Conèixer la distància d'un punt a un pla oa una línia recta et permet calcular el volum i la superfície de les figures a l'espai. El càlcul d'aquesta distància en geometria es realitza mitjançant les equacions corresponents per als objectes geomètrics especificats. A l'article mostrarem quines fórmules es poden utilitzar per determinar-ho.
Equacions de línies i plans
Abans de donar fórmules per determinar la distància d'un punt a un pla i a una recta, mostrem quines equacions descriuen aquests objectes.
Per definir un punt, s'utilitza un conjunt de coordenades en el sistema d'eixos de coordenades donat. Aquí considerarem només el sistema rectangular cartesià en què els eixos tenen els mateixos vectors unitaris i són mútuament perpendiculars. En un pla, un punt arbitrari es descriu per dues coordenades, a l'espai - per tres.
S'utilitzen diferents tipus d'equacions per definir una línia recta. D'acord amb el tema de l'article, presentemnomés dos d'ells, que s'utilitzen en l'espai bidimensional per definir línies.
Equació vectorial. Té la notació següent:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
El primer terme aquí representa les coordenades d'un punt conegut situat a la línia. El segon terme són les coordenades del vector de direcció multiplicades per un nombre arbitrari λ.
Equació general. La seva notació és la següent:
Ax + By + C=0;
on A, B, C són alguns coeficients.
L'equació general s'utilitza més sovint per determinar línies en un pla, però, per trobar la distància d'un punt a una línia en un pla, és més convenient treballar amb una expressió vectorial.
Un pla a l'espai tridimensional també es pot escriure de diverses maneres matemàtiques. No obstant això, la majoria de vegades als problemes hi ha una equació general, que s'escriu de la següent manera:
Ax + By + Cz + D=0.
L'avantatge d'aquesta notació en relació amb les altres és que conté explícitament les coordenades d'un vector perpendicular al pla. Aquest vector s'anomena guia, coincideix amb la direcció de la normal i les seves coordenades són iguals a (A; B; C).
Tingueu en compte que l'expressió anterior coincideix amb la forma d'escriure una equació general per a una línia recta en un espai bidimensional, per tant, quan resolgueu problemes, heu de tenir cura de no confondre aquests objectes geomètrics.
Distància entre el punt i la línia
Mostrem com calcular la distància entre una línia recta ipunt en l'espai bidimensional.
Que hi hagi algun punt Q(x1; y1) i una línia donada per:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
La distància entre una línia i un punt s'entén com la longitud d'un segment perpendicular a aquesta recta, baixada sobre ell des del punt Q.
Abans de calcular aquesta distància, hauríeu de substituir les coordenades Q en aquesta equació. Si ho compleixen, aleshores Q pertany a la línia donada i la distància corresponent és igual a zero. Si les coordenades del punt no porten a la igu altat, aleshores la distància entre objectes geomètrics és diferent de zero. Es pot calcular amb la fórmula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Aquí P és un punt arbitrari de la recta, que és el començament del vector PQ¯. El vector u¯ és un segment guia per a una recta, és a dir, les seves coordenades són (a; b).
L'ús d'aquesta fórmula requereix la capacitat de calcular el producte creuat al numerador.
Problema amb un punt i una línia
Diguem que necessiteu trobar la distància entre Q(-3; 1) i una recta que compleixi l'equació:
y=5x -2.
Substituint les coordenades de Q a l'expressió, podem assegurar-nos que Q no es troba a la línia. Podeu aplicar la fórmula per a d donada al paràgraf anterior si representeu aquesta equació en forma vectorial. Fem-ho així:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Ara agafem qualsevol punt d'aquesta línia, per exemple (0; -2), i construïm un vector que comenci per ell i acabi en Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Ara apliqueu la fórmula per determinar la distància, obtenim:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Distància des del punt al pla
Com en el cas d'una recta, la distància entre un pla i un punt de l'espai s'entén com la longitud del segment, que des d'un punt donat es baixa perpendicularment al pla i el talla.
A l'espai, un punt ve donat per tres coordenades. Si són iguals a (x1; y1; z1), aleshores la distància entre pla i aquest punt es pot calcular mitjançant la fórmula:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Tingueu en compte que l'ús de la fórmula us permet trobar només la distància de l'avió a la línia. Per trobar les coordenades del punt en què un segment perpendicular talla un pla, cal escriure una equació per a la recta a la qual pertany aquest segment i després trobar un punt comú per a aquesta recta i un pla donat.
Problema amb un avió i un punt
Trobeu la distància d'un punt a un pla si se sap que el punt té coordenades (3; -1; 2) i el pla ve donat per:
-y + 3z=0.
Per utilitzar la fórmula corresponent, primer escrivim els coeficients deavió donat. Com que la variable x i el terme lliure estan absents, els coeficients A i D són iguals a zero. Tenim:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
És fàcil demostrar que aquest pla passa per l'origen i que l'eix x hi pertany.
Substituïm les coordenades del punt i els coeficients del pla a la fórmula de la distància d, obtenim:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Tingueu en compte que si canvieu la coordenada x d'un punt, la distància d no canviarà. Aquest fet vol dir que el conjunt de punts (x; -1; 2) forma una recta paral·lela al pla donat.
