La planimetria és una branca de la geometria que estudia les propietats de les figures planes. Aquests inclouen no només triangles, quadrats i rectangles coneguts, sinó també línies rectes i angles. En planimetria, també hi ha conceptes com els angles en un cercle: central i inscrit. Però què volen dir?
Quin és l'angle central?
Per entendre què és un angle central, cal definir un cercle. Un cercle és una col·lecció de tots els punts equidistants d'un punt donat (el centre del cercle).
És molt important distingir-lo d'un cercle. Cal recordar que una circumferència és una línia tancada, i una circumferència és una part d'un pla limitada per ella. Un polígon o un angle es poden inscriure en un cercle.
Un angle central és un angle el vèrtex del qual coincideix amb el centre del cercle i els costats del qual tallen el cercle en dos punts. L'arc, que l'angle limita pels punts d'intersecció, s'anomena arc sobre el qual es recolza l'angle donat.
Considereu l'exemple 1.
A la imatge, l'angle AOB és central, perquè el vèrtex de l'angle i el centre del cercle són un punt O. Es recolza sobre l'arc AB, que no conté el punt C.
En què difereix un angle inscrit d'un de central?
No obstant això, a més dels centrals, també hi ha angles inscrits. Quina és la seva diferència? Igual que el central, l'angle inscrit en un cercle descansa sobre un arc determinat. Però el seu vèrtex no coincideix amb el centre del cercle, sinó que es troba sobre ell.
Prenguem l'exemple següent.
L'angle ACB s'anomena angle inscrit en una circumferència centrada en el punt O. El punt C pertany a la circumferència, és a dir, es troba sobre ell. L'angle descansa sobre l'arc AB.
Quin és l'angle central
Per afrontar amb èxit els problemes de geometria, no n'hi ha prou amb poder distingir entre angles inscrits i centrals. Per regla general, per resoldre'ls, cal saber exactament com trobar l'angle central d'un cercle i poder calcular-ne el valor en graus.
Per tant, l'angle central és igual a la mesura de grau de l'arc sobre el qual es recolza.
A la imatge, l'angle AOB descansa sobre l'arc AB igual a 66°. Per tant, l'angle AOB també és igual a 66°.
Per tant, els angles centrals basats en arcs iguals són iguals.
A la figura, l'arc DC és igual a l'arc AB. Per tant, l'angle AOB és igual a l'angle DOC.
Com trobar un angle inscrit
Pot semblar que l'angle inscrit al cercle és igual a l'angle central,que es basa en el mateix arc. Tanmateix, això és un greu error. De fet, fins i tot mirant el dibuix i comparant aquests angles entre si, podeu veure que les mesures de grau tindran valors diferents. Quin és, doncs, l'angle inscrit al cercle?
La mesura de grau d'un angle inscrit és la meitat de l'arc sobre el qual es recolza, o la meitat de l'angle central si es basen en el mateix arc.
Considerem un exemple. L'angle ACB es basa en un arc igual a 66°.
Així que l'angle DIA=66°: 2=33°
Considerem algunes conseqüències d'aquest teorema.
- Els angles inscrits, si es basen en el mateix arc, corda o arcs iguals, són iguals.
- Si els angles inscrits es basen en la mateixa corda, però els seus vèrtexs es troben a costats oposats, la suma de les mesures de graus d'aquests angles és de 180°, ja que en aquest cas tots dos angles es basen en arcs, la mesura del grau total és 360° (cercle sencer), 360°: 2=180°
- Si l'angle inscrit es basa en el diàmetre del cercle donat, el seu grau de mesura és de 90°, ja que el diàmetre subteneix un arc igual a 180°, 180°: 2=90°
- Si els angles central i inscrit en un cercle es basen en el mateix arc o corda, aleshores l'angle inscrit és igual a la meitat de l'angle central.
On es poden trobar problemes sobre aquest tema? Els seus tipus i solucions
Com que el cercle i les seves propietats són una de les seccions més importants de la geometria, la planimetria en particular, els angles inscrits i centrals en el cercle són un tema àmpliament i detallat.estudiat al currículum escolar. Les tasques dedicades a les seves propietats es troben a l'examen estatal principal (OGE) i a l'examen estatal unificat (USE). Per regla general, per resoldre aquests problemes, hauríeu de trobar els angles del cercle en graus.
Angles basats en el mateix arc
Aquest tipus de problemes és potser un dels més fàcils, ja que per resoldre'l només cal conèixer dues propietats senzilles: si els dos angles estan inscrits i es recolzen en la mateixa corda, són iguals, si un d'ells és central, llavors l'angle inscrit corresponent és igual a la meitat. Tanmateix, a l'hora de resoldre'ls, cal tenir molta cura: de vegades és difícil notar aquesta propietat i els estudiants, quan resolen problemes tan senzills, arriben a un carreró sense sortida. Penseu en un exemple.
