Fins i tot a l'escola, tots els estudiants es familiaritzen amb el concepte de "geometria euclidiana", les principals disposicions de la qual es centren al voltant de diversos axiomes basats en elements geomètrics com el punt, el pla, la línia i el moviment. Tots junts formen el que fa temps que es coneix amb el terme "espai euclidià".
L'espai euclidià, la definició del qual es basa en el concepte de multiplicació escalar de vectors, és un cas especial d'espai lineal (afí) que compleix una sèrie de requisits. En primer lloc, el producte escalar dels vectors és absolutament simètric, és a dir, el vector amb coordenades (x;y) és quantitativament idèntic al vector amb coordenades (y;x), però de direcció oposada.
En segon lloc, si es realitza el producte escalar d'un vector amb si mateix, el resultat d'aquesta acció serà positiu. L'única excepció serà el cas quan les coordenades inicial i final d'aquest vector siguin iguals a zero: en aquest cas, el seu producte amb si mateix també serà igual a zero.
En tercer lloc, el producte escalar és distributiu, és a dir, és possible descompondre una de les seves coordenades en la suma de dos valors, la qual cosa no comportarà cap canvi en el resultat final de la multiplicació escalar de vectors. Finalment, en quart lloc, quan els vectors es multipliquen pel mateix nombre real, el seu producte escalar també augmentarà pel mateix factor.
Si es compleixen aquestes quatre condicions, podem dir amb confiança que tenim un espai euclidià.
L'espai euclidià des d'un punt de vista pràctic es pot caracteritzar pels següents exemples concrets:
- El cas més senzill és la presència d'un conjunt de vectors amb un producte escalar definit segons les lleis bàsiques de la geometria.
- L'espai euclidià també s'obtindrà si per vectors entenem un determinat conjunt finit de nombres reals amb una fórmula determinada que descrigui la seva suma o producte escalar.
- Un cas especial d'espai euclidià és l'anomenat espai zero, que s'obté si la longitud escalar dels dos vectors és igual a zero.
L'espai euclidià té una sèrie de propietats específiques. En primer lloc, el factor escalar es pot treure entre parèntesis tant del primer com del segon factor del producte escalar, el resultat d'això no canviarà de cap manera. En segon lloc, juntament amb la distributivitat del primer element de l'escalarproducte, també actua la distributivitat del segon element. A més, a més de la suma escalar de vectors, la distributivitat també té lloc en el cas de la resta de vectors. Finalment, en tercer lloc, quan un vector es multiplica escalarment per zero, el resultat també serà zero.
Per tant, l'espai euclidià és el concepte geomètric més important utilitzat per resoldre problemes amb la disposició mútua de vectors entre si, que es caracteritza per un concepte com el producte escalar.
