La paradoxa de Bertrand és un problema en la interpretació clàssica de la teoria de la probabilitat. Joseph el va introduir a la seva obra Calcul des probabilités (1889) com a exemple que les probabilitats no es poden definir bé si un mecanisme o mètode produeix una variable aleatòria.
Declaració del problema
La paradoxa de Bertrand és la següent.
Primer, considereu un triangle equilàter inscrit en una circumferència. En aquest cas, el diàmetre es tria aleatòriament. Quina és la probabilitat que sigui més llarg que el costat del triangle?
Bertrand va fer tres arguments, tots semblen correctes, però donen resultats diferents.
Mètode de punt final aleatori
Has de seleccionar dos llocs del cercle i dibuixar un arc que els connecti. Per al càlcul es considera la paradoxa de la probabilitat de Bertrand. Cal imaginar que el triangle gira de manera que el seu vèrtex coincideixi amb un dels extrems de la corda. Val la pena pagartingueu en compte que si l' altra part està en un arc entre dos llocs, el cercle és més llarg que el costat del triangle. La longitud de l'arc és un terç del cercle, de manera que la probabilitat que una corda aleatòria sigui més llarga és 1/3.
Mètode de selecció
Cal seleccionar el radi del cercle i un punt sobre ell. Després d'això, heu de construir una corda per aquest lloc, perpendicular al diàmetre. Per calcular la paradoxa considerada de Bertrand de la teoria de la probabilitat, cal imaginar que el triangle gira de manera que el costat sigui perpendicular al radi. La corda és més llarga que la cama si el punt seleccionat està més a prop del centre del cercle. I en aquest cas, el costat del triangle divideix el radi. Per tant, la probabilitat que la corda sigui més llarga que el costat de la figura inscrita és 1/2.
acords aleatoris
Mètode del punt mitjà. Cal triar un lloc al cercle i crear un acord amb un centre donat. L'eix és més llarg que la vora del triangle inscrit, si la ubicació seleccionada es troba dins d'un cercle concèntric de radi 1/2. L'àrea del cercle més petit és una quarta part de la figura més gran. Per tant, la probabilitat d'una corda aleatòria és més llarga que el costat del triangle inscrit i és igual a 1/4.
Com s'ha presentat anteriorment, els mètodes de selecció es diferencien pel pes que donen a determinades cordes, que són els diàmetres. Al mètode 1, cada corda es pot seleccionar exactament d'una manera, sigui o no un diàmetre.
Al mètode 2, cada línia recta es pot seleccionar de dues maneres. Mentre que qualsevol altre acord serà escollitnomés una de les possibilitats.
Al mètode 3, cada selecció de punt mitjà té un únic paràmetre. Excepte el centre del cercle, que és el punt mitjà de tots els diàmetres. Aquests problemes es poden evitar "ordenant" totes les preguntes per excloure paràmetres sense afectar les probabilitats resultants.
Els mètodes
Seleccionar també es poden visualitzar de la següent manera. Una corda que no és un diàmetre s'identifica únicament pel seu punt mitjà. Cadascun dels tres mètodes de selecció presentats anteriorment produeix una distribució diferent del centre. I les opcions 1 i 2 proporcionen dues particions diferents no uniformes, mentre que el mètode 3 ofereix una distribució uniforme.
La paradoxa clàssica de resoldre el problema de Bertrand depèn del mètode pel qual s'escull l'acord "a l'atzar". Resulta que si s'especifica per endavant un mètode de selecció aleatòria, el problema té una solució ben definida. Això es deu al fet que cada mètode individual té la seva pròpia distribució d'acords. Les tres sentències mostrades per Bertrand corresponen a diferents modes de selecció i, a f alta d'informació addicional, no hi ha cap raó per afavorir-ne una sobre l' altra. En conseqüència, el problema indicat no té una solució única.
Un exemple de com fer que una resposta general sigui única és especificar que els extrems de la corda estan espaiats uniformement entre 0 i c, on c és la circumferència del cercle. Aquesta distribució és la mateixa que en el primer argument de Bertrand i la probabilitat única resultant serà 1/3.
Aquesta paradoxa de Bertrand Russell i altres singularitats del clàssicles interpretacions de possibilitat justifiquen formulacions més rigoroses. Inclou la freqüència de probabilitat i la teoria bayesiana subjectivista.
El que hi ha a la base de la paradoxa de Bertrand
Al seu article de 1973 "El problema ben plantejat", Edwin Jaynes va oferir la seva solució única. Ha assenyalat que la paradoxa de Bertrand es basa en una premissa basada en el principi de "màxima ignorància". Això vol dir que no hauríeu d'utilitzar cap informació que no es proporcioni a la declaració del problema. Jaynes va assenyalar que el problema de Bertrand no determina la posició ni la mida del cercle. I va argumentar que, per tant, qualsevol decisió definitiva i objectiva ha de ser "indiferent" a la mida i la posició.
A efectes d'il·lustració
Suposant que tots els acords es col·loquen a l'atzar en un cercle de 2 cm, ara haureu de llençar-hi palletes des de lluny.
