Per a moltes persones, l'anàlisi matemàtica és només un conjunt de nombres, icones i definicions incomprensibles que estan lluny de la vida real. No obstant això, el món en què existim es basa en patrons numèrics, la identificació dels quals ajuda no només a conèixer el món que ens envolta i resoldre els seus problemes complexos, sinó també a simplificar les tasques pràctiques quotidianes. Què vol dir un matemàtic quan diu que una seqüència numèrica convergeix? Això s'ha de parlar amb més detall.
Què és un infinitesimal?
Imaginem nines matrioshka que encaixen una dins l' altra. Les seves mides, escrites en forma de nombres, començant pel més gran i acabant amb el més petit, formen una seqüència. Si imagineu un nombre infinit de figures tan brillants, la fila resultant serà fantàsticament llarga. Aquesta és una seqüència numèrica convergent. I tendeix a zero, ja que la mida de cada nina de nidificació posterior, disminuint catastròficament, es converteix gradualment en no-res. Així que és fàciles pot explicar: què és infinitesimal.
Un exemple semblant seria una carretera que condueix a la distància. I les dimensions visuals del cotxe que s'allunyen de l'observador al llarg d'ell, reduint-se gradualment, es converteixen en un punt informe que s'assembla a un punt. Així, la màquina, com un objecte, que s'allunya en una direcció desconeguda, esdevé infinitament petita. Els paràmetres del cos especificat mai seran zero en el sentit literal de la paraula, però tendeixen invariablement a aquest valor en el límit final. Per tant, aquesta seqüència torna a convergir a zero.
Calculeu-ho tot gota a gota
Imaginem ara una situació mundana. El metge va prescriure al pacient que prengués el medicament, començant amb deu gotes al dia i afegint-ne dues cada dia següent. I així el metge va suggerir de continuar fins que s'esgoti el contingut del vial de medicament, el volum del qual és de 190 gotes. De l'anterior es dedueix que el nombre d'aquests, programat per dia, serà la següent sèrie numèrica: 10, 12, 14 i així successivament.
Com esbrinar el temps per completar tot el curs i el nombre de membres de la seqüència? Aquí, és clar, es poden comptar gotes d'una manera primitiva. Però és molt més fàcil, donat el patró, utilitzar la fórmula per a la suma d'una progressió aritmètica amb un pas d=2. I amb aquest mètode, esbrina que el nombre de membres de la sèrie numèrica és 10. En aquest cas, a10=28. El número del penis indica el nombre de dies de presa del medicament, i 28 correspon al nombre de gotes que el pacient hauria de fer.utilitzar l'últim dia. Aquesta seqüència convergeix? No, perquè malgrat que es limita a 10 des de baix i 28 des de d alt, aquesta sèrie numèrica no té límit, a diferència dels exemples anteriors.
Quina diferència hi ha?
Ara intentem aclarir: quan la sèrie numèrica resulta ser una seqüència convergent. Una definició d'aquest tipus, com es pot concloure de l'anterior, està directament relacionada amb el concepte de límit finit, la presència del qual revela l'essència de la qüestió. Aleshores, quina és la diferència fonamental entre els exemples donats anteriorment? I per què en l'últim d'ells, el nombre 28 no es pot considerar el límit de la sèrie numèrica X =10 + 2(n-1)?
Per aclarir aquesta pregunta, considereu una altra seqüència donada per la fórmula següent, on n pertany al conjunt de nombres naturals.
Aquesta comunitat de membres és un conjunt de fraccions comunes, el numerador de les quals és 1 i el denominador augmenta constantment: 1, ½ …
A més, cada representant successiu d'aquesta sèrie s'apropa cada cop més a 0 pel que fa a la ubicació a la recta numèrica, i això vol dir que aquest barri apareix on els punts s'agrupen al voltant de zero, que és el límit. I com més a prop hi estan, més densa es fa la seva concentració a la recta numèrica. I la distància entre ells es redueix catastròficament, convertint-se en una de infinitesimal. Això és un senyal que la seqüència està convergent.
