En aquest article, el mètode es considera una manera de resoldre sistemes d'equacions lineals (SLAE). El mètode és analític, és a dir, permet escriure un algorisme de solució general i, a continuació, substituir els valors d'exemples específics. A diferència del mètode matricial o de les fórmules de Cramer, quan es resol un sistema d'equacions lineals amb el mètode de Gauss, també es pot treballar amb aquelles que tenen infinitat de solucions. O no el tens en absolut.
Què vol dir resoldre amb el mètode de Gauss?
Primer, hem d'escriure el nostre sistema d'equacions com a matriu. Es veu així. S'ha pres el sistema:
Els coeficients s'escriuen en forma de taula i, a la dreta, en una columna separada: membres lliures. La columna amb membres lliures està separada per comoditat per una barra vertical. Una matriu que inclou aquesta columna s'anomena ampliada.
A continuació, la matriu principal amb coeficients s'ha de reduir a la forma triangular superior. Aquest és el punt principal per resoldre el sistema pel mètode de Gauss. En poques paraules, després de determinades manipulacions, la matriu hauria de tenir aquest aspecte, de manera que només hi hagi zeros a la seva part inferior esquerra:
Llavors, si torneu a escriure la nova matriu com un sistema d'equacions, notareu que l'última línia ja conté el valor d'una de les arrels, que després es substitueix a l'equació anterior, es troba una altra arrel., i així successivament.
Aquesta és una descripció de la solució gaussiana en els termes més generals. I què passa si de sobte el sistema no té solució? O n'hi ha un nombre infinit? Per respondre aquestes i moltes més preguntes, cal considerar per separat tots els elements utilitzats en la solució pel mètode de Gauss.
Matrius, les seves propietats
No hi ha cap significat ocult a la matriu. És només una manera convenient d'enregistrar dades per a operacions posteriors. Fins i tot els escolars no els haurien de tenir por.
La matriu és sempre rectangular perquè és més convenient. Fins i tot en el mètode de Gauss, on tot es redueix a construir una matriu triangular, apareix un rectangle a l'entrada, només amb zeros al lloc on no hi ha nombres. Els zeros es poden ometre, però estan implícits.
Matrix té mida. La seva "amplada" és el nombre de files (m), la seva "longitud" és el nombre de columnes (n). Aleshores, la mida de la matriu A (acostumen a utilitzar-se les majúscules llatines per a la seva designació) s'indicarà com Am×n. Si m=n, aleshores aquesta matriu és quadrada im=n - el seu ordre. En conseqüència, qualsevol element de la matriu A es pot denotar amb el número de la seva fila i columna: axy; x - número de fila, canvi [1, m], y - número de columna, canvi [1, n].
En el mètode gaussià, les matrius no són el punt principal de la solució. En principi, totes les operacions es poden fer directament amb les equacions en si mateixes, però, la notació serà molt més feixuga i serà molt més fàcil confondre-s'hi.
Qualificatiu
La matriu també té un determinant. Aquesta és una característica molt important. Esbrinar el seu significat ara no val la pena, simplement podeu mostrar com es calcula, i després dir quines propietats de la matriu determina. La manera més senzilla de trobar el determinant és mitjançant les diagonals. A la matriu es dibuixen diagonals imaginàries; es multipliquen els elements situats a cadascun d'ells i, a continuació, s'afegeixen els productes resultants: diagonals amb pendent a la dreta, amb un signe "plus", amb un pendent a l'esquerra, amb un signe "menos".
És extremadament important tenir en compte que el determinant només es pot calcular per a una matriu quadrada. Per a una matriu rectangular, podeu fer el següent: triar el més petit entre el nombre de files i el nombre de columnes (sigui k) i després marcar aleatòriament k columnes i k files a la matriu. Els elements situats a la intersecció de les columnes i files seleccionades formaran una nova matriu quadrada. Si el determinant d'aquesta matriu és un nombre diferent de zero, s'anomenarà el menor bàsic de la matriu rectangular original.
