prisma. Es mostra a la imatge.

Es pot veure que per determinar l'àrea de tots els costats de la figura considerada, cal calcular l'àrea del quadrangle i l'àrea de l'hexàgon per separat i, a continuació, multiplicar-les. pels nombres enters corresponents iguals al nombre de cada n-gon del prisma i sumeu els resultats. Hexàgons 2, rectangles 6.

Per a l'àrea d'un rectangle obtenim:

S_1=ab.

Llavors la superfície lateral és:

S_2=6ab.

Per determinar l'àrea d'un hexàgon, la manera més senzilla és utilitzar la fórmula corresponent, que sembla:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Substituint el nombre n igual a 6 en aquesta expressió, obtenim l'àrea d'un hexàgon:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Aquesta expressió s'ha de multiplicar per dos per obtenir l'àrea de les bases del prisma:

S_os=3√3a^2.

Queda per afegir S_os i S_{2 per obtenir la superfície total de la figura:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Volum del prisma

Després de la fórmula peràrea d'una base hexagonal, calcular el volum contingut en el prisma en qüestió és tan fàcil com desgranar peres. Per fer-ho, només heu de multiplicar l'àrea de la base òssia (hexàgon) per l'alçada de la figura, la longitud de la qual és igual a la longitud de la vora lateral. Obtenim la fórmula:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Tingueu en compte que el producte de la base i l'alçada dóna el valor del volum d'absolutament qualsevol prisma, inclòs l'oblic. Tanmateix, en aquest darrer cas, el càlcul de l'alçada és complicat, ja que ja no serà igual a la longitud de la costella lateral. Pel que fa a un prisma hexagonal regular, el valor del seu volum és funció de dues variables: els costats a i b.