Pitàgores va argumentar que el nombre és subjacent al món juntament amb els elements bàsics. Plató creia que el nombre connecta el fenomen i el noumen, ajudant a conèixer, mesurar i treure conclusions. L'aritmètica prové de la paraula "aritme", un nombre, l'inici dels inicis de les matemàtiques. Pot descriure qualsevol objecte, des d'una poma elemental fins a espais abstractes.
Necessitats com a factor de desenvolupament
En les primeres etapes de la formació de la societat, les necessitats de la gent es limitaven a la necessitat de mantenir el compte: un sac de gra, dos sacs de gra, etc. Els números naturals eren suficients per a això, el conjunt dels quals és una seqüència infinita positiva de nombres enters N.
Més tard, amb el desenvolupament de les matemàtiques com a ciència, hi havia una necessitat d'un camp separat de nombres enters Z: inclou valors negatius i zero. La seva aparició a nivell domèstic va ser provocada pel fet que a la comptabilitat primària calia arreglar d'alguna maneradeutes i pèrdues. A nivell científic, els nombres negatius han permès resoldre les equacions lineals més senzilles. Entre altres coses, ara s'ha fet possible la imatge d'un sistema de coordenades trivial, ja que ha aparegut un punt de referència.
El següent pas va ser la necessitat d'introduir els nombres fraccionaris, ja que la ciència no s'aturava, cada cop més descobriments requerien una base teòrica per a un nou impuls de creixement. Així va aparèixer el camp dels nombres racionals Q.
Finalment, la racionalitat va deixar de satisfer les peticions, perquè totes les noves conclusions requerien justificació. Va aparèixer el camp dels nombres reals R, els treballs d'Euclides sobre la inconmensurabilitat de determinades magnituds a causa de la seva irracionalitat. És a dir, els antics matemàtics grecs van posicionar el nombre no només com una constant, sinó també com una quantitat abstracta, que es caracteritza per la proporció de quantitats inconmensurables. A causa del fet que van aparèixer nombres reals, quantitats com "pi" i "e" van "veure la llum", sense les quals les matemàtiques modernes no podrien tenir lloc.
La innovació final va ser el complex nombre C. Va respondre a una sèrie de preguntes i va refutar els postulats introduïts anteriorment. A causa del ràpid desenvolupament de l'àlgebra, el resultat era previsible: tenir números reals era impossible resoldre molts problemes. Per exemple, gràcies als nombres complexos, va destacar la teoria de les cordes i el caos, i les equacions de la hidrodinàmica es van expandir.
Teoria de conjunts. Cantor
El concepte d'infinit en tot momentva provocar polèmica, ja que no es va poder ni demostrar ni desmentir. En el context de les matemàtiques, que funcionaven amb postulats estrictament verificats, això es va manifestar de manera més clara, sobretot perquè l'aspecte teològic encara tenia pes en la ciència.
No obstant això, gràcies al treball del matemàtic Georg Kantor, tot va anar encaixant al llarg del temps. Va demostrar que hi ha un nombre infinit de conjunts infinits i que el camp R és més gran que el camp N, encara que tots dos no tinguin cap final. A mitjans del segle XIX, les seves idees van ser anomenades en veu alta com a ximpleries i un crim contra els cànons clàssics i inamovibles, però el temps ho va posar tot al seu lloc.
Propietats bàsiques del camp R
Els nombres reals no només tenen les mateixes propietats que els subconjunts que s'hi inclouen, sinó que també es complementen amb altres a causa de l'escala dels seus elements:
- El zero existeix i pertany al camp R. c + 0=c per a qualsevol c de R.
- El zero existeix i pertany al camp R. c x 0=0 per a qualsevol c de R.
- La relació c: d per a d ≠ 0 existeix i és vàlida per a qualsevol c, d de R.
- El camp R està ordenat, és a dir, si c ≦ d, d ≦ c, aleshores c=d per a qualsevol c, d de R.
- La suma al camp R és commutativa, és a dir, c + d=d + c per a qualsevol c, d de R.
- La multiplicació en el camp R és commutativa, és a dir, c x d=d x c per a qualsevol c, d de R.
- L'addició al camp R és associativa, és a dir, (c + d) + f=c + (d + f) per a qualsevol c, d, f de R.
- La multiplicació al camp R és associativa, és a dir, (c x d) x f=c x (d x f) per a qualsevol c, d, f de R.
- Per a cada nombre del camp R, hi ha un contrari, de manera que c + (-c)=0, on c, -c és de R.
- Per a cada nombre del camp R hi ha la seva inversa, de manera que c x c-1 =1, on c, c-1 des de R.
- La unitat existeix i pertany a R, per tant c x 1=c, per a qualsevol c de R.
- La llei de distribució és vàlida, de manera que c x (d + f)=c x d + c x f, per a qualsevol c, d, f de R.
- Al camp R, zero no és igual a un.
- El camp R és transitiu: si c ≦ d, d ≦ f, aleshores c ≦ f per a qualsevol c, d, f de R.
- Al camp R, l'ordre i la suma estan relacionats: si c ≦ d, aleshores c + f ≦ d + f per a qualsevol c, d, f de R.
- Al camp R, l'ordre i la multiplicació estan relacionats: si 0 ≦ c, 0 ≦ d, aleshores 0 ≦ c x d per a qualsevol c, d de R.
- Tant els nombres reals negatius com els positius són continus, és a dir, per a qualsevol c, d de R, hi ha una f de R tal que c ≦ f ≦ d.
Mòdul al camp R
Els números reals inclouen el mòdul.
Denotat com a |f| per qualsevol f de R. |f|=f si 0 ≦ f i |f|=-f si 0 > f. Si considerem el mòdul com una quantitat geomètrica, aleshores és la distància recorreguda; no importa si heu "passat" de zero a menys o endavant a més.
Nombres complexos i reals. Quines són les semblances i quines diferències?
En general, els nombres complexos i reals són un mateix, excepte aixòunitat imaginària i, el quadrat de la qual és -1. Els elements dels camps R i C es poden representar amb la fórmula següent:
c=d + f x i, on d, f pertanyen al camp R i i és la unitat imaginària
Per obtenir c de R en aquest cas, f simplement es posa igual a zero, és a dir, només queda la part real del nombre. A causa del fet que el camp dels nombres complexos té el mateix conjunt de propietats que el camp dels nombres reals, f x i=0 si f=0.
Pel que fa a les diferències pràctiques, per exemple, en el camp R, l'equació quadràtica no es resol si el discriminant és negatiu, mentre que el camp C no imposa aquesta restricció a causa de la introducció de la unitat imaginària i.
Resultats
Els "maons" dels axiomes i postulats en què es basen les matemàtiques no canvien. A causa de l'augment de la informació i de la introducció de noves teories, en alguns d'ells es col·loquen els següents "maons", que en el futur poden esdevenir la base del següent pas. Per exemple, els nombres naturals, malgrat que són un subconjunt del camp real R, no perden la seva rellevància. És en ells on es basa tota l'aritmètica elemental, amb la qual comença el coneixement humà del món.
Des d'un punt de vista pràctic, els nombres reals semblen una línia recta. En ell podeu triar la direcció, designar l'origen i el pas. Una recta consta d'un nombre infinit de punts, cadascun dels quals correspon a un sol nombre real, independentment de si és racional o no. De la descripció es desprèn que estem parlant d'un concepte sobre el qual es construeixen tant les matemàtiques en general com l'anàlisi matemàtica en general.particular.