Abanscom començar a resoldre un sistema d'equacions pel mètode de Gauss, no està de més calcular el determinant. Si resulta que és zero, llavors podem dir immediatament que la matriu té un nombre infinit de solucions o no n'hi ha cap. En un cas tan trist, cal anar més enllà i esbrinar el rang de la matriu.
Classificació dels sistemes
Hi ha una cosa com el rang d'una matriu. Aquest és l'ordre màxim del seu determinant diferent de zero (recordant la base menor, podem dir que el rang d'una matriu és l'ordre de la base menor).
Tal com estan les coses amb el rang, SLOW es pot dividir en:
- Conjunt. Per als sistemes conjunts, el rang de la matriu principal (constituïda només per coeficients) coincideix amb el rang de la estesa (amb una columna de termes lliures). Aquests sistemes tenen una solució, però no necessàriament una, per tant, els sistemes conjunts també es divideixen en:
- - definitiu - tenir una solució única. En determinats sistemes, el rang de la matriu i el nombre d'incògnites són iguals (o el nombre de columnes, que és el mateix);
- - indefinit - amb un nombre infinit de solucions. El rang de matrius en aquests sistemes és inferior al nombre d'incògnites.
- Incompatible. Per a aquests sistemes, els rangs de les matrius principal i estesa no coincideixen. Els sistemes incompatibles no tenen solució.
El mètode de Gauss és bo perquè permet obtenir una prova inequívoca de la inconsistència del sistema (sense calcular els determinants de matrius grans) o una solució general per a un sistema amb un nombre infinit de solucions.
Transformacions elementals
Abanscom procedir directament a la solució del sistema, podeu fer que sigui menys feixuc i més còmode per als càlculs. Això s'aconsegueix mitjançant transformacions elementals, de manera que la seva implementació no canvia de cap manera la resposta final. Cal tenir en compte que algunes de les transformacions elementals anteriors són vàlides només per a matrius, la font de les quals va ser precisament el SLAE. Aquí teniu una llista d'aquestes transformacions:
- Canvia les cadenes. És obvi que si canviem l'ordre de les equacions al registre del sistema, això no afectarà de cap manera la solució. Per tant, també és possible intercanviar files a la matriu d'aquest sistema, sense oblidar, per descomptat, la columna de membres lliures.
- Multiplicant tots els elements d'una cadena per algun factor. Molt útil! Amb ell, podeu reduir nombres grans a la matriu o eliminar zeros. El conjunt de solucions, com és habitual, no canviarà i serà més convenient realitzar més operacions. El més important és que el coeficient no sigui igual a zero.
- Suprimeix les línies amb coeficients proporcionals. Això es desprèn en part del paràgraf anterior. Si dues o més files de la matriu tenen coeficients proporcionals, en multiplicar/dividir una de les files pel coeficient de proporcionalitat, s'obtenen dues (o, de nou, més) files absolutament idèntiques, i podeu eliminar les addicionals, deixant només un.
- Suprimeix la línia nul·la. Si en el transcurs de les transformacions s'obté una cadena en algun lloc on tots els elements, inclòs el membre lliure, siguin zero, llavors aquesta cadena es pot anomenar zero i llançar-se fora de la matriu.
- Afegir als elements d'una fila d'elements d'una altra (segonscolumnes corresponents) multiplicat per algun coeficient. La transformació més obscura i més important de totes. Val la pena dedicar-s'hi amb més detall.