SemblantAixí, els rectangles multicolors que es mostren a la figura, quan s'allunyen a l'espai, són visualment més atapeïts, en el límit hipotètic convertint-se en insignificants.
Seqüències infinitament grans
Un cop analitzada la definició d'una seqüència convergent, passem als contraexemples. Molts d'ells són coneguts per l'home des de l'antiguitat. Les variants més simples de successions divergents són les sèries de nombres naturals i parells. S'anomenen infinitament grans d'una manera diferent, ja que els seus membres, en constant augment, s'acosten cada cop més a l'infinit positiu.
Un exemple d'això també pot ser qualsevol de les progressions aritmètiques i geomètriques amb pas i denominador, respectivament, majors que zero. A més, les sèries numèriques es consideren seqüències divergents, que no tenen cap límit. Per exemple, X =(-2) -1.
Seqüència de Fibonacci
Els beneficis pràctics de la sèrie numèrica esmentada anteriorment per a la humanitat són innegables. Però hi ha molts altres grans exemples. Un d'ells és la seqüència de Fibonacci. Cadascun dels seus membres, que comencen per un, és la suma dels anteriors. Els seus dos primers representants són 1 i 1. El tercer 1+1=2, el quart 1+2=3, el cinquè 2+3=5. A més, segons la mateixa lògica, segueixen els números 8, 13, 21, etc.
Aquesta sèrie de números augmenta indefinidament i no té caplímit final. Però té una altra propietat meravellosa. La proporció de cada nombre anterior al següent s'acosta cada cop més en el seu valor a 0, 618. Aquí podeu entendre la diferència entre una seqüència convergent i una divergent, perquè si feu una sèrie de divisions parcials rebudes, el sistema numèric indicat tenen un límit finit igual a 0,618.
Seqüència de proporcions de Fibonacci
La sèrie numèrica indicada anteriorment s'utilitza àmpliament amb finalitats pràctiques per a l'anàlisi tècnica dels mercats. Però això no es limita a les seves capacitats, que els egipcis i els grecs coneixien i van poder posar en pràctica en l'antiguitat. Això ho demostren les piràmides que van construir i el Partenó. Al cap i a la fi, el nombre 0,618 és un coeficient constant de la secció àuria, molt conegut en els vells temps. Segons aquesta regla, qualsevol segment arbitrari es pot dividir de manera que la relació entre les seves parts coincideixi amb la relació entre el més gran dels segments i la longitud total.
Construïm una sèrie de les relacions indicades i intentem analitzar aquesta seqüència. La sèrie numèrica serà la següent: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 i així successivament. Continuant d'aquesta manera, podem assegurar-nos que el límit de la seqüència convergent serà efectivament 0, 618. Tanmateix, cal assenyalar altres propietats d'aquesta regularitat. Aquí els números semblen anar a l'atzar, i gens en ordre ascendent o descendent. Això vol dir que aquesta seqüència convergent no és monòtona. Per què això és així, s'explicarà més endavant.
Monotonicitat i limitació
Els membres de la sèrie numèrica poden disminuir clarament a mesura que augmenta el nombre (si x1>x2>x3>…>x >…) o augmentant (si x1<x263223<…<x <…). En aquest cas, es diu que la seqüència és estrictament monòtona. També es poden observar altres patrons, on la sèrie numèrica serà no decreixent i no creixent (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… o x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), aleshores la convergent successivament també és monòtona, només que no en sentit estricte. Un bon exemple de la primera d'aquestes opcions és la sèrie numèrica donada per la fórmula següent.
