Per dir-ho de manera senzilla i breu, l'abast són els valors que pot prendre qualsevol funció. Per tal d'explorar completament aquest tema, heu de desmuntar gradualment els punts i conceptes següents. En primer lloc, entenem la definició de la funció i la història de la seva aparició.
Què és una funció
Totes les ciències exactes ens proporcionen molts exemples on les variables en qüestió depenen d'alguna manera les unes de les altres. Per exemple, la densitat d'una substància està completament determinada per la seva massa i volum. La pressió d'un gas ideal a volum constant varia amb la temperatura. Aquests exemples estan units pel fet que totes les fórmules tenen dependències entre variables, que s'anomenen funcionals.
Una funció és un concepte que expressa la dependència d'una quantitat d'una altra. Té la forma y=f(x), on y és el valor de la funció, que depèn de x - l'argument. Així, podem dir que y és una variable dependent del valor de x. Els valors que x pot prendre junts sónel domini de la funció donada (D(y) o D(f)), i en conseqüència, els valors de y constitueixen el conjunt de valors de la funció (E(f) o E(y)). Hi ha casos en què una funció ve donada per alguna fórmula. En aquest cas, el domini de definició consisteix en el valor d'aquestes variables, en què la notació amb la fórmula té sentit.
Hi ha funcions iguals o coincidents. Aquestes són dues funcions que tenen rangs iguals de valors vàlids, així com els valors de la funció en si són iguals per a tots els mateixos arguments.
Moltes lleis de les ciències exactes s'anomenen de manera semblant a situacions de la vida real. També hi ha un fet tan interessant sobre la funció matemàtica. Hi ha un teorema sobre el límit d'una funció "sandwiched" entre dues altres que tenen el mateix límit: sobre dos policies. Ho expliquen d'aquesta manera: com que dos policies condueixen un pres a una cel·la entre ells, el criminal es veu obligat a anar-hi i simplement no té cap opció.
Referència històrica de les funcions
El concepte de funció no va esdevenir immediatament definitiu i precís, ha experimentat un llarg camí de convertir-se. En primer lloc, la Introducció i l'estudi dels llocs plans i sòlids de Fermat, publicada a finals del segle XVII, deia el següent:
Sempre que hi hagi dues incògnites a l'equació final, hi ha espai.
En general, aquest treball parla de dependència funcional i de la seva imatge material (lloc=línia).
També, més o menys a la mateixa època, René Descartes va estudiar les línies mitjançant les seves equacions a la seva obra "Geometria" (1637), on novament el fetdependència de dues quantitats entre si.
L'esment mateix del terme "funció" va aparèixer només a finals del segle XVII amb Leibniz, però no en la seva interpretació moderna. En el seu treball científic, va considerar que una funció són diversos segments associats a una línia corba.
Però ja al segle XVIII es va començar a definir més correctament la funció. Bernoulli va escriure el següent:
Una funció és un valor compost per una variable i una constant.
Els pensaments d'Euler també estaven a prop d'això:
Una funció de quantitat variable és una expressió analítica formada d'alguna manera per aquesta quantitat variable i nombres o quantitats constants.
Quan unes quantitats depenen d' altres de tal manera que quan aquestes últimes canvien, elles mateixes canvien, aleshores les primeres s'anomenen funcions de la segona.
Gràfic de funcions
La gràfica de la funció consta de tots els punts pertanyents als eixos del pla de coordenades, les abscisses dels quals prenen els valors de l'argument, i els valors de la funció en aquests punts són ordenades.
L'abast d'una funció està directament relacionat amb el seu gràfic, perquè si alguna abscissa està exclosa pel rang de valors vàlids, cal dibuixar punts buits en el gràfic o dibuixar el gràfic dins de determinats límits. Per exemple, si es pren un gràfic de la forma y=tgx, el valor x=pi / 2 + pin, n∉R s'exclou de l'àrea de definició, en el cas d'un gràfic tangent, cal dibuixarrectes verticals paral·leles a l'eix y (s'anomenen asímptotes) que passen pels punts ±pi/2.
Qualsevol estudi exhaustiu i acurat de les funcions constitueix una gran branca de les matemàtiques anomenada càlcul. A les matemàtiques elementals, també es toquen preguntes elementals sobre funcions, per exemple, la construcció d'un gràfic senzill i l'establiment d'algunes propietats bàsiques d'una funció.
Quina funció es pot configurar a
La funció pot:
- ser una fórmula, per exemple: y=cos x;
- establert per qualsevol taula de parells de la forma (x; y);
- tingui immediatament una vista gràfica, per a això s'han de mostrar els parells de l'element anterior del formulari (x; y) als eixos de coordenades.
Aneu amb compte a l'hora de resoldre alguns problemes d' alt nivell, gairebé qualsevol expressió es pot considerar una funció respecte a algun argument del valor de la funció y (x). Trobar el domini de definició en aquestes tasques pot ser la clau de la solució.
Què és l'abast?
