Sovint a la ciència matemàtica hi ha una sèrie de dificultats i preguntes, i moltes de les respostes no sempre són clares. Cap excepció va ser un tema com la cardinalitat dels conjunts. De fet, això no és més que una expressió numèrica del nombre d'objectes. En un sentit general, un conjunt és un axioma; no té definició. Es basa en qualsevol objecte, o millor dit el seu conjunt, que pot ser buit, finit o infinit. A més, conté nombres enters o naturals, matrius, seqüències, segments i línies.
Sobre les variables existents
Un conjunt nul o buit sense valor intrínsec es considera un element cardinal perquè és un subconjunt. La col·lecció de tots els subconjunts d'un conjunt no buit S és un conjunt de conjunts. Així, es considera que el conjunt de potències d'un conjunt determinat és molts, concebibles, però únics. Aquest conjunt s'anomena conjunt de potències de S i es denota amb P (S). Si S conté N elements, aleshores P(S) conté 2^n subconjunts, ja que un subconjunt de P(S) és ∅ o un subconjunt que conté r elements de S, r=1, 2, 3,… Compost per tot infinit.el conjunt M s'anomena magnitud de potència i es denota simbòlicament amb P (M).
Elements de la teoria de conjunts
Aquest camp de coneixement va ser desenvolupat per George Cantor (1845-1918). Avui s'utilitza en gairebé totes les branques de les matemàtiques i serveix com a part fonamental. En la teoria de conjunts, els elements es representen en forma de llista i es donen per tipus (conjunt buit, singleton, conjunts finits i infinits, iguals i equivalents, universals), unió, intersecció, diferència i suma de nombres. A la vida quotidiana, sovint parlem d'una col·lecció d'objectes com ara un munt de claus, un estol d'ocells, un paquet de cartes, etc. A 5è de matemàtiques i més enllà, hi ha nombres naturals, enters, primers i compostos.
Es poden considerar els conjunts següents:
- nombres naturals;
- lletres de l'alfabet;
- probabilitats principals;
- triangles amb diferents costats.
Es pot veure que aquests exemples especificats són conjunts d'objectes ben definits. Considereu uns quants exemples més:
- cinc científics més famosos del món;
- set noies boniques en societat;
- tres millors cirurgians.
Aquests exemples de cardinalitat no són col·leccions d'objectes ben definides, perquè els criteris de "més famós", "més bonic", "millor" varien d'una persona a una altra.
Conjunts
Aquest valor és un nombre ben definit d'objectes diferents. Suposant que:
- wordset és un sinònim, agregat, classe i conté elements;
- objectes, els membres són iguals;
- conjunts solen indicar-se amb majúscules A, B, C;
- set es representen amb lletres minúscules a, b, c.
Els
Els elements
Si "a" és un element del conjunt A, aleshores es diu que "a" pertany a A. Denotem la frase "pertany" amb el caràcter grec "∈" (èpsilon). Així, resulta que a ∈ A. Si 'b' és un element que no pertany a A, aquest es representa com b ∉ A. Alguns conjunts importants utilitzats a les matemàtiques de 5è es representen mitjançant els tres mètodes següents:
- aplicacions;
- registres o tabular;
- regla per crear una formació.
En un examen més detallat, el formulari de sol·licitud es basa en el següent. En aquest cas, es fa una descripció clara dels elements del conjunt. Tots estan tancats entre claus. Per exemple:
- conjunt de nombres senars inferiors a 7, escrits com a {menys que 7};
- un conjunt de números superiors a 30 i inferiors a 55;
- nombre d'alumnes d'una classe que pesen més que el professor.
Al formulari de registre (taula), els elements d'un conjunt es mostren dins d'un parell de claudàtors {} i separats per comes. Per exemple:
- Siguem que N denoti el conjunt dels cinc primers nombres naturals. Per tant, N=→ formulari de registre
- Conjunt de totes les vocals de l'alfabet anglès. Per tant, V={a, e, i, o, u, y} → forma de registre
- El conjunt de tots els nombres senars és menor que 9. Per tant, X={1, 3, 5, 7} → formaregistre
- Conjunt de totes les lletres de la paraula "Matemàtiques". Per tant, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Formulari de registre
- W és el conjunt dels últims quatre mesos de l'any. Per tant, W={setembre, octubre, novembre, desembre} → registre.
Tingueu en compte que l'ordre en què es mostren els elements no importa, però no s'han de repetir. Una forma de construcció establerta, en un cas donat, una regla, fórmula o operador s'escriu entre parèntesis perquè el conjunt quedi correctament definit. Al formulari del creador de conjunts, tots els elements han de tenir la mateixa propietat per convertir-se en membre del valor en qüestió.