Un cop pintat els números d'aquesta sèrie, podeu veure que qualsevol dels seus membres, que s'acosta indefinidament a 1, mai superarà aquest valor. En aquest cas, es diu que la successió convergent està limitada. Això passa sempre que hi ha un nombre tan positiu M, que sempre és més gran que qualsevol dels termes de la sèrie mòdul. Si una sèrie numèrica té signes de monotonia i té un límit, i per tant convergeix, és necessàriament dotada d'aquesta propietat. I el contrari no ha de ser cert. Això s'evidencia pel teorema de la limitació per a una seqüència convergent.
L'aplicació d'aquestes observacions a la pràctica és molt útil. Donem un exemple concret examinant les propietats de la seqüència X =n/n+1, i demostra la seva convergència. És fàcil demostrar que és monòton, ja que (x +1 – x) és un nombre positiu per a qualsevol valor n. El límit de la seqüència és igual al número 1, la qual cosa significa que es compleixen totes les condicions del teorema anterior, també anomenat teorema de Weierstrass. El teorema de la delimitació d'una successió convergent diu que si té un límit, aleshores, en qualsevol cas, resulta estar acotat. Tanmateix, prenguem l'exemple següent. La sèrie numèrica X =(-1) està limitada des de baix per -1 i des de d alt per 1. Però aquesta seqüència no és monòtona, no té límit i, per tant, no convergeix. És a dir, l'existència d'un límit i una convergència no sempre depèn de la limitació. Perquè això funcioni, els límits inferior i superior han de coincidir, com en el cas de les proporcions de Fibonacci.
Nombres i lleis de l'univers
Les variants més simples d'una seqüència convergent i divergent són potser la sèrie numèrica X =n i X =1/n. El primer d'ells és una sèrie natural de nombres. És, com ja s'ha dit, infinitament gran. La segona seqüència convergent està limitada i els seus termes són propers a una magnitud infinitesimal. Cadascuna d'aquestes fórmules personifica un dels costats de l'Univers polifacètic, ajudant a una persona a imaginar i calcular quelcom incognoscible, inaccessible per a una percepció limitada en el llenguatge dels nombres i els signes.
Les lleis de l'univers, que van des de insignificants fins a increïblement grans, també expressen la proporció àuria de 0,618. Els científicscreuen que és la base de l'essència de les coses i que la natura l'utilitza per formar les seves parts. Les relacions entre els següents i els anteriors membres de la sèrie de Fibonacci, que ja hem esmentat, no completen la demostració de les sorprenents propietats d'aquesta sèrie única. Si considerem el quocient de dividir el terme anterior pel següent mitjançant un, obtenim una sèrie de 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 i així successivament. És interessant que aquesta seqüència limitada convergeixi, no és monòtona, però la proporció dels nombres veïns extrems d'un determinat membre sempre és aproximadament igual a 0,382, que també es pot utilitzar en arquitectura, anàlisi tècnica i altres indústries.
Hi ha altres coeficients interessants de la sèrie de Fibonacci, tots tenen un paper especial a la natura i també són utilitzats per l'home amb finalitats pràctiques. Els matemàtics estan segurs que l'Univers es desenvolupa segons una certa "espiral daurada", formada a partir dels coeficients indicats. Amb la seva ajuda, és possible calcular molts fenòmens que ocorren a la Terra i a l'espai, des del creixement del nombre de certs bacteris fins al moviment de cometes llunyans. Com a resultat, el codi d'ADN obeeix lleis similars.
Progressió geomètrica decreixent
Hi ha un teorema que afirma la unicitat del límit d'una successió convergent. Això vol dir que no pot tenir dos o més límits, cosa que sens dubte és important per trobar-ne les característiques matemàtiques.
Mirem-ne algunscasos. Qualsevol sèrie numèrica composta per membres d'una progressió aritmètica és divergent, excepte en el cas amb un pas zero. El mateix s'aplica a una progressió geomètrica, el denominador de la qual és més gran que 1. Els límits d'aquestes sèries numèriques són el "més" o el "menys" de l'infinit. Si el denominador és menor que -1, no hi ha cap límit. Hi ha altres opcions possibles.
