La cinemàtica és una part de la física que considera les lleis del moviment dels cossos. La seva diferència amb la dinàmica és que no té en compte les forces que actuen sobre un cos en moviment. Aquest article està dedicat a la qüestió de la cinemàtica del moviment de rotació.
Moviment de rotació i la seva diferència amb el moviment cap endavant
Si prestes atenció als objectes en moviment que l'envolten, pots veure que es mouen en línia recta (el cotxe circula per la carretera, l'avió vola al cel) o en cercle (el mateix cotxe entrant en un gir, la rotació de la roda). Els tipus més complexos de moviment d'objectes es poden reduir, com a primera aproximació, a una combinació dels dos tipus indicats.
El moviment progressiu implica canviar les coordenades espacials del cos. En aquest cas, sovint es considera com un punt material (no es tenen en compte les dimensions geomètriques).
El moviment de rotació és un tipus de moviment en el qualel sistema es mou en cercle al voltant d'algun eix. A més, l'objecte en aquest cas poques vegades es considera com un punt material, sovint s'utilitza una altra aproximació: un cos absolutament rígid. Això últim significa que es descuiden les forces elàstiques que actuen entre els àtoms del cos i se suposa que les dimensions geomètriques del sistema no canvien durant la rotació. El cas més senzill és un eix fix.
La cinemàtica del moviment de translació i de rotació obeeix a les mateixes lleis de Newton. S'utilitzen quantitats físiques similars per descriure ambdós tipus de moviment.
Quines magnituds descriuen el moviment en física?
La cinemàtica del moviment de rotació i translació utilitza tres magnituds bàsiques:
- El camí recorregut. Ho denotarem amb la lletra L per a la translació i θ - per al moviment de rotació.
- Velocitat. Per a un cas lineal, normalment s'escriu amb la lletra llatina v, per al moviment al llarg d'un camí circular, amb la lletra grega ω.
- Acceleració. Per a un camí lineal i circular, s'utilitzen els símbols a i α, respectivament.
El concepte de trajectòria també s'utilitza sovint. Però per als tipus de moviment d'objectes considerats, aquest concepte esdevé trivial, ja que el moviment de translació es caracteritza per una trajectòria lineal i de rotació - per un cercle.
Velocitats lineals i angulars
Comencem la cinemàtica del moviment de rotació d'un punt materialvist des del concepte de velocitat. Se sap que per al moviment de translació dels cossos, aquest valor descriu quin camí es superarà per unitat de temps, és a dir:
v=L / t
V es mesura en metres per segon. Per a la rotació, és inconvenient tenir en compte aquesta velocitat lineal, ja que depèn de la distància a l'eix de rotació. S'introdueix una característica lleugerament diferent:
ω=θ / t
Aquesta és una de les fórmules principals de la cinemàtica del moviment de rotació. Mostra en quin angle θ girarà tot el sistema al voltant d'un eix fix en el temps t.
Les dues fórmules anteriors reflecteixen el mateix procés físic de velocitat de moviment. Només per al cas lineal, la distància és important, i per al cas circular, l'angle de gir.
Les dues fórmules interactuen entre elles. Aconseguim aquesta connexió. Si expressem θ en radians, aleshores un punt material que gira a una distància R de l'eix, després d'haver fet una volta, recorrerà el camí L=2piR. L'expressió de la velocitat lineal prendrà la forma:
v=L / t=2piR / t
Però la relació de 2pi radians al temps t no és més que velocitat angular. Aleshores obtenim:
v=ωR
A partir d'aquí es pot veure que com més gran sigui la velocitat lineal v i com més petit sigui el radi de gir R, més gran serà la velocitat angular ω.
Acceleració lineal i angular
Una altra característica important en la cinemàtica del moviment de rotació d'un punt material és l'acceleració angular. Abans de conèixer-lo, anemfórmula per a un valor lineal similar:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
La primera expressió reflecteix l'acceleració instantània (dt ->0), mentre que la segona fórmula és adequada si la velocitat canvia uniformement al llarg del temps Δt. L'acceleració obtinguda en la segona variant s'anomena mitjana.
Donada la similitud de les magnituds que descriuen el moviment lineal i de rotació, per a l'acceleració angular podem escriure:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
La interpretació d'aquestes fórmules és exactament la mateixa que en el cas lineal. L'única diferència és que a mostra quants metres per segon canvia la velocitat per unitat de temps, i α mostra quants radians per segon canvia la velocitat angular durant el mateix període de temps.
Trobem la connexió entre aquestes acceleracions. Substituint el valor de v, expressat en termes de ω, en qualsevol de les dues igu altats de α, obtenim:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Es dedueix que com més petit sigui el radi de gir i com més gran sigui l'acceleració lineal, més gran serà el valor de α.
Distància recorreguda i angle de gir
Queda per donar fórmules per a l'última de les tres magnituds bàsiques de la cinemàtica del moviment de rotació al voltant d'un eix fix, per a l'angle de rotació. Com en els paràgrafs anteriors, primer anotem la fórmula per al moviment rectilini uniformement accelerat, tenim:
L=v0 t + a t2 / 2
La total analogia amb el moviment de rotació porta a la fórmula següent:
θ=ω0 t + αt2 / 2
L'última expressió us permet obtenir l'angle de rotació per a qualsevol moment t. Tingueu en compte que la circumferència és de 2pi radians (≈ 6,3 radians). Si, com a resultat de resoldre el problema, el valor de θ és més gran que el valor especificat, aleshores el cos ha fet més d'una revolució al voltant de l'eix.
La fórmula de la relació entre L i θ s'obté substituint els valors corresponents per ω0i α mitjançant característiques lineals:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
L'expressió resultant reflecteix el significat del propi angle θ en radians. Si θ=1 rad, aleshores L=R, és a dir, un angle d'un radi descansa sobre un arc de longitud d'un radi.
Exemple de resolució de problemes
Resolvem el següent problema de cinemàtica rotacional: sabem que el cotxe es mou a una velocitat de 70 km/h. Sabent que el diàmetre de la seva roda és D=0,4 metres, cal determinar-ne el valor de ω, així com el nombre de revolucions que farà quan el cotxe recorre una distància d'1 quilòmetre.
Per trobar la velocitat angular, n'hi ha prou amb substituir les dades conegudes a la fórmula per relacionar-la amb la velocitat lineal, obtenim:
ω=v / R=7104 / 3600/0, 2=97, 222 rad/s.
De manera semblant per a l'angle θ al qual girarà la roda després de passar1 km, obtenim:
θ=L/R=1000/0, 2=5000 rad.
Atès que una revolució és de 6,2832 radians, obtenim el nombre de revolucions de la roda que correspon a aquest angle:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 voltes.
Vam respondre les preguntes utilitzant les fórmules de l'article. També es va poder resoldre el problema d'una altra manera: calcular el temps durant el qual el cotxe recorrerà 1 km, i substituir-lo en la fórmula de l'angle de gir, a partir de la qual podem obtenir la velocitat angular ω. S'ha trobat la resposta.
