En matemàtiques i processament, el concepte de senyal analític (abreujat - C, AC) és una funció complexa que no té components de freqüència negatius. Les parts real i imaginària d'aquest fenomen són funcions reals relacionades entre si per la transformada de Hilbert. Un senyal analític és un fenomen força comú en química, l'essència del qual és similar a la definició matemàtica d'aquest concepte.
Actuacions
La representació analítica d'una funció real és un senyal analític que conté la funció original i la seva transformada de Hilbert. Aquesta representació facilita moltes manipulacions matemàtiques. La idea principal és que els components de freqüència negativa de la transformada de Fourier (o espectre) d'una funció real són redundants a causa de la simetria hermitiana d'aquest espectre. Aquests components de freqüència negativa es poden descartar sensepèrdua d'informació, sempre que es vulgui tractar amb una funció complexa. Això fa que determinats atributs de les funcions siguin més accessibles i fa que sigui més fàcil derivar tècniques de modulació i demodulació com ara SSB.
Components negatius
Mentre la funció que s'està manipulant no tingui components de freqüència negatius (és a dir, encara és analítica), la conversió de complex a real és simplement una qüestió de descartar la part imaginària. La representació analítica és una generalització del concepte de vector: mentre que un vector està limitat a una amplitud, fase i freqüència invariants en el temps, una anàlisi qualitativa d'un senyal analític permet paràmetres variables en el temps.
L'amplitud instantània, la fase instantània i la freqüència s'utilitzen en algunes aplicacions per mesurar i detectar característiques locals de C. Una altra aplicació de la representació analítica es relaciona amb la demodulació de senyals modulats. Les coordenades polars separen convenientment els efectes de la modulació AM i de fase (o freqüència) i demodulen eficaçment certs tipus.
Llavors un simple filtre de pas baix amb coeficients reals pot tallar la part d'interès. Un altre motiu és reduir la freqüència màxima, la qual cosa redueix la freqüència mínima per al mostreig sense àlies. El canvi de freqüència no soscava la utilitat matemàtica de la representació. Així, en aquest sentit, el downconverted encara és analític. No obstant això, la restauració de la representació realja no és una simple qüestió d'extreure el component real. És possible que es requereixi una conversió superior i, si el senyal es mostra (temps discret), també pot ser necessària la interpolació (mostreig superior) per evitar l'àlies.
Variables
El concepte està ben definit per a fenòmens de variable única, que sol ser temporal. Aquesta temporalitat confon molts matemàtics principiants. Per a dues o més variables, el C analític es pot definir de diferents maneres, i a continuació es presenten dos enfocaments.
Les parts real i imaginària d'aquest fenomen corresponen a dos elements d'un senyal monogènic de valor vectorial, tal com es defineix per a fenòmens similars amb una variable. Tanmateix, monogènic es pot estendre a un nombre arbitrari de variables d'una manera senzilla, creant una funció vectorial (n + 1)-dimensional per al cas de senyals de n variables.
Conversió de senyal
Podeu convertir un senyal real en un d'analític afegint un component imaginari (Q), que és la transformada de Hilbert del component real.
Per cert, això no és nou en el seu processament digital. Una de les maneres tradicionals de generar AM de banda lateral única (SSB), el mètode de fase, consisteix a crear senyals generant una transformada Hilbert d'un senyal d'àudio en una xarxa de resistors-condensadors analògic. Com que només té freqüències positives, és fàcil convertir-lo en un senyal de RF modulat amb només una banda lateral.
Fórmules de definició
L'expressió del senyal analític és una funció complexa holomòrfica definida al límit del semipla complex superior. El límit del mig pla superior coincideix amb l'atzar, per tant C ve donat per la cartografia fa: R → C. Des de mitjans del segle passat, quan Denis Gabor va proposar l'any 1946 utilitzar aquest fenomen per estudiar l'amplitud i la fase constants., el senyal ha trobat moltes aplicacions. Es va destacar la peculiaritat d'aquest fenomen [Vak96], on es va demostrar que només una anàlisi qualitativa del senyal analític correspon a les condicions físiques d'amplitud, fase i freqüència.
