El triangle és una de les formes geomètriques més comunes, que ja coneixem a primària. La qüestió de com trobar l'àrea d'un triangle s'enfronta a cada estudiant a les classes de geometria. Aleshores, quines són les característiques de trobar l'àrea d'una figura donada que es poden distingir? En aquest article, considerarem les fórmules bàsiques necessàries per completar aquesta tasca, així com analitzarem els tipus de triangles.
Tipus de triangles
Podeu trobar l'àrea d'un triangle de maneres completament diferents, perquè en geometria hi ha més d'un tipus de figura que conté tres angles. Aquestes espècies inclouen:
- Triangle agut.
- Obt-angle.
- Equilàter (correcte).
- Triangle dret.
- Isòsceles.
Fem una ullada més de prop a cadascun dels tipus de triangles existents.
Aguttriangle
Aquesta figura geomètrica es considera la més comuna per resoldre problemes geomètrics. Quan es fa necessari dibuixar un triangle arbitrari, aquesta opció ve al rescat.
En un triangle agut, com el seu nom indica, tots els angles són aguts i sumen 180°.
Triangle angulat
Aquest triangle també és molt comú, però és una mica menys comú que el d'angle agut. Per exemple, en resoldre triangles (és a dir, coneixeu diversos dels seus costats i angles i cal trobar els elements restants), de vegades cal determinar si l'angle és obtús o no. El cosinus d'un angle obtus és un nombre negatiu.
En un triangle obtús, el valor d'un dels angles supera els 90°, de manera que els dos angles restants poden prendre valors petits (per exemple, 15° o fins i tot 3°).
Per trobar l'àrea d'un triangle d'aquest tipus, cal conèixer alguns matisos, dels quals parlarem més endavant.
Triangles regulars i isòsceles
Un polígon regular és una figura que inclou n angles i tots els costats i angles són iguals. Aquest és el triangle rectangle. Com que la suma de tots els angles d'un triangle és 180°, cadascun dels tres angles és 60°.
Un triangle regular, a causa de la seva propietat, també s'anomena figura equilàter.
També val la pena assenyalar que aun triangle regular només es pot inscriure amb un cercle i només es pot circumscriure un cercle al seu voltant, i els seus centres estan situats en un punt.
A més del tipus equilàter, també es pot seleccionar un triangle isòsceles, que en difereix lleugerament. En aquest triangle, dos costats i dos angles són iguals entre si, i el tercer costat (al qual s'ajunten angles iguals) és la base.
La figura mostra un triangle isòsceles DEF, els angles D i F del qual són iguals, i DF és la base.
Triangle dret
Un triangle rectangle s'anomena així perquè un dels seus angles és un angle recte, és a dir, igual a 90°. Els altres dos angles sumen 90°.
El costat més gran d'aquest triangle, oposat a l'angle de 90°, és la hipotenusa, mentre que els altres dos dels seus costats són els catets. Per a aquest tipus de triangles, és aplicable el teorema de Pitàgores:
La suma dels quadrats de les longituds dels catets és igual al quadrat de la longitud de la hipotenusa.
La figura mostra un triangle rectangle BAC amb hipotenusa AC i catets AB i BC.
Per trobar l'àrea d'un triangle amb un angle recte, cal conèixer els valors numèrics dels seus catets.
Passem a les fórmules per trobar l'àrea d'aquesta figura.
Fórmules d'àrea bàsiques
En geometria, hi ha dues fórmules adequades per trobar l'àrea de la majoria dels tipus de triangles, és a dir, per a angles aguts, obtús, regulars itriangles isòsceles. Analitzem cadascun d'ells.
Per costat i alçada
Aquesta fórmula és universal per trobar l'àrea de la figura que estem considerant. Per fer-ho, n'hi ha prou de conèixer la longitud del costat i la longitud de l'alçada dibuixada. La fórmula en si (la meitat del producte de la base i l'alçada) té aquest aspecte:
S=½AH, on A és el costat del triangle donat i H és l'alçada del triangle.
Per exemple, per trobar l'àrea d'un triangle d'angle agut ACB, heu de multiplicar el seu costat AB per l'alçada CD i dividir el valor resultant per dos.
No obstant això, no sempre és fàcil trobar l'àrea d'un triangle d'aquesta manera. Per exemple, per utilitzar aquesta fórmula per a un triangle d'angle obtus, heu de continuar amb un dels seus costats i només després dibuixeu-hi una alçada.
A la pràctica, aquesta fórmula s'utilitza més sovint que altres.
A dos costats i una cantonada
Aquesta fórmula, com l'anterior, és adequada per a la majoria de triangles i en el seu significat és una conseqüència de la fórmula per trobar l'àrea pel costat i l'alçada d'un triangle. És a dir, la fórmula en qüestió es pot derivar fàcilment de l'anterior. La seva redacció és així:
S=½sinOAB, on A i B són els costats d'un triangle i O és l'angle entre els costats A i B.
Recordeu que el sinus d'un angle es pot veure en una taula especial que porta el nom del destacat matemàtic soviètic V. M. Bradis.
I ara passem a altres fórmules,adequat només per a tipus excepcionals de triangles.
Àrea d'un triangle rectangle
A més de la fórmula universal, que inclou la necessitat de dibuixar una alçada en un triangle, l'àrea d'un triangle que conté un angle recte es pot trobar per les seves cames.
Així, l'àrea d'un triangle que conté un angle recte és la meitat del producte dels seus catets, o:
S=½ab, on a i b són els catets d'un triangle rectangle.
Triangle regular
Aquest tipus de figures geomètriques es diferencien perquè la seva àrea es pot trobar amb el valor especificat només d'un dels seus costats (ja que tots els costats d'un triangle regular són iguals). Per tant, després d'haver tingut la tasca de "trobar l'àrea d'un triangle quan els costats són iguals", heu d'utilitzar la fórmula següent:
S=A2√3/4, on A és el costat d'un triangle equilàter.
Fórmula d'Heron
L'última opció per trobar l'àrea d'un triangle és la fórmula d'Heron. Per utilitzar-lo, cal conèixer la longitud dels tres costats de la figura. La fórmula d'Heron té aquest aspecte:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), on a, b i c són els costats d'aquest triangle.
De vegades la tasca donada: "l'àrea d'un triangle regular: troba la longitud del seu costat". En aquest cas, heu d'utilitzar la fórmula ja coneguda per trobar l'àrea d'un triangle regular i derivar-ne el valor del costat (o del seu quadrat):
A2=4S / √3.
Problemes d'examen
A les tasques GIAHi ha moltes fórmules en matemàtiques. A més, sovint és necessari trobar l'àrea d'un triangle en paper a quadres.
En aquest cas, el més convenient és dibuixar l'alçada a un dels costats de la figura, determinar la seva longitud per cel·les i utilitzar la fórmula universal per trobar l'àrea:
S=½AH.
Així, després d'estudiar les fórmules presentades a l'article, no tindreu problemes per trobar l'àrea d'un triangle de cap mena.
