La teoria de la probabilitat funciona amb variables aleatòries. Per a variables aleatòries, hi ha les anomenades lleis de distribució. Aquesta llei descriu la seva variable aleatòria amb absoluta totalitat. Tanmateix, quan es treballa amb conjunts reals de variables aleatòries, sovint és molt difícil establir immediatament la llei de la seva distribució i es limiten a un determinat conjunt de característiques numèriques. Per exemple, calcular la mitjana i la variància d'una variable aleatòria sovint és molt útil.
Per què és necessari
Si l'essència de l'expectativa matemàtica s'aproxima al valor mitjà de la quantitat, aleshores, en aquest cas, la dispersió indica com els valors de la nostra quantitat estan dispersos al voltant d'aquesta expectativa matemàtica. Per exemple, si hem mesurat el coeficient intel·lectual d'un grup de persones i volem examinar els resultats de la mesura (mostra), l'expectativa matemàtica mostrarà el valor mitjà aproximat del quocient d'intel·ligència per a aquest grup de persones, i si calculem la variància mostral, descobrirem com s'agrupen els resultats al voltant de l'expectativa matemàtica: un munt a prop (petita variació del coeficient intel·lectual) o més uniformement en tot el rang del resultat mínim al màxim (gran variació i en algun lloc intermedi: expectativa matemàtica).
Per calcular la variància, necessiteu una nova característica d'una variable aleatòria: la desviació del valor respecte al valor matemàtic.esperant.
Desviació
Per entendre com calcular la variància, primer heu d'entendre la desviació. La seva definició és la diferència entre el valor que pren una variable aleatòria i la seva expectativa matemàtica. A grans trets, per entendre com un valor està "dispersat", cal mirar com es distribueix la seva desviació. És a dir, substituïm el valor del valor pel valor de la seva desviació de l'estora. expectatives i explora la seva llei de distribució.
La llei de distribució d'una variable discreta, és a dir, una variable aleatòria que pren valors individuals, s'escriu en forma de taula, on el valor del valor es correlaciona amb la probabilitat que es produeixi. Aleshores, en la llei de distribució de desviacions, la variable aleatòria es substituirà per la seva fórmula, en la qual hi ha un valor (que ha conservat la seva probabilitat) i la seva pròpia estora. esperant.
Propietats de la llei de distribució de la desviació d'una variable aleatòria
Hem escrit la llei de distribució de la desviació d'una variable aleatòria. D'ell, fins ara només podem extreure una característica com l'expectativa matemàtica. Per comoditat, és millor prendre un exemple numèric.
Que hi hagi una llei de distribució d'alguna variable aleatòria: X - valor, p - probabilitat.
Calculem l'expectativa matemàtica mitjançant la fórmula i immediatament la desviació.
Dibuix d'una nova taula de distribució de desviacions.
Aquí també calculem l'expectativa.
Resulta zero. Només hi ha un exemple, però sempre serà així: no és difícil demostrar-ho en el cas general. La fórmula per a l'esperança matemàtica de la desviació es pot descompondre en la diferència entre les expectatives matemàtiques d'una variable aleatòria i, per molt que sembli de tort, l'expectativa matemàtica de la catifa. expectatives (recursió, però), que són les mateixes, per tant, la seva diferència serà zero.
Això s'espera: després de tot, les desviacions en el signe poden ser tant positives com negatives, per tant, de mitjana haurien de donar zero.
Com calcular la variància d'un cas discret. quantitats
Si mat. no té sentit calcular l'expectativa de desviació, cal buscar una altra cosa. Simplement podeu prendre els valors absoluts de les desviacions (mòdul); però amb els mòduls, tot no és tan senzill, així que les desviacions es quadran i després es calcula la seva expectativa matemàtica. De fet, això és el que es vol dir quan parlen de com calcular la variància.
És a dir, agafem les desviacions, les quadrats i fem una taula de desviacions al quadrat i probabilitats que corresponen a variables aleatòries. Aquesta és una nova llei de distribució. Per calcular l'expectativa matemàtica, cal sumar els productes del quadrat de la desviació i la probabilitat.
Fórmula més fàcil
No obstant això, l'article començava amb el fet que sovint es desconeix la llei de distribució de la variable aleatòria inicial. Per tant, cal quelcom més lleuger. De fet, hi ha una altra fórmula que us permet calcular la variància de la mostra utilitzant només la catifa.esperant:
Dispersió: la diferència entre la catifa. expectativa del quadrat d'una variable aleatòria i, a la inversa, del quadrat de la seva estora. esperant.
Hi ha una prova d'això, però no té sentit presentar-la aquí, ja que no té cap valor pràctic (i només hem de calcular la variància).
Com calcular la variància d'una variable aleatòria en sèries variacionals
En les estadístiques reals, és impossible reflectir totes les variables aleatòries (perquè, a grans trets, n'hi ha, per regla general, un nombre infinit). Per tant, el que entra a l'estudi és l'anomenada mostra representativa d'alguna població general. I, com que les característiques numèriques de qualsevol variable aleatòria d'una població tan general es calculen a partir de la mostra, s'anomenen mostra: mitjana mostral, respectivament, variància mostral. Podeu calcular-lo de la mateixa manera que l'habitual (a través de les desviacions al quadrat).
No obstant això, aquesta dispersió s'anomena esbiaixada. La fórmula de la variància no esbiaixada sembla una mica diferent. Normalment es requereix per calcular-lo.
Petit afegit
Una característica numèrica més està relacionada amb la dispersió. També serveix per avaluar com es dispersa la variable aleatòria al voltant de la seva estora. expectatives. No hi ha molta diferència en com calcular la variància i la desviació estàndard: la segona és l'arrel quadrada de la primera.