A continuació, heu de fer un altre cercle amb un diàmetre més petit (per exemple, 1 centímetre), que encaixi en una figura més gran. Aleshores, la distribució d'acords en aquest cercle més petit hauria de ser la mateixa que en el màxim. Si la segona xifra també es mou dins de la primera, la probabilitat, en principi, no hauria de canviar. És molt fàcil veure que per al mètode 3 es produirà el següent canvi: la distribució d'acords al cercle vermell petit serà qualitativament diferent de la distribució al cercle gran.
El mateix passa amb el mètode 1. Tot i que és més difícil de veure a la vista gràfica.
Mètode 2 és l'únicque resulta ser alhora una escala i una traducció invariant.
El mètode número 3 sembla ser senzillament extensible.
El mètode 1 no és cap dels dos.
No obstant això, la Janes no va utilitzar fàcilment invariants per acceptar o rebutjar aquests mètodes. Això deixaria la possibilitat que hi hagi un altre mètode no descrit que s'ajusti als seus aspectes de significat raonable. Jaynes va aplicar equacions integrals que descriuen invariances. Determinar directament la distribució de probabilitat. En el seu problema, les equacions integrals tenen una solució única, i això és exactament el que es va anomenar el mètode del segon radi aleatori anterior.
En un article de 2015, Alon Drory argumenta que el principi de Jaynes també pot donar dues solucions més de Bertrand. L'autor assegura que la implementació matemàtica de les propietats d'invariància anteriors no és única, sinó que depèn del procediment bàsic de selecció aleatòria que una persona decideixi utilitzar. Mostra que cadascuna de les tres solucions de Bertrand es pot obtenir mitjançant la invariància rotacional, d'escala i de translació. Al mateix temps, concloure que el principi de Jaynes està tan subjecte a interpretació com el propi mode d'indiferència.
Experiments físics
El mètode 2 és l'única solució que satisfà els invariants de transformació que estan presents en conceptes fisiològics específics com ara la mecànica estadística i l'estructura del gas. També a la propostaExperiment de Janes de llançar palletes des d'un cercle petit.
No obstant això, es poden dissenyar altres experiments pràctics que proporcionin respostes segons altres mètodes. Per exemple, per arribar a una solució al primer mètode de punt final aleatori, podeu adjuntar un comptador al centre de l'àrea. I deixeu que els resultats de dues rotacions independents ress altin els llocs finals de l'acord. Per arribar a una solució al tercer mètode, es pot cobrir el cercle amb melassa, per exemple, i marcar el primer punt on aterra la mosca com a corda mitjana. Diversos contempladors han creat estudis per extreure conclusions diferents i han confirmat empíricament els resultats.
Últims esdeveniments
Al seu article de 2007 "La paradoxa de Bertrand i el principi d'indiferència", Nicholas Shackel argumenta que més d'un segle després, el problema encara continua sense resoldre. Continua refutant el principi d'indiferència. A més, en el seu article de 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical", Darrell R. Robottom mostra que totes les decisions proposades no tenen res a veure amb la seva pròpia pregunta. Així que va resultar que la paradoxa seria molt més difícil de resoldre del que es pensava anteriorment.
Shackel subratlla que fins ara molts científics i persones allunyades de la ciència han intentat resoldre la paradoxa de Bertrand. Encara es supera amb l'ajuda de dos enfocaments diferents.
Aquells en què es va considerar la diferència entre problemes no equivalents i aquells en què el problema sempre es va considerar correcte. Shackel cita Louis als seus llibresMarinoff (com a exponent típic de l'estratègia de diferenciació) i Edwin Jaynes (com a autor d'una teoria ben pensada).
No obstant això, en el seu recent treball Solving a Complex Problem, Diederik Aerts i Massimiliano Sassoli de Bianchi creuen que per resoldre la paradoxa de Bertrand cal buscar les premisses en una estratègia mixta. Segons aquests autors, el primer pas és solucionar el problema indicant clarament la naturalesa de l'entitat aleatòria. I només un cop fet això, qualsevol problema es pot considerar correcte. Això és el que pensa Janes.
Així que el principi de màxima ignorància es pot fer servir per resoldre'l. Amb aquesta finalitat, i com que el problema no especifica com s'ha d'escollir un acord, el principi s'aplica no a nivell de les diverses possibilitats, sinó a un altre molt més profund.
Selecció de peces
Aquesta part del problema requereix el càlcul d'una meta-mitjana de totes les maneres possibles, que els autors anomenen la mitjana universal. Per fer-ho, utilitzen el mètode de discretització. Inspirat en el que s'està fent per definir la llei de probabilitat en els processos de Wiener. El seu resultat és coherent amb el corol·lari numèric de Jaynes, tot i que el seu problema ben plantejat difereix del de l'autor original.
En economia i comerç, la paradoxa de Bertrand, anomenada així pel seu creador Joseph Bertrand, descriu una situació en què dos actors (empreses) assoleixen un equilibri de Nash. Quan ambdues empreses estableixen un preu igual al cost marginal(MS).
