En matemàtiques, l'aritmètica modular és un sistema de càlcul per a nombres enters, amb l'ajuda del qual es "giren" quan arriben a un determinat valor: el mòdul (o el plural d'ells). L'enfocament modern d'aquest tipus de ciència va ser desenvolupat per Carl Friedrich Gauss a les seves Disquisitiones Arithmeticae publicades el 1801. Als informàtics els agrada molt utilitzar aquest mètode, ja que és molt interessant i obre certes noves possibilitats en les operacions amb nombres.
Essència
Com que el nombre d'hores comença de nou després d'arribar a 12, és aritmètica mòdul 12. Segons la definició següent, 12 no només correspon a 12, sinó també a 0, de manera que també es pot anomenar el temps anomenat " 12:00". "0:00". Després de tot, 12 és el mateix que 0 mòdul 12.
L'aritmètica modular es pot processar matemàticament introduint una relació congruent amb nombres enters que sigui compatible amb operacions sobre nombres entersnombres: sumes, restes i multiplicacions. Per a un nombre enter positiu n, es diu que dos nombres a i b són congruents mòdul n si la seva diferència a - b és múltiple de n (és a dir, si existeix un nombre enter k tal que a - b=kn).
Deduccions
En matemàtiques teòriques, l'aritmètica modular és un dels fonaments de la teoria de nombres, que afecta gairebé tots els aspectes del seu estudi, i també s'utilitza àmpliament en la teoria de grups, anells, nusos i àlgebra abstracta. En l'àmbit de les matemàtiques aplicades, s'utilitza en àlgebra informàtica, criptografia, informàtica, química, arts visuals i música.
Pràctica
Una aplicació molt pràctica és el càlcul de sumes de control en els identificadors de números de sèrie. Per exemple, alguns estàndards de llibres comuns utilitzen aritmètica mòdul 11 (si es publica abans de l'1 de gener de 2007) o mòdul 10 (si es publica abans o després de l'1 de gener de 2007). De la mateixa manera, per exemple, als números de compte bancari internacional (IBAN). Això fa servir l'aritmètica mòdul 97 per detectar errors d'entrada de l'usuari als números de compte bancari.
En química, l'últim dígit del número de registre CAS (el número d'identificació únic de cada compost químic) és el dígit de verificació. Es calcula prenent l'últim dígit de les dues primeres parts del número de registre CAS multiplicat per 1, el dígit anterior 2 vegades, el dígit anterior 3 vegades, etc., sumant-ho tot i calculant la suma mòdul 10.
Què és la criptografia? El fet és queté una connexió molt forta amb el tema en discussió. En criptografia, les lleis de l'aritmètica modular es basen directament en sistemes de clau pública com RSA i Diffie-Hellman. Aquí proporciona els camps finits que subjauen a les corbes el·líptiques. S'utilitza en diversos algorismes de clau simètrica, com ara Advanced Encryption Standard (AES), International Data Encryption Algorithm i RC4.
Aplicació
Aquest mètode s'utilitza en àrees on necessiteu llegir números. Va ser desenvolupat per matemàtics, i tothom l'utilitza, especialment els informàtics. Això està ben documentat en llibres com Modular Arithmetic for Dummies. Tanmateix, diversos experts recomanen no prendre's aquesta literatura seriosament.
En informàtica, l'aritmètica modular s'utilitza sovint en operacions de bits i altres que impliquen estructures de dades circulars d'amplada fixa. Als analistes els encanta utilitzar-lo. L'operació mòdul s'implementa en molts llenguatges de programació i calculadores. En aquest cas, és un exemple d'aquesta aplicació. La comparació de mòduls, la divisió amb una resta i altres trucs també s'utilitzen a la programació.
A la música, l'aritmètica mòdul 12 s'utilitza quan es considera un sistema de temperament igual de dotze tons, en què l'octava i l'enharmònica són equivalents. En altres paraules, les claus de la relació 1-2 o 2-1 són equivalents. En música i altres humanitats, l'aritmètica té un paper força important, però en els llibres de textels informàtics no solen escriure sobre això.
Mètode per reduir els nou
El mètode de conversió dels 9 ofereix una comprovació ràpida dels càlculs aritmètics decimals manuals. Es basa en l'aritmètica modular mòdul 9 i en particular en la propietat decisiva 10 10 1.
hi ha altres exemples. L'aritmètica mòdul 7 s'utilitza en algorismes que determinen el dia de la setmana per a una data concreta. En particular, la congruència de Zeller i l'algoritme de Doomsday fan un gran ús de l'aritmètica mòdul 7.
Altres aplicacions
Ja s'ha dit sobre l'aritmètica modular en criptografia. En aquesta àrea, ella és simplement insubstituïble. De manera més general, l'aritmètica modular també troba aplicacions en disciplines com el dret, l'economia (com la teoria de jocs) i altres àrees de les ciències socials. En altres paraules, on la divisió i distribució proporcional dels recursos juga un paper important.
Com que l'aritmètica modular té un ventall d'usos tan ampli, és important saber com de difícil és resoldre un sistema de comparacions. Un sistema lineal de congruències es pot resoldre en temps polinomial en forma d'eliminació gaussiana. Això es descriu amb més detall pel teorema de congruència lineal. També existeixen algorismes com la reducció de Montgomery per permetre que es realitzin operacions aritmètiques senzilles de manera eficient. Per exemple, multiplicació i exponenciació mòdul n, per a nombres grans. Això és molt important saber-ho per entendre quècriptografia. Després de tot, només funciona amb operacions similars.
