A l'article que us ha cridat l'atenció, oferim exemples de models matemàtics. A més, pararem atenció a les etapes de creació de models i analitzarem algunes de les tasques associades al modelatge matemàtic.
Una més de les nostres preguntes és sobre models matemàtics de l'economia, exemples, la definició dels quals considerarem una mica més endavant. Proposem començar la nostra conversa amb el mateix concepte de "model", considerar breument la seva classificació i passar a les nostres preguntes principals.
El concepte de "model"
Sovint sentim la paraula "model". Què es? Aquest terme té moltes definicions, aquí només n'hi ha tres:
- un objecte concret que es crea per rebre i emmagatzemar informació, reflectint algunes propietats o característiques, etc., de l'original d'aquest objecte (aquest objecte concret es pot expressar de diferents formes: mental, descripció mitjançant signes, etc.). i així successivament);
- també significa la visualització de qualsevol situació concreta, vida ogerencial;
- pot servir com a còpia reduïda de qualsevol objecte (es creen per a un estudi i anàlisi més detallats, ja que el model reflecteix l'estructura i les relacions).
El model
El model
A partir de tot el que s'ha dit abans, podem treure una petita conclusió: el model permet estudiar un sistema o objecte complex en detall.
Tots els models es poden classificar segons una sèrie de criteris:
- per àmbit d'ús (educatiu, experimental, científic i tècnic, jocs, simulació);
- per dinàmica (estàtica i dinàmica);
- per branca del coneixement (física, química, geogràfica, històrica, sociològica, econòmica, matemàtica);
- a manera de presentació (material i informatiu).
Els models d'informació, al seu torn, es divideixen en signes i verbals. I icònic: a l'ordinador i no a l'ordinador. Ara passem a una consideració detallada d'exemples d'un model matemàtic.
Model matemàtic
Com podeu suposar, un model matemàtic reflecteix algunes característiques d'un objecte o fenomen mitjançant símbols matemàtics especials. Les matemàtiques són necessàries per modelar els patrons del món circumdant en el seu propi llenguatge específic.
El mètode de modelització matemàtica es va originar fa força temps, fa milers d'anys, juntament amb l'aparició d'aquesta ciència. Tanmateix, l'impuls per al desenvolupament d'aquest mètode de modelització va venir donat per l'aparició dels ordinadors (ordinadors electrònics).
Ara passem a la classificació. També es pot dur a terme segons alguns signes. Ells sónes presenten a la taula següent.
| Classificació per branca de la ciència | Aplicació de models matemàtics en física, sociologia, química, etc. |
| Segons l'aparell matemàtic utilitzat en el procés de modelització | Models basats en equacions diferencials, transformacions algebraiques discretes i similars |
| Ment modelant objectius | Segons aquest principi, hi ha models descriptius, d'optimització, multicriteri, de joc i de simulació |
Proposem aturar-nos i mirar més de prop l'última classificació, ja que reflecteix els patrons generals de modelatge i els objectius dels models que s'estan creant.
Models descriptius
En aquest capítol, ens proposem detenir-nos amb més detall en els models matemàtics descriptius. Per tal de deixar-ho tot molt clar, es posarà un exemple.
Per començar, aquesta vista es pot anomenar descriptiva. Això es deu al fet que només fem càlculs i previsions, però no podem influir en el resultat de l'esdeveniment de cap manera.
Un exemple sorprenent de model matemàtic descriptiu és el càlcul de la trajectòria de vol, la velocitat i la distància des de la Terra d'un cometa que va envair la immensitat del nostre sistema solar. Aquest model és descriptiu, ja que tots els resultats obtinguts només ens poden advertir d'algun tipus de perill. Influir en el resultat de l'esdeveniment, per desgràcia, nos altres noLlauna. Tanmateix, a partir dels càlculs obtinguts, és possible prendre qualsevol mesura per salvar la vida a la Terra.