La paradoxa de Bertrand es basa en una premissa. Rau en el fet que en models com el de la competència de Cournot, un augment del nombre d'empreses s'associa a la convergència dels preus amb els costos marginals. En aquests models alternatius, la paradoxa de Bertrand es troba en un oligopoli d'un nombre reduït d'empreses que obtenen beneficis positius cobrant preus per sobre del cost.
Per començar, val la pena suposar que dues empreses A i B venen un producte homogeni, cadascuna de les quals té el mateix cost de producció i distribució. Es dedueix que els compradors trien un producte únicament en funció del preu. Això vol dir que la demanda és infinitament elàstica al preu. Ni A ni B posaran un preu més alt que els altres, perquè això faria col·lapsar tota la paradoxa de Bertrand. Un dels participants del mercat cedirà al seu competidor. Si estableixen el mateix preu, les empreses compartiran els beneficis.
D' altra banda, si alguna empresa baixa el seu preu encara que sigui lleugerament, obtindrà tot el mercat i una rendibilitat significativament més alta. Com que A i B ho saben, cadascú intentarà socavar el competidor fins que el producte es vengui amb un benefici econòmic zero.
Els treballs recents han demostrat que pot haver-hi un equilibri addicional en la paradoxa de l'estratègia mixta de Bertrand, amb beneficis econòmics positius, sempre que la suma del monopoli sigui infinita. En el cas del benefici final, es va demostrar que un augment positiu sota la competència de preus és impossible en equilibris mixts i fins i tot en el cas més general.sistemes correlacionats.
De fet, la paradoxa de Bertrand en economia rarament es veu a la pràctica, perquè els productes reals gairebé sempre es diferencien d'una altra manera que no sigui el preu (per exemple, pagar en excés per una etiqueta). Les empreses tenen límits en la seva capacitat per produir i distribuir. És per això que dues empreses rarament tenen els mateixos costos.
El resultat de Bertrand és paradoxal perquè si el nombre d'empreses augmenta d'una a dues, el preu baixa de monopoli a competitiu i es manté al mateix nivell que el nombre d'empreses que augmenten després. Això no és gaire realista, perquè en realitat, els mercats amb poques empreses amb poder de mercat tendeixen a cobrar preus per sobre del cost marginal. L'anàlisi empírica mostra que la majoria de les indústries amb dos competidors generen beneficis positius.
Al món modern, els científics intenten trobar solucions a la paradoxa que siguin més coherents amb el model de competència de Cournot. Quan dues empreses d'un mercat estan obtenint beneficis positius que es troben entre els nivells de perfecta competència i de monopoli.
Algunes raons per les quals la paradoxa de Bertrand no està directament relacionada amb l'economia:
- Límits de capacitat. De vegades, les empreses no tenen capacitat suficient per satisfer tota la demanda. Aquest punt va ser plantejat per primera vegada per Francis Edgeworth i va donar lloc al model Bertrand-Edgeworth.
- Preus enters. S'exclouen els preus per sobre del MC perquè una empresa pot socavar una altra a l'atzar.una petita quantitat. Si els preus són discrets (per exemple, han de prendre valors enters), llavors una empresa ha de rebaixar l' altra en almenys un ruble. Això implica que el valor de la moneda petita està per sobre del MC. Si una altra empresa li fixa el preu més alt, una altra el pot rebaixar i capturar tot el mercat, la paradoxa de Bertrand consisteix precisament en això. No li portarà cap benefici. Aquesta empresa preferirà compartir les vendes 50/50 amb una altra empresa i rebre uns ingressos purament positius.
- Diferenciació de productes. Si els productes de diferents empreses difereixen entre si, és possible que els consumidors no canviïn completament a productes amb un preu més baix.
- Competició dinàmica. La interacció repetida o la competència de preus repetida poden conduir a un equilibri de valor.
- Més articles per un import superior. Això es deu a la interacció repetida. Si una empresa estableix el seu preu una mica més alt, encara obtindrà aproximadament el mateix nombre de compres, però més beneficis per article. Per tant, l' altra empresa augmentarà el seu marcatge, etc. (Només en les repeticions, en cas contrari, la dinàmica va en l' altra direcció).
Oligopoli
Si dues empreses poden acordar un preu, els interessa a llarg termini mantenir l'acord: els ingressos per reducció de valor són menys del doble dels ingressos del compliment de l'acord i només duran fins que l' altra empresa redueix el seu preu. preus propis.
Teoriaprobabilitats (com la resta de matemàtiques) és en realitat un invent recent. I el desenvolupament no ha estat suau. Els primers intents de formalitzar el càlcul de probabilitats els va fer el marquès de Laplace, que va proposar definir el concepte com la relació entre el nombre d'esdeveniments que condueixen a un resultat.
Això, per descomptat, només té sentit si el nombre de tots els esdeveniments possibles és finit. I, a més, tots els esdeveniments són igualment probables.
Així, en aquell moment, aquests conceptes semblaven no tenir una base sòlida. Els intents d'estendre la definició al cas d'un nombre infinit d'esdeveniments han comportat dificultats encara més grans. La paradoxa de Bertrand és un d'aquests descobriments que ha fet que els matemàtics desconfiïn de tot el concepte de probabilitat.
