El problema de Goldbach és un dels problemes més antics i populars de la història de totes les matemàtiques.
Aquesta conjectura s'ha demostrat que és certa per a tots els nombres enters inferiors a 4 × 1018, però no s'ha demostrat malgrat els esforços considerables dels matemàtics.
Número
El nombre de Goldbach és un nombre enter parell positiu que és la suma d'un parell de nombres primers senars. Una altra forma de la conjectura de Goldbach és que tots els enters parells superiors a quatre són nombres de Goldbach.
La separació d'aquests números s'anomena partició (o partició) de Goldbach. A continuació es mostren exemples de seccions similars per a alguns nombres parells:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Descobriment de la hipòtesi
Goldbach tenia un col·lega anomenat Euler, a qui li agradava comptar, escriure fórmules complexes i plantejar teories irresolubles. En això eren semblants a Goldbach. Euler va fer un enigma matemàtic semblant fins i tot abans de Goldbach, amb qui ellcorrespondència constant. Aleshores va proposar un segon suggeriment al marge del seu manuscrit, segons el qual un nombre enter superior a 2 es podria escriure com la suma de tres nombres primers. Va considerar que l'1 era un nombre primer.
Ara se sap que les dues hipòtesis són similars, però això no semblava ser un problema en aquell moment. La versió moderna del problema de Goldbach afirma que tot nombre enter superior a 5 es pot escriure com la suma de tres nombres primers. Euler va respondre en una carta datada el 30 de juny de 1742 i va recordar a Goldbach una conversa anterior que van tenir ("… per tant, estem parlant de la hipòtesi original (i no marginal) que sorgeix de la següent afirmació")..
Problema d'Euler-Goldbach
2 i els seus nombres parells es poden escriure com la suma de dos primers, que també és la conjectura de Goldbach. En una carta del 30 de juny de 1742, Euler afirmava que tot nombre enter parell és el resultat de la suma de dos nombres primers, que considera un teorema ben definit, encara que no pot demostrar-ho.
Tercera versió
La tercera versió del problema de Goldbach (equivalent a les altres dues versions) és la forma en què la conjectura sol donar-se avui. També es coneix com la conjectura "forta", "parell" o "binària" de Goldbach per distingir-la de la hipòtesi més feble coneguda avui com la conjectura de Goldbach "feble", "senir" o "ternària". La conjectura feble afirma que tots els nombres senars superiors a 7 són la suma de tres nombres primers senars. La conjectura feble es va demostrar el 2013. La hipòtesi feble ésconseqüència d'una hipòtesi forta. El corol·lari invers i la forta conjectura de Goldbach encara no s'han demostrat fins avui.
Comprovació
Per a valors petits de n, es pot verificar el problema de Goldbach (i, per tant, la conjectura de Goldbach). Per exemple, Nils Pipping l'any 1938 va provar acuradament la hipòtesi fins a n ≦ 105. Amb l'arribada dels primers ordinadors, es van calcular molts més valors de n.
Oliveira Silva va realitzar una cerca informàtica distribuïda que va confirmar la hipòtesi per a n ≦ 4 × 1018 (i es va comprovar fins a 4 × 1017) a partir del 2013. Una entrada d'aquesta cerca és que 3.325.581.707.333.960.528 és el nombre més petit que no té una divisió de Goldbach amb un primer per sota de 9781.
Heurística
La versió per a la forma forta de la conjectura de Goldbach és la següent: com que la quantitat tendeix a l'infinit a mesura que n augmenta, esperem que cada enter parell gran tingui més d'una representació com a suma de dos primers. Però de fet, hi ha moltes representacions d'aquest tipus. Qui va resoldre el problema de Goldbach? Ai, encara ningú.
Aquest argument heurístic és realment una mica imprecís, ja que suposa que m és estadísticament independent de n. Per exemple, si m és senar, llavors n - m també és senar, i si m és parell, aleshores n - m és parell, i aquesta és una relació no trivial (complexa), perquè a part del número 2, només senar els nombres poden ser primers. De la mateixa manera, si n és divisible per 3 i m ja era un primer diferent de 3, llavors n - m també és mútuamentprimer amb 3, de manera que és més probable que sigui un nombre primer en lloc d'un nombre total. Dur a terme aquest tipus d'anàlisi amb més cura, Hardy i Littlewood el 1923, com a part de la seva famosa conjectura de tuple simple Hardy-Littlewood, van fer el perfeccionament anterior de tota la teoria. Però fins ara no ha ajudat a resoldre el problema.
Hipòtesi forta
La conjectura forta de Goldbach és molt més complicada que la conjectura feble de Goldbach. Shnirelman va demostrar més tard que qualsevol nombre natural més gran que 1 es pot escriure com la suma de com a màxim C primers, on C és una constant efectivament calculable. Molts matemàtics van intentar resoldre-ho, comptant i multiplicant nombres, oferint fórmules complexes, etc. Però mai ho van aconseguir, perquè la hipòtesi és massa complicada. No s'ha ajudat cap fórmula.