Afegir una cadena multiplicada per un factor
Per facilitar la comprensió, val la pena desmuntar aquest procés pas a pas. Es prenen dues files de la matriu:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Diguem que cal sumar el primer multiplicat pel coeficient "-2" al segon.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
A continuació, la segona fila de la matriu se substitueix per una de nova, mentre que la primera es manté sense canvis.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
S'ha de tenir en compte que el factor de multiplicació es pot triar de manera que, com a resultat de sumar dues cadenes, un dels elements de la nova cadena sigui igual a zero. Per tant, és possible obtenir una equació en el sistema, on n'hi haurà una menys desconeguda. I si obteniu dues equacions d'aquest tipus, llavors l'operació es pot tornar a fer i obtenir una equació que ja contindrà dues incògnites menys. I si cada vegada que passem a zero un coeficient per a totes les files que són inferiors a l'original, podem, com a passos, baixar fins a la part inferior de la matriu i obtenir una equació amb una incògnita. Això es diuresoldre el sistema utilitzant el mètode de Gauss.
En general
Que hi hagi un sistema. Té m equacions i n arrels desconegudes. Podeu escriure-ho així:
La matriu principal està compilada a partir dels coeficients del sistema. S'afegeix una columna de membres gratuïts a la matriu ampliada i es separa per una barra per comoditat.
Següent:
- la primera fila de la matriu es multiplica pel coeficient k=(-a21/a11);
- s'afegeixen la primera fila modificada i la segona fila de la matriu;
- en lloc de la segona fila, el resultat de l'addició del paràgraf anterior s'insereix a la matriu;
- ara el primer coeficient de la segona línia nova és a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Ara es realitza la mateixa sèrie de transformacions, només hi intervenen la primera i la tercera línia. En conseqüència, en cada pas de l'algorisme, l'element a21 es substitueix per a31. Aleshores, tot es repeteix per a41, … am1. El resultat és una matriu on el primer element de les files [2, m] és igual a zero. Ara us heu d'oblidar de la línia número u i realitzar el mateix algorisme a partir de la segona línia:
- k coeficient=(-a32/a22);
- la segona línia modificada s'afegeix a la línia "actual";
- el resultat de l'addició es substitueix a les línies tercera, quarta, etc., mentre que la primera i la segona es mantenen sense canvis;
- a les files [3, m] de la matriu, els dos primers elements ja són iguals a zero.
L'algorisme s'ha de repetir fins que aparegui el coeficient k=(-am, m-1/amm). Això vol dir que l'algorisme es va executar per darrera vegada només per a l'equació inferior. Ara la matriu sembla un triangle o té una forma esglaonada. La línia inferior conté l'equació amn × x =bm. Es coneix el coeficient i el terme lliure, i l'arrel s'expressa a través d'ells: x =bm/amn. L'arrel resultant es substitueix a la fila superior per trobar xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. I així successivament per analogia: a cada línia següent hi ha una nova arrel i, un cop arribat a la "superior" del sistema, es pot trobar un conjunt de solucions [x1, … x ]. Serà l'únic.
Quan no hi ha solucions
Si en una de les files de la matriu tots els elements, excepte el terme lliure, són iguals a zero, aleshores l'equació corresponent a aquesta fila sembla 0=b. No té solució. I com que aquesta equació està inclosa al sistema, aleshores el conjunt de solucions de tot el sistema està buit, és a dir, és degenerat.
Quan hi ha un nombre infinit de solucions
Pot resultar que a la matriu triangular reduïda no hi ha files amb un element, el coeficient de l'equació, i un, un membre lliure. Només hi ha cadenes que, quan es reescriuen, semblarien una equació amb dues o més variables. Això vol dir que el sistema té un nombre infinit de solucions. En aquest cas, la resposta es pot donar en forma de solució general. Com fer-ho?
Totsles variables de la matriu es divideixen en bàsiques i lliures. Bàsiques: són aquells que es troben "a la vora" de les files de la matriu esglaonada. La resta són gratuïtes. A la solució general, les variables bàsiques s'escriuen en termes de les lliures.