Darrers assoliments
Durant les últimes dècades, hi ha hagut un interès per l'estudi del senyal en moltes dimensions, motivat per problemes sorgits en camps que van des del processament d'imatge/vídeo fins a processos oscil·latoris multidimensionals de la física, com ara sísmics, electromagnètics i ones gravitatòries. En general s'ha acceptat que, per generalitzar correctament l'analítica C (anàlisi qualitativa) al cas de diverses dimensions, cal recolzar-se en una construcció algebraica que amplia els nombres complexos ordinaris d'una manera convenient. Aquestes construccions solen anomenar-se nombres hipercomplexos [SKE].
Finalment, hauria de ser possible construir un senyal analític hipercomplex fh: Rd → S, on es representi algun sistema algebraic hipercomplex general, que de forma natural amplia totes les propietats requerides per obtenir una amplitud instantània ifase.
Estudi
Una sèrie d'articles es dediquen a diverses qüestions relacionades amb l'elecció correcta del sistema de números hipercomplex, la definició de la transformada de Fourier hipercomplexa i les transformades de Hilbert fraccionals per estudiar l'amplitud i la fase instantànies. La major part d'aquest treball es va basar en propietats de diversos espais com ara Cd, quaternions, àlgebres de Clearon i construccions de Cayley-Dixon.
A continuació, enumerarem només alguns dels treballs dedicats a l'estudi del senyal en moltes dimensions. Pel que sabem, els primers treballs sobre el mètode multivariant es van obtenir a principis dels anys noranta. Aquests inclouen el treball d'Ell [Ell92] sobre transformacions hipercomplexes; El treball de Bulow sobre la generalització del mètode de reacció analítica (senyal analític) a moltes mesures [BS01] i el treball de Felsberg i Sommer sobre senyals monogènics.
Més perspectives
S'espera que el senyal hipercomplex ampliï totes les propietats útils que tenim en el cas 1D. En primer lloc, hem de ser capaços d'extreure i generalitzar l'amplitud i la fase instantànies a les mesures. En segon lloc, l'espectre de Fourier d'un senyal analític complex es manté només a freqüències positives, de manera que esperem que la transformada de Fourier hipercomplexa tingui el seu propi espectre hipervalorat, que només es mantindrà en algun quadrant positiu de l'espai hipercomplex. Perquè és molt important.
Tercer, conjuga les parts d'un concepte complexdel senyal analític estan relacionats amb la transformada de Hilbert, i podem esperar que els components conjugats de l'espai hipercomplex també estiguin relacionats amb alguna combinació de les transformades de Hilbert. I, finalment, de fet, un senyal hipercomplex s'ha de definir com una extensió d'alguna funció holomòrfica hipercomplexa de diverses variables hipercomplexes definides al límit d'alguna forma en un espai hipercomplex.
Estem abordant aquests problemes en ordre seqüencial. Primer de tot, comencem mirant la fórmula integral de Fourier i mostrem que la transformada de Hilbert a 1-D està relacionada amb la fórmula integral de Fourier modificada. Aquest fet ens permet definir l'amplitud, la fase i la freqüència instantànies sense cap referència a sistemes de nombres hipercomplexos i funcions holomòrfiques.
Modificació d'integrals
Continuem estenent la fórmula integral de Fourier modificada a diverses dimensions i determinem tots els components desplaçats de fase necessaris que podem recollir en amplitud i fase instantànies. En segon lloc, passem a la qüestió de l'existència de funcions holomòrfiques de diverses variables hipercomplexes. Després de [Sch93] resulta que l'àlgebra hipercomplexa commutativa i associativa generada per un conjunt de generadors el·líptics (e2i=−1) és un espai adequat perquè un senyal analític hipercomplex visqui, anomenem a aquesta àlgebra hipercomplexa l'espai de Schaefer i denotem aixòSd.
Per tant, l'hipercomplex de senyals analítics es defineix com una funció holomòrfica al límit del polidisc / la meitat superior del pla en algun espai hipercomplex, que anomenem espai general de Schaefer, i denotada per Sd. A continuació, observem la validesa de la fórmula integral de Cauchy per a les funcions Sd → Sd, que es calculen sobre una hipersuperfície dins d'un polidisc en Sd i obtenim les corresponents transformades de Hilbert fraccionàries que relacionen els components conjugats hipercomplexos. Finalment, resulta que la transformada de Fourier amb valors a l'espai de Schaefer només s'admet a freqüències no negatives. Gràcies a aquest article, heu après què és un senyal analític.