Models d'optimització
Ara parlarem una mica de models econòmics i matemàtics, exemples dels quals poden ser diferents situacions. En aquest cas, estem parlant de models que ajuden a trobar la resposta correcta en determinades condicions. Han de tenir alguns paràmetres. Per deixar-ho molt clar, considereu un exemple de la part agrícola.
Tenim un graner, però el gra es fa malbé molt ràpidament. En aquest cas, hem d'escollir el règim de temperatura adequat i optimitzar el procés d'emmagatzematge.
Així, podem definir el concepte de "model d'optimització". En un sentit matemàtic, es tracta d'un sistema d'equacions (tant lineals com no), la solució del qual ajuda a trobar la solució òptima en una situació econòmica concreta. Hem considerat un exemple de model matemàtic (optimització), però m'agradaria afegir: aquest tipus pertany a la classe dels problemes extrems, ajuden a descriure el funcionament del sistema econòmic.
Tingueu en compte un matís més: els models poden ser de naturalesa diferent (vegeu la taula següent).
| determinista | En aquest cas, el resultat depèn de les dades d'entrada |
| estocàstic | Descripció de processos aleatoris. En aquest cas, el resultat roman sense definir |
Models multicriteri
Ara et convidem a parlar-ne una micamodel matemàtic d'optimització multiobjectiu. Abans, vam donar un exemple de model matemàtic per optimitzar un procés segons qualsevol criteri, però què passa si n'hi ha molts?
Un exemple sorprenent de tasca multicriteri és l'organització d'una alimentació adequada, saludable i alhora econòmica per a grans grups de persones. Aquestes tasques es troben sovint a l'exèrcit, menjadors escolars, colònies d'estiu, hospitals, etc.
Quin criteri se'ns dóna en aquest problema?
- El menjar ha de ser saludable.
- La despesa en aliments s'ha de reduir al mínim.
Com podeu veure, aquests objectius no coincideixen gens. Això vol dir que a l'hora de resoldre un problema, cal buscar la solució òptima, un equilibri entre dos criteris.
Models de joc
Parlant de models de joc, cal entendre el concepte de "teoria de jocs". En poques paraules, aquests models reflecteixen models matemàtics de conflictes reals. Tingueu en compte que, a diferència d'un conflicte real, el model matemàtic del joc té les seves pròpies regles específiques.
Ara hi haurà un mínim d'informació de la teoria de jocs que us ajudarà a entendre què és un model de joc. I per tant, en el model hi ha necessàriament partits (dos o més), que normalment s'anomenen jugadors.
Tots els models tenen algunes característiques.
| Matèries | Nombre de jugadors |
| Estratègia | Opcions per a possibles accions |
| Pagament | Resultat del conflicte (guanyar o perdre). |
El model de joc es pot combinar o múltiple. Si tenim dos subjectes, aleshores el conflicte està aparellat, si és més, múltiple. També es pot distingir un joc antagònic, també s'anomena joc de suma zero. Aquest és un model en què el guany d'un dels participants és igual a la pèrdua de l' altre.
Models de simulació
En aquesta secció, prestarem atenció als models matemàtics de simulació. Alguns exemples de tasques són:
- model de la dinàmica del nombre de microorganismes;
- model del moviment de les molècules, etc.
En aquest cas, estem parlant de models el més propers possibles als processos reals. En general, imiten qualsevol manifestació a la natura. En el primer cas, per exemple, podem modelar la dinàmica del nombre de formigues en una colònia. En aquest cas, podeu observar el destí de cada individu. En aquest cas, la descripció matemàtica s'utilitza poques vegades, més sovint hi ha condicions escrites:
- després de cinc dies la femella pon ous;
- 20 dies després, la formiga mor, i així successivament.
Així, els models de simulació s'utilitzen per descriure un sistema gran. La conclusió matemàtica és el processament de les dades estadístiques rebudes.