Per comoditat, primer es reescriu la matriu en un sistema d'equacions. Llavors, a l'últim d'ells, on només quedava una variable bàsica, es queda a un costat i tota la resta es transfereix a l' altre. Això es fa per a cada equació amb una variable bàsica. Aleshores, a la resta d'equacions, quan és possible, en lloc de la variable bàsica, se substitueix l'expressió obtinguda per a aquesta. Si el resultat torna a ser una expressió que conté només una variable bàsica, s'expressa a partir d'aquí de nou, i així successivament, fins que cada variable bàsica s'escriu com una expressió amb variables lliures. Aquesta és la solució general de SLAE.
També podeu trobar la solució bàsica del sistema: doneu qualsevol valor a les variables lliures i, a continuació, calculeu els valors de les variables bàsiques per a aquest cas en particular. Hi ha infinites solucions particulars.
Solució amb exemples específics
Aquí hi ha un sistema d'equacions.
Per comoditat, és millor fer la seva matriu immediatament
Se sap que en resoldre pel mètode de Gauss, l'equació corresponent a la primera fila romandrà in alterada al final de les transformacions. Per tant, serà més rendible si l'element superior esquerre de la matriu és el més petit, després els primers elements.la resta de files després de les operacions passaran a zero. Això vol dir que a la matriu compilada serà beneficiós posar la segona fila en lloc de la primera.
A continuació, heu de canviar la segona i la tercera línia perquè els primers elements siguin zero. Per fer-ho, afegeix-los al primer, multiplicat per un coeficient:
segona línia: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
tercera línia: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Ara, per no confondre's, has d'escriure una matriu amb resultats intermedis de transformacions.
Òbviament, aquesta matriu es pot fer més llegible amb l'ajuda d'algunes operacions. Per exemple, podeu eliminar tots els "menos" de la segona línia multiplicant cada element per "-1".
També val la pena assenyalar que a la tercera línia tots els elements són múltiples de tres. Llavors potstalla la cadena per aquest nombre, multiplicant cada element per "-1/3" (menys - alhora per eliminar valors negatius).
Sembla molt més bonic. Ara hem de deixar sols la primera línia i treballar amb la segona i la tercera. La tasca és afegir la segona fila a la tercera fila, multiplicada per un factor tal que l'element a32 esdevingui zero.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (si durant algunes transformacions a la resposta no va resultar ser un nombre enter, es recomana deixar-lo "tal qual", en forma de fracció ordinària, i només aleshores, quan es rebin les respostes, decidir si arrodoneix i es converteix a una altra forma de notació)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
La matriu es torna a escriure amb valors nous.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Com podeu veure, la matriu resultant ja té una forma esglaonada. Per tant, no calen més transformacions del sistema pel mètode de Gauss. El que es pot fer aquí és eliminar el coeficient global "-1/7" de la tercera línia.
Ara tothombonic. El punt és petit: torneu a escriure la matriu en forma d'un sistema d'equacions i calculeu les arrels
x + 2y + 4z=12 (1)
7a + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
L'algorisme pel qual ara es trobaran les arrels s'anomena moviment invers en el mètode de Gauss. L'equació (3) conté el valor z:
z=61/9
A continuació, torneu a la segona equació:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
I la primera equació us permet trobar x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Tenim dret a anomenar aquest sistema conjunt, i fins i tot definitiu, és a dir, tenir una solució única. La resposta s'escriu de la forma següent:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Exemple de sistema indefinit
S'ha analitzat la variant de resoldre un determinat sistema pel mètode de Gauss, ara cal considerar el cas si el sistema és indefinit, és a dir, es poden trobar infinites solucions per a ell.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
La forma mateixa del sistema ja és alarmant, perquè el nombre d'incògnites és n=5, i el rang de la matriu del sistema ja és exactament inferior a aquest nombre, perquè el nombre de files és m=4, és a dir, l'ordre més gran del determinant quadrat és 4. Per tant,Hi ha un nombre infinit de solucions, i cal buscar-ne la forma general. El mètode de Gauss per a equacions lineals us permet fer-ho.
Primer, com és habitual, es compila la matriu augmentada.