En aquesta forma de representació de conjunt, un element del conjunt es descriu amb el caràcter "x" o qualsevol altra variable seguida de dos punts (":" o "|" per indicar). Per exemple, siga P el conjunt de nombres comptables superiors a 12. P en la forma del constructor de conjunts s'escriu com - {nombre comptable i major que 12}. Es llegirà d'una determinada manera. És a dir, "P és un conjunt d'elements x de manera que x és comptable i superior a 12."
Exemple resolt amb tres mètodes de representació de conjunts: nombre d'enters entre -2 i 3. A continuació es mostren exemples de diferents tipus de conjunts:
- Un conjunt buit o nul que no conté cap element i es denota amb el símbol ∅ i es llegeix phi. En forma de llista, ∅ s'escriu {}. El conjunt finit és buit, ja que el nombre d'elements és 0. Per exemple, el conjunt de valors enters és menor que 0.
- Òbviament no hi hauria d'haver <0. Per tant, aquestconjunt buit.
- Un conjunt que només conté una variable s'anomena conjunt singleton. No és ni simple ni compost.
Conjunt finit
Un conjunt que conté un nombre determinat d'elements s'anomena conjunt finit o infinit. Buit fa referència al primer. Per exemple, un conjunt de tots els colors de l'arc de Sant Martí.
Infinity és un conjunt. Els elements que hi ha no es poden enumerar. És a dir, que conté variables semblants s'anomena conjunt infinit. Exemples:
- potència del conjunt de tots els punts del pla;
- conjunt de tots els nombres primers.
Però heu d'entendre que totes les cardinalitats de la unió d'un conjunt no es poden expressar en forma de llista. Per exemple, nombres reals, ja que els seus elements no corresponen a cap patró en concret.
El nombre cardinal d'un conjunt és el nombre d'elements diferents en una quantitat determinada A. Es denota n (A).
Per exemple:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Per tant, n (A)=4.
- B=conjunt de lletres de la paraula ALGEBRA.
Conjunts equivalents per a la comparació de conjunts
Les dues cardinalitats d'un conjunt A i B són tals si el seu nombre cardinal és el mateix. El símbol del conjunt equivalent és "↔". Per exemple: A ↔ B.
Conjunts iguals: dues cardinalitats dels conjunts A i B si contenen els mateixos elements. Cada coeficient de A és una variable de B i cadascun de B és el valor especificat de A. Per tant, A=B. Els diferents tipus d'unions de cardinalitat i les seves definicions s'expliquen mitjançant els exemples proporcionats.
Essència de la finitud i l'infinit
Quines diferències hi ha entre la cardinalitat d'un conjunt finit i un conjunt infinit?
El primer valor té el nom següent si està buit o té un nombre finit d'elements. En un conjunt finit, es pot especificar una variable si té un nombre limitat. Per exemple, utilitzant el nombre natural 1, 2, 3. I el procés de llistat acaba en una mica N. El nombre d'elements diferents comptats en el conjunt finit S es denota amb n (S). També s'anomena ordre o cardenal. Simbòlicament denotada segons el principi estàndard. Així, si el conjunt S és l'alfabet rus, conté 33 elements. També és important recordar que un element no apareix més d'una vegada en un conjunt.
Infinit al conjunt
Un conjunt s'anomena infinit si els elements no es poden enumerar. Si té un nombre natural il·limitat (és a dir, incomptable) 1, 2, 3, 4 per a qualsevol n. Un conjunt que no és finit s'anomena infinit. Ara podem parlar d'exemples dels valors numèrics considerats. Opcions de valor final:
- Sigui Q={nombres naturals inferiors a 25}. Aleshores Q és un conjunt finit i n (P)=24.
- Sigui R={nombres enters entre 5 i 45}. Aleshores R és un conjunt finit i n (R)=38.
- Sigui S={nombres mòdul 9}. Aleshores S={-9, 9} és un conjunt finit i n (S)=2.
- Conjunt de totes les persones.
- Nombre de tots els ocells.
Exemples infinits:
- nombre de punts existents a l'avió;
- nombre de tots els punts del segment de línia;
- el conjunt de nombres enters positius divisibles per 3 és infinit;
- tots els nombres sencers i naturals.
Així, pel raonament anterior, queda clar com distingir entre conjunts finits i infinits.
Poder del conjunt continu
Si comparem el conjunt i altres valors existents, s'adjunta una addició al conjunt. Si ξ és universal i A és un subconjunt de ξ, aleshores el complement de A és el nombre de tots els elements de ξ que no són elements de A. Simbòlicament, el complement de A respecte a ξ és A'. Per exemple, 2, 4, 5, 6 són els únics elements de ξ que no pertanyen a A. Per tant, A'={2, 4, 5, 6}
Un conjunt amb continu de cardinalitat té les característiques següents:
- complement de la quantitat universal és el valor buit en qüestió;
- aquesta variable conjunta nul·la és universal;
- import i el seu complement són inconjunts.