Requisits
Molt importanttingueu en compte que hi ha alguns requisits per a aquest tipus de models, entre els quals es troben els que es mostren a la taula següent.
| Versatilitat | Aquesta propietat us permet utilitzar el mateix model quan descriu grups d'objectes del mateix tipus. És important tenir en compte que els models matemàtics universals són completament independents de la naturalesa física de l'objecte en estudi |
| Adequació | És important entendre aquí que aquesta propietat us permet reproduir processos reals amb la màxima precisió possible. En els problemes d'operació, aquesta propietat del modelatge matemàtic és molt important. Un exemple de model és el procés d'optimització de l'ús d'un sistema de gas. En aquest cas, es comparen indicadors calculats i reals, com a resultat, es comprova la correcció del model compilat |
| Precisió | Aquest requisit implica la coincidència dels valors que obtenim en calcular el model matemàtic i els paràmetres d'entrada del nostre objecte real |
| Economia | El requisit de rendibilitat per a qualsevol model matemàtic es caracteritza pels costos d'implementació. Si el treball amb el model es realitza manualment, cal calcular quant de temps es trigarà a resoldre un problema mitjançant aquest model matemàtic. Si parlem de disseny assistit per ordinador, els indicadors del cost del temps i la memòria de l'ordinador es calculen |
Etapesmodelatge
En total, s'acostuma a distingir quatre etapes en el modelatge matemàtic.
- Formuleu les lleis que vinculen les parts del model.
- Recerca de problemes matemàtics.
- Aclarir la coincidència dels resultats pràctics i teòrics.
- Anàlisi i modernització del model.
Model econòmic i matemàtic
En aquest apartat, destacarem breument el tema dels models econòmics i matemàtics. Alguns exemples de tasques són:
- formació d'un programa de producció per a l'elaboració de productes carnis, garantint el màxim benefici de la producció;
- maximitzar els beneficis de l'organització calculant el nombre òptim de taules i cadires que es produiran en una fàbrica de mobles, etc.
El model econòmic-matemàtic mostra una abstracció econòmica, que s'expressa mitjançant termes i signes matemàtics.
Model matemàtic per ordinador
Exemples de model matemàtic per ordinador són:
- problemes de la hidràulica utilitzant diagrames de flux, diagrames, taules, etc.;
- problemes de mecànica sòlida, etc.
El model d'ordinador és una imatge d'un objecte o sistema presentat com:
- taules;
- diagrames de flux;
- diagrames;
- gràfics, i així successivament.
Al mateix temps, aquest model reflecteix l'estructura i les interconnexions del sistema.
Construir un model econòmic-matemàtic
Ja hem parlat de què econòmicmodel matemàtic. Ara mateix es considerarà un exemple de solució del problema. Hem d'analitzar el programa de producció per identificar la reserva per augmentar els beneficis amb un canvi en l'assortiment.
No considerarem completament el problema, sinó que només construirem un model econòmic i matemàtic. El criteri de la nostra tasca és la maximització de beneficis. Aleshores la funció té la forma: Л=р1х1+р2х2… tendint al màxim. En aquest model, p és el benefici per unitat, x és el nombre d'unitats produïdes. A més, a partir del model construït, cal fer càlculs i resumir.
Un exemple de construcció d'un model matemàtic senzill
Tasca. El pescador va tornar amb la captura següent:
- 8 peixos - habitants dels mars del nord;
- 20% de la captura: els habitants dels mars del sud;
- no s'ha trobat cap peix al riu local.
Quants peixos va comprar a la botiga?
Per tant, un exemple de construcció d'un model matemàtic d'aquest problema és el següent. Denotem el nombre total de peixos amb x. Seguint la condició, 0,2x és el nombre de peixos que viuen a latituds meridionals. Ara combinem tota la informació disponible i obtenim el model matemàtic del problema: x=0, 2x+8. Resolem l'equació i obtenim la resposta a la pregunta principal: va comprar 10 peixos a la botiga.