Però val la pena allunyar-se de la qüestió de demostrar una mica el problema de Goldbach. La constant de Shnirelman és el nombre C més petit amb aquesta propietat. El mateix Shnirelman va obtenir C <800 000. Aquest resultat va ser complementat posteriorment per molts autors, com Olivier Ramaret, que va demostrar el 1995 que cada nombre parell n ≧ 4 és en realitat la suma de sis primers com a màxim. El resultat més famós actualment associat a la teoria de Goldbach de Harald Helfgott.
Més desenvolupament
El 1924, Hardy i Littlewood van assumir G. R. H. va demostrar que el nombre de nombres parells fins a X, violant el problema binari de Goldbach, és molt menor que per a c petit.
El 1973 Chen JingyunVaig intentar resoldre aquest problema, però no va funcionar. També era matemàtic, així que li agradava molt resoldre enigmes i demostrar teoremes.
L'any 1975, dos matemàtics nord-americans van demostrar que hi ha constants positives c i C, aquelles per a les quals N és prou gran. En particular, el conjunt dels enters parells té una densitat zero. Tot això va ser útil per treballar en la solució del problema ternari de Goldbach, que tindrà lloc en el futur.
L'any 1951, Linnik va demostrar l'existència d'una constant K tal que tot nombre parell prou gran és el resultat de sumar un nombre primer i un altre nombre primer entre si. Roger Heath-Brown i Jan-Christoph Schlage-Puchta van trobar l'any 2002 que K=13 funciona. Això és molt interessant per a totes les persones a qui els agrada sumar-se, sumar números diferents i veure què passa.
Solució del problema Goldbach
Com passa amb moltes conjectures conegudes en matemàtiques, hi ha una sèrie de suposades proves de la conjectura de Goldbach, cap de les quals és acceptada per la comunitat matemàtica.
Tot i que la conjectura de Goldbach implica que tot nombre enter positiu superior a un es pot escriure com la suma de tres nombres primers com a màxim, no sempre és possible trobar aquesta suma utilitzant un algorisme cobdiciós que utilitzi el nombre primer més gran possible. a cada pas. La seqüència de Pillai fa un seguiment dels nombres que requereixen més nombres primers en les seves representacions avides. Per tant, la solució al problema de Goldbachencara en qüestió. No obstant això, tard o d'hora, probablement es resoldrà.
Hi ha teories semblants al problema de Goldbach en què els nombres primers es substitueixen per altres conjunts específics de nombres, com ara els quadrats.
Christian Goldbach
Christian Goldbach va ser un matemàtic alemany que també va estudiar dret. Avui se'l recorda per la conjectura de Goldbach.
Va treballar com a matemàtic tota la vida: li agradava molt sumar nombres, inventar noves fórmules. També sabia diverses llengües, en cadascuna de les quals portava el seu diari personal. Aquestes llengües eren l'alemany, el francès, l'italià i el rus. També, segons algunes fonts, parlava anglès i llatí. Durant la seva vida era conegut com un matemàtic bastant conegut. Goldbach també estava molt relacionat amb Rússia, perquè tenia molts col·legues russos i el favor personal de la família reial.
Va continuar treballant a la recentment inaugurada Acadèmia de Ciències de Sant Petersburg el 1725 com a professor de matemàtiques i historiador de l'acadèmia. El 1728, quan Pere II es va convertir en tsar de Rússia, Goldbach es va convertir en el seu mentor. El 1742 va ingressar al Ministeri d'Afers Exteriors de Rússia. És a dir, realment va treballar al nostre país. En aquella època, molts científics, escriptors, filòsofs i militars van venir a Rússia, perquè Rússia en aquell moment era un país d'oportunitats com Amèrica. Molts han fet carrera aquí. I el nostre heroi no és una excepció.
Christian Goldbach era multilingüe: va escriure un diari en alemany i llatí, les seves cartesestaven escrits en alemany, llatí, francès i italià, i per als documents oficials feia servir el rus, l'alemany i el llatí.
Va morir el 20 de novembre de 1764 als 74 anys a Moscou. El dia en què es resolgui el problema de Goldbach serà un homenatge adequat a la seva memòria.
Conclusió
Goldbach va ser un gran matemàtic que ens va donar un dels més grans misteris d'aquesta ciència. No se sap si alguna vegada es resoldrà o no. Només sabem que la seva suposada resolució, com en el cas del teorema de Fermat, obrirà noves perspectives per a les matemàtiques. Als matemàtics els agrada molt resoldre'l i analitzar-lo. És molt interessant i curiós des del punt de vista heurístic. Fins i tot als estudiants de matemàtiques els agrada resoldre el problema de Goldbach. Com més? Al cap i a la fi, els joves se senten atrets constantment per tot allò brillant, ambiciós i sense resoldre, perquè superant les dificultats es pot afirmar. Esperem que aviat aquest problema es resolgui amb ments joves, ambicioses i curioses.
