Un problema geomètric típic és trobar l'angle entre línies. En un pla, si es coneixen les equacions de les rectes, es poden dibuixar i mesurar l'angle amb un transportador. Tanmateix, aquest mètode és laboriós i no sempre és possible. Per esbrinar l'angle anomenat, no cal dibuixar línies rectes, es pot calcular. Aquest article respondrà com es fa.
Una recta i la seva equació vectorial
Qualsevol línia recta es pot representar com un vector que comença en -∞ i acaba en +∞. En aquest cas, el vector passa per algun punt de l'espai. Així, tots els vectors que es poden dibuixar entre dos punts qualsevol d'una línia recta seran paral·lels entre si. Aquesta definició us permet establir l'equació d'una recta en forma vectorial:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Aquí, el vector amb coordenades (a; b; c) és la guia d'aquesta recta que passa pel punt (x0; y0; z0). El paràmetre α us permet transferir el punt especificat a qualsevol altre per a aquesta línia. Aquesta equació és intuïtiva i fàcil de treballar tant en l'espai 3D com en un avió. Per a un pla, no contindrà les coordenades z i la tercera component vectorial de direcció.
La comoditat de realitzar càlculs i estudiar la posició relativa de les rectes a causa de l'ús d'una equació vectorial es deu al fet que se'n coneix el vector director. Les seves coordenades s'utilitzen per calcular l'angle entre línies i la distància entre elles.
Equació general per a una recta en un pla
Escrivim explícitament l'equació vectorial de la recta per al cas bidimensional. Sembla:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Ara calculem el paràmetre α per a cada igu altat i igualem les parts correctes de les igu altats obtingudes:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Obrint els claudàtors i transferint tots els termes a un costat de la igu altat, obtenim:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, on A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
L'expressió resultant s'anomena equació general per a una recta donada en un espai bidimensional (en tridimensional aquesta equació correspon a un pla paral·lel a l'eix z, no a una recta).
Si escrivim explícitament de la y a la x en aquesta expressió, obtenim la forma següent, conegudacada alumne:
y=kx + p, on k=-A/B, p=-C/B
Aquesta equació lineal defineix de manera única una recta en el pla. És molt fàcil dibuixar-lo segons la coneguda equació, per a això cal posar x=0 i y=0 al seu torn, marcar els punts corresponents en el sistema de coordenades i dibuixar una recta que uneixi els punts obtinguts.
Fórmula de l'angle entre línies
En un pla, dues rectes es poden tallar o ser paral·leles entre si. A l'espai, a aquestes opcions s'afegeix la possibilitat de l'existència de línies esbiaixades. Sigui quina sigui la versió de la posició relativa d'aquests objectes geomètrics unidimensionals que s'implementa, l'angle entre ells sempre es pot determinar mitjançant la fórmula següent:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
On v1¯ i v2¯ són els vectors guia per a la línia 1 i 2, respectivament. El numerador és el mòdul del producte escalat per excloure els angles obtusos i tenir en compte només els aguts.
Els vectors v1¯ i v2¯ es poden donar per dues o tres coordenades, mentre que la fórmula de l'angle φ es manté sense canvis.
Paral·lelisme i perpendicularitat de línies
Si l'angle entre 2 rectes calculats amb la fórmula anterior és 0o, llavors es diu que són paral·leles. Per determinar si les línies són paral·leles o no, no podeu calcular l'angleφ, n'hi ha prou amb demostrar que un vector de direcció es pot representar a través d'un vector similar d'una altra línia, és a dir:
v1¯=qv2¯
Aquí q hi ha un nombre real.
Si les equacions de rectes es donen com:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
llavors seran paral·lels només quan els coeficients de x siguin iguals, és a dir:
k1=k2
Aquest fet es pot demostrar si tenim en compte com s'expressa el coeficient k en termes de coordenades del vector directiu de la recta.
Si l'angle d'intersecció entre línies és de 90o, s'anomenen perpendiculars. Per determinar la perpendicularitat de les rectes, tampoc cal calcular l'angle φ, per a això n'hi ha prou amb calcular només el producte escalar dels vectors v1¯ i v 2¯. Ha de ser zero.
En el cas de rectes que es tallen a l'espai, també es pot utilitzar la fórmula de l'angle φ. En aquest cas, el resultat s'ha d'interpretar correctament. La φ calculada mostra l'angle entre els vectors de direcció de les rectes que no es tallen i no són paral·leles.
Tasca 1. Línies perpendiculars
Se sap que les equacions de rectes tenen la forma:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Cal determinar si aquestes línies ho sónperpendicular.
Com s'ha dit anteriorment, per respondre a la pregunta, n'hi ha prou amb calcular el producte escalar dels vectors de les guies, que corresponen a les coordenades (1; 2) i (-4; 2). Tenim:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Com que tenim 0, això vol dir que les rectes considerades es tallen en angle recte, és a dir, són perpendiculars.
Tasca 2. Angle d'intersecció de la línia
Se sap que dues equacions per a rectes tenen la forma següent:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Cal trobar l'angle entre les línies.
Com que els coeficients de x tenen valors diferents, aquestes rectes no són paral·leles. Per trobar l'angle que es forma quan es tallen, traduïm cadascuna de les equacions a una forma vectorial.
Per a la primera línia obtenim:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Al costat dret de l'equació, tenim un vector les coordenades del qual depenen de x. Representem-lo com una suma de dos vectors, i les coordenades del primer contindran la variable x, i les coordenades del segon estaran formades exclusivament per nombres:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Com que x pren valors arbitraris, es pot substituir pel paràmetre α. L'equació vectorial de la primera línia es converteix en:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Fem les mateixes accions amb la segona equació de la línia, obtenim:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Vam reescriure les equacions originals en forma vectorial. Ara podeu utilitzar la fórmula per a l'angle d'intersecció, substituint-hi les coordenades dels vectors directius de les rectes:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Així, les línies considerades es tallen en un angle de 71,565o, o 1,249 radians.
Aquest problema es podria haver resolt d'una altra manera. Per fer-ho, calia agafar dos punts arbitraris de cada recta, compondre vectors directes a partir d'ells i després utilitzar la fórmula per a φ.