Problema 1
Donat un cercle centrat al punt O. L'angle AOB és de 54°. Troba la mesura en grau de l'angle DIA.
Aquesta tasca es resol en un sol pas. L'únic que necessiteu per trobar la resposta ràpidament és notar que l'arc sobre el qual descansen les dues cantonades és comú. Veient això, podeu aplicar la propietat ja coneguda. L'angle ACB és la meitat de l'angle AOB. Així que
1) AOB=54°: 2=27°.
Resposta: 54°.
Angles basats en diferents arcs del mateix cercle
De vegades, la mida de l'arc sobre el qual es recolza l'angle requerit no s'especifica directament a les condicions del problema. Per calcular-lo, cal analitzar la magnitud d'aquests angles i comparar-los amb les propietats conegudes del cercle.
Problema 2
En un cercle centrat en O, angle AOCés de 120° i l'angle AOB és de 30°. Troba el racó TU.
Per començar, val la pena dir que és possible resoldre aquest problema utilitzant les propietats dels triangles isòsceles, però això requerirà més operacions matemàtiques. Per tant, aquí analitzarem la solució utilitzant les propietats dels angles centrals i inscrits en un cercle.
Per tant, l'angle AOC descansa sobre l'arc AC i és central, la qual cosa significa que l'arc AC és igual a l'angle AOC.
AC=120°
De la mateixa manera, l'angle AOB descansa sobre l'arc AB.
AB=30°.
Coneixent això i la mesura de graus de tot el cercle (360°), podeu trobar fàcilment la magnitud de l'arc BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
El vèrtex de l'angle CAB, punt A, es troba sobre la circumferència. Per tant, l'angle CAB està inscrit i és igual a la meitat de l'arc CB.
angle CAB=210°: 2=110°
Resposta: 110°
Problemes basats en les relacions d'arc
Alguns problemes no contenen dades sobre els angles, de manera que s'han de cercar només basant-se en teoremes coneguts i propietats d'un cercle.
Problema 1
Cerca l'angle inscrit en una circumferència que està sostinguda per una corda igual al radi de la circumferència donada.
Si dibuixeu mentalment línies que connecten els extrems del segment amb el centre del cercle, obtindreu un triangle. Després d'haver-ho examinat, podeu veure que aquestes línies són els radis del cercle, el que significa que tots els costats del triangle són iguals. Sabem que tots els angles d'un triangle equilàtersón iguals a 60°. Per tant, l'arc AB que conté el vèrtex del triangle és igual a 60°. A partir d'aquí trobem l'arc AB, en el qual es basa l'angle desitjat.
AB=360° - 60°=300°
Angle ABC=300°: 2=150°
Resposta: 150°
Problema 2
En un cercle centrat al punt O, els arcs estan relacionats com 3:7. Troba l'angle inscrit més petit.
Per a la solució, denotem una part com X, llavors un arc és igual a 3X i el segon, respectivament, 7X. Sabent que la mesura del grau d'una circumferència és 360°, podem escriure una equació.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Segons la condició, heu de trobar un angle més petit. Òbviament, si el valor de l'angle és directament proporcional a l'arc sobre el qual es recolza, aleshores l'angle requerit (menor) correspon a un arc igual a 3X.
Així que l'angle més petit és (36°3): 2=108°: 2=54°
Resposta: 54°
Problema 3
En un cercle centrat al punt O, l'angle AOB és de 60° i la longitud de l'arc més petit és de 50. Calcula la longitud de l'arc més gran.
Per calcular la longitud d'un arc més gran, heu de fer una proporció: com es relaciona l'arc més petit amb el més gran. Per fer-ho, calculem la magnitud dels dos arcs en graus. L'arc més petit és igual a l'angle que hi descansa. La seva mesura de grau és de 60°. L'arc més gran és igual a la diferència entre la mesura de graus del cercle (és igual a 360° independentment d' altres dades) i l'arc més petit.
L'arc gran és de 360° - 60°=300°.
Com que 300°: 60°=5, l'arc més gran és 5 vegades el més petit.
Arc gran=505=250
Resposta: 250
Així, per descomptat, n'hi ha d' altresenfocaments per resoldre problemes similars, però tots es basen d'alguna manera en les propietats dels angles, triangles i cercles centrals i inscrits. Per resoldre'ls amb èxit, cal estudiar amb atenció el dibuix i comparar-lo amb les dades del problema, així com poder aplicar els vostres coneixements teòrics a la pràctica.
