La teoria de la probabilitat és una branca especial de les matemàtiques, que només l'estudien els estudiants d'institucions d'educació superior. T'agraden els càlculs i les fórmules? No teniu por de les perspectives de coneixement de la distribució normal, l'entropia del conjunt, l'expectativa matemàtica i la variància d'una variable aleatòria discreta? Aleshores, aquest tema us interessarà molt. Familiaritzem-nos amb alguns dels conceptes bàsics més importants d'aquesta secció de la ciència.
Recorda els conceptes bàsics
Encara que recordeu els conceptes més senzills de la teoria de la probabilitat, no oblideu els primers paràgrafs de l'article. El fet és que sense una comprensió clara dels conceptes bàsics, no podreu treballar amb les fórmules que es comenten a continuació.
Per tant, hi ha algun esdeveniment aleatori, algun experiment. Com a resultat de les accions realitzades, podem obtenir diversos resultats: alguns d'ells són més comuns, altres menys comuns. La probabilitat d'un esdeveniment és la relació entre el nombre de resultats realment rebuts d'un tipus i el nombre total de possibles. Només coneixent la definició clàssica d'aquest concepte, podeu començar a estudiar l'expectativa matemàtica i la variància de continuvariables aleatòries.
Mitjana aritmètica
Fins i tot a l'escola, a les classes de matemàtiques, vas començar a treballar amb la mitjana aritmètica. Aquest concepte s'utilitza àmpliament en la teoria de la probabilitat i, per tant, no es pot ignorar. El més important per a nos altres de moment és que el trobarem a les fórmules per a l'expectativa matemàtica i la variància d'una variable aleatòria.
Tenim una seqüència de nombres i volem trobar la mitjana aritmètica. Tot el que ens demana és sumar tot el disponible i dividir pel nombre d'elements de la seqüència. Tinguem nombres de l'1 al 9. La suma dels elements serà 45, i dividirem aquest valor per 9. Resposta: - 5.
Dispersió
Centíficament parlant, la variància és el quadrat mitjà de les desviacions dels valors de les característiques obtingudes de la mitjana aritmètica. Un es denota amb una lletra llatina majúscula D. Què cal per calcular-lo? Per a cada element de la seqüència, calculem la diferència entre el nombre disponible i la mitjana aritmètica i la quadratem. Hi haurà exactament tants valors com resultats puguin haver-hi per a l'esdeveniment que estem considerant. A continuació, resumim tot el rebut i dividim pel nombre d'elements de la seqüència. Si tenim cinc resultats possibles, dividiu-lo per cinc.
La dispersió també té propietats que cal recordar per aplicar-la a l'hora de resoldre problemes. Per exemple, si la variable aleatòria augmenta X vegades, la variància augmenta X vegades el quadrat (és a dir, XX). Mai és inferior a zero i no depèn dedesplaçant els valors en un valor igual cap amunt o cap avall. A més, per a assaigs independents, la variància de la suma és igual a la suma de les variàncies.
Ara definitivament hem de considerar exemples de la variància d'una variable aleatòria discreta i l'expectativa matemàtica.
Suposem que vam fer 21 experiments i vam obtenir 7 resultats diferents. Vam observar cadascun d'ells, respectivament, 1, 2, 2, 3, 4, 4 i 5 vegades. Quina serà la variància?
Primer, calculem la mitjana aritmètica: la suma dels elements, és clar, és 21. Dividiu-ho per 7, obtenint 3. Ara resteu 3 de cada nombre de la seqüència original, quadrat cada valor i sumeu-lo. els resultats junts. En resulta 12. Ara ens queda dividir el nombre entre el nombre d'elements i, sembla, això és tot. Però hi ha una trampa! Parlem-ne.
Dependència del nombre d'experiments
Resulta que en calcular la variància, el denominador pot ser un dels dos nombres: N o N-1. Aquí N és el nombre d'experiments realitzats o el nombre d'elements de la seqüència (que, de fet, és el mateix). De què depèn?
Si el nombre de proves es mesura en centenes, hem de posar N al denominador, si és en unitats, llavors N-1. Els científics van decidir dibuixar la vora de manera força simbòlica: avui passa pel número 30. Si hem fet menys de 30 experiments, dividirem la quantitat per N-1 i, si és més, per N.
Tasca
Tornem al nostre exemple de resolució del problema de la variància i les expectatives. Nos altresva rebre un nombre intermedi de 12, que s'havia de dividir per N o N-1. Com que hem fet 21 experiments, que són menys de 30, triarem la segona opció. Així que la resposta és: la variància és 12 / 2=2.
Expectació
Passem al segon concepte, que hem de tenir en compte en aquest article. L'expectativa matemàtica és el resultat de sumar tots els resultats possibles multiplicats per les probabilitats corresponents. És important entendre que el valor resultant, així com el resultat del càlcul de la variància, s'obté només una vegada per a tota la tasca, sense importar quants resultats consideri.