Congruència
Algunes operacions, com trobar el logaritme discret o la congruència quadràtica, semblen ser tan complexes com la factorització de nombres enters i, per tant, són el punt de partida per als algorismes criptogràfics i el xifratge. Aquests problemes poden ser NP-intermedis.
Exemples
Les següents són tres funcions C bastant ràpides: dues per realitzar multiplicacions modulars i una per augmentar a nombres modulars per a nombres enters sense signe de fins a 63 bits, sense desbordament transitori.
Poc després del descobriment dels nombres enters (1, 2, 3, 4, 5…) es fa evident que es divideixen en dos grups:
- Parell: divisible per 2 (0, 2, 4, 6..).
- Senr: no divisible per 2 (1, 3, 5, 7…).
Per què és important aquesta distinció? Aquest és el començament de l'abstracció. Observem les propietats del nombre (p. ex., parell o senar) i no només el nombre en si ("37").
Això ens permet explorar les matemàtiques a un nivell més profund i trobar relacions entre tipus de nombres en lloc d'uns específics.
Propietats d'un número
Ser un "tres" és només una propietat més d'un nombre. Potser no és tan útil immediatament com parell/senir, però hi és. Podem crear regles com "tretze x tres vena=tretze" i així successivament. Però és una bogeria. No podem fer paraules noves tot el temps.
L'operació mòdul (mod abreujat o "%" en molts llenguatges de programació) és la resta quandivisió. Per exemple, "5 mod 3=2", el que significa que 2 és la resta quan es divideix 5 per 3.
Quan es converteixen termes quotidians a matemàtiques, un "número parell" és on és "0 mod 2", és a dir, la resta és 0 quan es divideix per 2. Un nombre senar és "1 mod 2" (té una resta d'1).
Nombres parells i senars
Què és parell x parell x senar x senar? Bé, és 0 x 0 x 1 x 1=0. De fet, podeu veure si un nombre parell es multiplica en qualsevol lloc, on el resultat total serà zero.
El truc amb les matemàtiques modulars és que ja l'hem utilitzat per emmagatzemar el temps, de vegades anomenada "aritmètica del rellotge".
Per exemple: 7:00 am (am/pm - no importa). On estarà la mà de les hores d'aquí a 7 hores?
Modulacions
(7 + 7) mod 12=(14) mod 12=2 mod 12 [2 és la resta quan 14 es divideix per 12. Equació 14 mod 12=2 mod 12 significa 14 hores i 2 hores mira el el mateix en un rellotge de 12 hores. Són congruents, indicades per un triple signe igual: 14 ≡ 2 mod 12.
Un altre exemple: són les 8:00 del matí. On estarà la gran mà d'aquí a 25 hores?
En lloc d'afegir 25 a 8, podeu entendre que 25 hores són només "1 dia + 1 hora". La resposta és senzilla. Per tant, el rellotge acabarà 1 hora abans, a les 9:00.
(8 + 25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (1) mod 12 ≡ 9 mod 12. Intuïtivament has convertit 25 a 1 i has afegit això a 8.
Usant el rellotge com a analogia, podem esbrinar siles regles de l'aritmètica modular i funcionen.
Suma/Resta
Diguem que dos temps semblen iguals al nostre rellotge ("2:00" i "14:00"). Si sumem les mateixes x hores a totes dues, què passa? Bé, canvien per la mateixa quantitat al rellotge! 2:00 + 5 hores ≡ 14:00 + 5 hores: tots dos es mostraran a les 7:00.
Per què? Simplement podem afegir 5 a les 2 restes que tenen tots dos i avancen de la mateixa manera. Per a tots els nombres congruents (2 i 14), la suma i la resta tenen el mateix resultat.
És més difícil saber si la multiplicació es manté igual. Si 14 ≡ 2 (mod 12), podem multiplicar els dos nombres i obtenir el mateix resultat? Vegem què passa quan multipliquem per 3.
Bé, 2:003 × 6:00. Però què són les 14:003?
Recorda, 14=12 + 2. Així que podem dir
143=(12 + 2)3=(123) + (23)
La primera part (123) es pot ignorar! El desbordament de 12 hores que en porta 14 simplement es repeteix diverses vegades. Però a qui li importa? Ignorem el desbordament de totes maneres.
Multiplicació
En multiplicar, només importa la resta, és a dir, les mateixes 2 hores per a les 14:00 i les 2:00. Intuïtivament, així és com veig que la multiplicació no canvia la relació amb les matemàtiques modulars (pots multiplicar els dos costats d'una relació modular i obtenir el mateix resultat).
Ho fem de manera intuïtiva, però és bo posar-li un nom. Teniu un vol que arriba a les 3 de la tarda. Ellretardat 14 hores. A quina hora aterrarà?
14 ≡ 2 mod 12. Per tant, penseu-hi a les 2 del matí, de manera que l'avió aterrarà a les 5 del matí. La solució és senzilla: 3 + 2=5 am. Això és una mica més complicat que l'operació de mòdul simple, però el principi és el mateix.