Per exemple:
- Sigui el nombre de nombres naturals un conjunt universal i A sigui parell. Aleshores A '{x: x és un conjunt senar amb els mateixos dígits}.
- Let ξ=conjunt de lletres de l'alfabet. A=conjunt de consonants. Aleshores A '=nombre de vocals.
- El complement del conjunt universal és la quantitat buida. Es pot denotar amb ξ. Aleshores ξ '=El conjunt d'aquells elements que no estan inclosos a ξ. S'escriu i es denota el conjunt buit φ. Per tant ξ=φ. Per tant, el complement del conjunt universal està buit.
En matemàtiques, de vegades s'utilitza "continuum" per representar una línia real. I de manera més general, per descriure objectes semblants:
- continu (en teoria de conjunts) - línia real o número cardinal corresponent;
- lineal: qualsevol conjunt ordenat que comparteix determinades propietats d'una línia real;
- continu (en topologia) - espai mètric connectat compacte no buit (de vegades Hausdorff);
- la hipòtesi que cap conjunt infinit és més gran que els nombres enters però més petit que els nombres reals;
- la potència del continu és un nombre cardinal que representa la mida del conjunt de nombres reals.
Essencialment, un continu (mesura), teories o models que expliquen les transicions graduals d'un estat a un altre sense cap canvi brusc.
Problemes d'unió i intersecció
Se sap que la intersecció de dos o més conjunts és el nombre que conté tots els elements que són comuns en aquests valors. Les tasques de paraules sobre conjunts es resolen per obtenir idees bàsiques sobre com utilitzar les propietats d'unió i intersecció dels conjunts. S'han resolt els principals problemes de les paraulesels conjunts tenen aquest aspecte:
Siguin A i B dos conjunts finits. Són tals que n (A)=20, n (B)=28 i n (A ∪ B)=36, trobeu n (A ∩ B)
Relació en conjunts utilitzant el diagrama de Venn:
- La unió de dos conjunts es pot representar amb una àrea ombrejada que representa A ∪ B. A ∪ B quan A i B són conjunts disjunts.
- La intersecció de dos conjunts es pot representar mitjançant un diagrama de Venn. Amb l'àrea ombrejada que representa A ∩ B.
- La diferència entre els dos conjunts es pot representar mitjançant diagrames de Venn. Amb una àrea ombrejada que representa A - B.
- Relació entre tres conjunts mitjançant un diagrama de Venn. Si ξ representa una magnitud universal, aleshores A, B, C són tres subconjunts. Aquí els tres conjunts es superposen.
Resumant la informació del conjunt
La cardinalitat d'un conjunt es defineix com el nombre total d'elements individuals del conjunt. I l'últim valor especificat es descriu com el nombre de tots els subconjunts. Quan s'estudien aquests problemes, calen mètodes, mètodes i solucions. Per tant, per a la cardinalitat d'un conjunt, els exemples següents poden servir com a:
Sigui A={0, 1, 2, 3}| |=4, on | A | representa la cardinalitat del conjunt A.
Ara pots trobar el teu paquet d'energia. També és bastant senzill. Com ja s'ha dit, el conjunt de potències s'estableix a partir de tots els subconjunts d'un nombre donat. Així, bàsicament, s'hauria de definir totes les variables, elements i altres valors de A,que són {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Ara esbrina P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} que té 16 elements. Així, la cardinalitat del conjunt A=16. Òbviament, aquest és un mètode tediós i feixuc per resoldre aquest problema. Tanmateix, hi ha una fórmula senzilla mitjançant la qual, directament, podeu conèixer el nombre d'elements del conjunt de potències d'un nombre determinat. | P |=2 ^ N, on N és el nombre d'elements d'algun A. Aquesta fórmula es pot obtenir mitjançant combinatòria simple. Per tant, la pregunta és 2^11 ja que el nombre d'elements del conjunt A és 11.
Per tant, un conjunt és qualsevol quantitat expressada numèricament, que pot ser qualsevol objecte possible. Per exemple, cotxes, persones, números. En un sentit matemàtic, aquest concepte és més ampli i més generalitzat. Si en les etapes inicials es resolen els números i les opcions per a la seva solució, a les etapes mitjanes i superiors les condicions i les tasques són complicades. De fet, la cardinalitat de la unió d'un conjunt ve determinada per la pertinença de l'objecte a qualsevol grup. És a dir, un element pertany a una classe, però té una o més variables.