El primer que cal saber sobre una funció per estudiar-la o construir-la és el seu abast. El gràfic ha de contenir només aquells punts on la funció pot existir. El domini de la definició (x) també es pot denominar el domini dels valors acceptables (abreujat com a ODZ).
Per construir correctament i ràpidament un gràfic de funcions, cal conèixer el domini d'aquesta funció, perquè d'ell depenen l'aspecte i la fidelitat del gràficconstrucció. Per exemple, per construir una funció y=√x, cal saber que x només pot prendre valors positius. Per tant, només es construeix al primer quadrant de coordenades.
Àmbit de definició de l'exemple de funcions elementals
En el seu arsenal, les matemàtiques tenen un petit nombre de funcions senzilles i definides. Tenen un abast limitat. La solució a aquest problema no causarà dificultats encara que tinguis davant teu una funció anomenada complexa. És només una combinació de diversos senzills.
- Per tant, la funció pot ser fraccionària, per exemple: f(x)=1/x. Així, la variable (el nostre argument) està al denominador, i tothom sap que el denominador d'una fracció no pot ser igual a 0, per tant, l'argument pot prendre qualsevol valor excepte 0. La notació serà així: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Si hi ha alguna expressió amb una variable al denominador, heu de resoldre l'equació de x i excloure els valors que converteixen el denominador a 0. Per a una representació esquemàtica, n'hi ha prou amb 5 punts ben escollits. La gràfica d'aquesta funció serà una hipèrbola amb una asímptota vertical que passa pel punt (0; 0) i, en combinació, els eixos Ox i Oy. Si la imatge gràfica es creua amb les asímptotes, aquest error es considerarà el més brut.
- Però quin és el domini de l'arrel? El domini d'una funció amb una expressió radical (f(x)=√(2x + 5)), que conté una variable, també té els seus propis matisos (només s'aplica a l'arrel d'un grau parell). Coml'arrel aritmètica és una expressió positiva o igual a 0, llavors l'expressió arrel ha de ser major o igual a 0, resolem la desigu altat següent: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, per tant, el domini d'aquesta funció: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). El gràfic és una de les branques d'una paràbola, girada 90 graus, situada al primer quadrant de coordenades.
- Si estem tractant amb una funció logarítmica, aleshores hauríeu de recordar que hi ha una restricció pel que fa a la base del logaritme i l'expressió sota el signe del logaritme, en aquest cas podeu trobar el domini de definició com segueix. Tenim una funció: y=loga(x + 7), resolem la desigu altat: x + 7 > 0, x > -7. Aleshores el domini d'aquesta funció és D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- També atenció a les funcions trigonomètriques de la forma y=tgx i y=ctgx, ja que y=tgx=sinx/cos/x i y=ctgx=cosx/sinx, per tant, cal excloure els valors on el denominador pot ser igual a zero. Si esteu familiaritzat amb els gràfics de les funcions trigonomètriques, entendre el seu domini és una tasca senzilla.
Com funciona amb funcions complexes diferents
Recordeu algunes regles bàsiques. Si treballem amb una funció complexa, no cal resoldre alguna cosa, simplificar, afegir fraccions, reduir al mínim comú denominador i extreure arrels. Hem d'investigar aquesta funció perquè operacions diferents (fins i tot idèntiques) poden canviar l'abast de la funció, donant lloc a una resposta incorrecta.
Per exemple, tenim una funció complexa: y=(x2 - 4)/(x - 2). No podem reduir el numerador i el denominador de la fracció, ja que això només és possible si x ≠ 2, i aquesta és la tasca de trobar el domini de la funció, de manera que no factoritzem el numerador i no resolem cap desigu altat, perquè la valor en què la funció no existeix, visible a simple vista. En aquest cas, x no pot prendre el valor 2, ja que el denominador no pot anar a 0, la notació serà així: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Funcions recíproques
Per començar, val la pena dir que una funció només es pot tornar reversible en un interval d'augment o disminució. Per trobar la funció inversa, cal canviar x i y en la notació i resoldre l'equació de x. Els dominis de definició i els dominis de valor simplement s'inverteixen.
La condició principal per a la reversibilitat és un interval monòton d'una funció, si una funció té intervals d'augment i disminució, llavors és possible compondre la funció inversa d'un interval qualsevol (augmentant o decreixent).
Per exemple, per a la funció exponencial y=exel recíproc és la funció logarítmica natural y=logea=lna. Per a la trigonometria, aquestes seran funcions amb el prefix arc-: y=sinx i y=arcsinx, etc. Els gràfics es col·locaran simètricament respecte a alguns eixos o asímptotes.
Conclusions
La recerca del rang de valors acceptables es redueix a examinar el gràfic de funcions (si n'hi ha),registrar i resoldre el sistema específic de desigu altats necessari.
Per tant, aquest article us va ajudar a entendre per a què serveix una funció i com trobar-la. Esperem que us ajudi a entendre bé el curs bàsic de l'escola.