La fórmula de l'expectació és força senzilla: prenem un resultat, el multipliquem per la seva probabilitat, sumem el mateix per al segon, tercer resultat, etc. Tot el relacionat amb aquest concepte és fàcil de calcular. Per exemple, la suma de les expectatives matemàtiques és igual a l'expectativa matemàtica de la suma. El mateix passa amb l'obra. No totes les quantitats de la teoria de la probabilitat permeten realitzar operacions tan senzilles. Fem una tasca i calculem el valor de dos conceptes que hem estudiat alhora. A més, ens va distreure la teoria: és hora de practicar.
Un altre exemple
Vam realitzar 50 proves i vam obtenir 10 tipus de resultats (nombres del 0 al 9) que apareixien en percentatges diferents. Aquests són, respectivament: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Recordeu que per obtenir les probabilitats, heu de dividir els valors percentuals per 100. Així, obtenim 0,02; 0, 1, etc. Representem per a la variància d'un aleatoriexemple de valor i expectativa matemàtica per resoldre el problema.
Calcula la mitjana aritmètica amb la fórmula que recordem de primària: 50/10=5.
Ara traduïm les probabilitats al nombre de resultats "a trossos" per facilitar-ne el recompte. Obtenim 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Resta la mitjana aritmètica de cada valor obtingut, després de la qual quadra cadascun dels resultats obtinguts. Vegeu com fer-ho utilitzant el primer element com a exemple: 1 - 5=(-4). A més: (-4)(-4)=16. Per a altres valors, feu aquestes operacions vos altres mateixos. Si ho heu fet tot bé, després d'afegir tots els resultats intermedis obtindreu 90.
Continueu calculant la variància i la mitjana dividint 90 per N. Per què triem N i no N-1? Així és, perquè el nombre d'experiments realitzats supera els 30. Així: 90/10=9. Hem obtingut la dispersió. Si obteniu un número diferent, no us desespereu. El més probable és que hagis comès un error banal en els càlculs. Comproveu el que heu escrit i segur que tot anirà al seu lloc.
Per últim, recordem la fórmula de l'expectativa. No donarem tots els càlculs, només escriurem la resposta amb la qual podràs comprovar després de completar tots els tràmits requerits. L'expectativa serà igual a 5, 48. Només recordem com s'han de fer les operacions, utilitzant l'exemple dels primers elements: 00, 02 + 10, 1… i així successivament. Com podeu veure, simplement multipliquem el valor del resultat per la seva probabilitat.
Desviació
Un altre concepte estretament relacionat amb la variància i el valor esperat ésdesviació estàndar. Es denota bé amb les lletres llatines sd, o bé amb les minúscules gregues "sigma". Aquest concepte mostra com, de mitjana, els valors es desvien de la característica central. Per trobar-ne el valor, heu de calcular l'arrel quadrada de la variància.
Si creeu un gràfic d'una distribució normal i voleu veure el valor de la desviació estàndard directament sobre ell, això es pot fer en diverses etapes. Agafeu la meitat de la imatge a l'esquerra o a la dreta del mode (valor central), dibuixeu una perpendicular a l'eix horitzontal perquè les àrees de les figures resultants siguin iguals. El valor del segment entre la meitat de la distribució i la projecció resultant sobre l'eix horitzontal serà la desviació estàndard.
Programari
Com es pot veure a les descripcions de les fórmules i dels exemples presentats, calcular la variància i l'expectativa matemàtica no és el procediment més fàcil des del punt de vista aritmètic. Per no perdre el temps, té sentit utilitzar el programa utilitzat a l'educació superior: s'anomena "R". Té funcions que permeten calcular valors per a molts conceptes a partir d'estadístiques i teoria de probabilitats.
Per exemple, definiu un vector de valors. Això es fa de la següent manera: vector <-c(1, 5, 2…). Ara, quan necessiteu calcular alguns valors per a aquest vector, escriviu una funció i la doneu com a argument. Per trobar la variància, haureu d'utilitzar var. Un exemple d'ellaús: var(vector). Aleshores, només cal que premeu "Enter" i obteniu el resultat.
En conclusió
Variància i expectativa matemàtica són els conceptes bàsics de la teoria de la probabilitat, sense els quals és difícil calcular res en el futur. En el curs principal de les classes de les universitats es tenen en compte ja en els primers mesos d'estudi de l'assignatura. És precisament per la manca de comprensió d'aquests conceptes senzills i la incapacitat per calcular-los que de seguida molts estudiants comencen a quedar-se endarrerits en el programa i després reben males notes al final de la sessió, fet que els priva de beques..
Practiqueu almenys una setmana durant mitja hora al dia, resolent problemes similars als que es presenten en aquest article. Aleshores, en qualsevol prova de teoria de probabilitats, farà front a exemples sense consells estranys ni fulls de trucs.