Segona línia: coeficient k=(-a21/a11)=-3. A la tercera línia, el primer element està abans de les transformacions, així que no cal tocar res, cal deixar-lo tal com està. Quarta línia: k=(-a41/a11)=-5
Multiplicant els elements de la primera fila per cadascun dels seus coeficients al seu torn i sumant-los a les files requerides, obtenim una matriu de la forma següent:
Com podeu veure, la segona, tercera i quarta fila consten d'elements proporcionals entre si. El segon i el quart són generalment iguals, de manera que un d'ells es pot eliminar immediatament, i la resta es multiplica pel coeficient "-1" i obteniu la línia número 3. I de nou, deixeu una de les dues línies idèntiques.
El resultat és una matriu així. El sistema encara no s'ha escrit, aquí cal determinar les variables bàsiques - situant-se en els coeficients a11=1 i a22=1, i gratuït - tota la resta.
Només hi ha una variable bàsica a la segona equació: x2. Per tant, es pot expressar des d'allà, escrivint a través de les variables x3, x4, x5, que són gratuïts.
Substitueix l'expressió resultant a la primera equació.
Va resultar una equació en la quall'única variable bàsica és x1. Fem el mateix que amb x2.
Totes les variables bàsiques, de les quals n'hi ha dues, s'expressen en termes de tres lliures, ara pots escriure la resposta en forma general.
També podeu especificar una de les solucions particulars del sistema. En aquests casos, per regla general, es trien zeros com a valors per a variables lliures. Aleshores la resposta serà:
-16, 23, 0, 0, 0.
Un exemple de sistema inconsistent
La solució de sistemes d'equacions inconsistents mitjançant el mètode de Gauss és la més ràpida. Acaba tan bon punt en una de les etapes s'obté una equació que no té solució. És a dir, desapareix l'etapa amb el càlcul de les arrels, que és força llarga i desolada. S'està considerant el sistema següent:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Com és habitual, la matriu està compilada:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
I reduït a una forma esglaonada:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Després de la primera transformació, la tercera línia conté una equació de la forma
0=7, cap solució. Per tant, el sistemaés inconsistent i la resposta és el conjunt buit.
Avantatges i desavantatges del mètode
Si trieu quin mètode resoldre SLAE en paper amb un llapis, el mètode que es va considerar en aquest article sembla el més atractiu. En les transformacions elementals, és molt més difícil confondre's que no pas si has de buscar manualment el determinant o alguna matriu inversa complicada. Tanmateix, si utilitzeu programes per treballar amb dades d'aquest tipus, per exemple, fulls de càlcul, resulta que aquests programes ja contenen algorismes per calcular els paràmetres principals de les matrius: el determinant, els menors, les matrius inverses i transposades, etc.. I si esteu segur que la màquina calcularà aquests valors ella mateixa i no s'equivocarà, és més convenient utilitzar el mètode de la matriu o les fórmules de Cramer, perquè la seva aplicació comença i acaba amb el càlcul de determinants i matrius inverses.
Aplicació
Com que la solució gaussiana és un algorisme i la matriu és, de fet, una matriu bidimensional, es pot utilitzar en programació. Però com que l'article es posiciona com una guia "per a maniquís", cal dir que el lloc més fàcil per posar el mètode són els fulls de càlcul, per exemple, Excel. De nou, qualsevol SLAE introduït en una taula en forma de matriu serà considerat per Excel com una matriu bidimensional. I per a operacions amb ells, hi ha moltes ordres agradables: suma (només podeu afegir matrius de la mateixa mida!), Multiplicació per un nombre, multiplicació de matrius (també ambdeterminades restriccions), trobar les matrius inverses i transposades i, el més important, calcular el determinant. Si aquesta tasca que consumeix molt de temps se substitueix per una única ordre, és molt més ràpid determinar el rang d'una matriu i, per tant, establir-ne la compatibilitat o inconsistència.