Considereu la sèrie numèrica donada per la fórmula X =(1/4) -1. A primera vista, és fàcil veure que aquesta seqüència convergent està limitada perquè és estrictament decreixent i de cap manera no pot prendre valors negatius.
Anem a escriure un nombre dels seus membres seguits.
Resultarà: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 i així successivament. N'hi ha prou amb càlculs senzills per entendre amb quina rapidesa disminueix aquesta progressió geomètrica a partir dels denominadors 0<q<1. Mentre que el denominador dels termes augmenta indefinidament, ells mateixos esdevenen infinitesimals. Això vol dir que el límit de la sèrie numèrica és 0. Aquest exemple demostra una vegada més la naturalesa limitada de la seqüència convergent.
Seqüències fonamentals
Augustin Louis Cauchy, un científic francès, va revelar al món molts treballs relacionats amb l'anàlisi matemàtica. Va donar definicions a conceptes com diferencial, integral, límit i continuïtat. També va estudiar les propietats bàsiques de les seqüències convergents. Per entendre l'essència de les seves idees,cal resumir alguns detalls importants.
Al principi de l'article, es va demostrar que hi ha seqüències d'aquest tipus per a les quals hi ha un barri on els punts que representen els membres d'una determinada sèrie a la línia real comencen a agrupar-se, alineant-se cada cop més. densament. Al mateix temps, la distància entre ells disminueix a mesura que augmenta el nombre del següent representant, convertint-se en un infinitament petit. Així, resulta que en un barri determinat s'agrupen un nombre infinit de representants d'una sèrie determinada, mentre que fora d'aquest n'hi ha un nombre finit. Aquestes seqüències s'anomenen fonamentals.
El famós criteri de Cauchy, creat per un matemàtic francès, indica clarament que la presència d'aquesta propietat és suficient per demostrar que la seqüència convergeix. El contrari també és cert.
Cal tenir en compte que aquesta conclusió del matemàtic francès és sobretot d'interès purament teòric. La seva aplicació a la pràctica es considera una qüestió força complicada, per tant, per aclarir la convergència de sèries, és molt més important demostrar l'existència d'un límit finit per a una successió. En cas contrari, es considera divergent.
A l'hora de resoldre problemes, també s'han de tenir en compte les propietats bàsiques de les seqüències convergents. Es mostren a continuació.
Sumes infinites
Científics tan famosos de l'antiguitat com Arquímedes, Euclides, Eudoxus van utilitzar les sumes de sèries infinites de nombres per calcular les longituds de les corbes i els volums dels cossosi àrees de figures. En particular, d'aquesta manera es va poder esbrinar l'àrea del segment parabòlic. Per a això, es va utilitzar la suma de les sèries numèriques d'una progressió geomètrica amb q=1/4. Els volums i àrees d' altres figures arbitràries es van trobar de manera similar. Aquesta opció es va anomenar mètode "esgotament". La idea era que el cos estudiat, de forma complexa, es dividia en parts, que eren figures amb paràmetres fàcilment mesurables. Per aquest motiu, no va ser difícil calcular les seves àrees i volums, i després van sumar.
Per cert, tasques similars són molt familiars per als escolars moderns i es troben a les tasques USE. El mètode únic, trobat per avantpassats llunyans, és, amb diferència, la solució més senzilla. Fins i tot si només hi ha dues o tres parts en què es divideix la xifra numèrica, la suma de les seves àrees continua sent la suma de la sèrie numèrica.
Molt més tard que els antics científics grecs Leibniz i Newton, basant-se en l'experiència dels seus savis predecessors, van aprendre els patrons del càlcul integral. El coneixement de les propietats de les seqüències els va ajudar a resoldre equacions diferencials i algebraiques. Actualment, la teoria de les sèries, creada pels esforços de moltes generacions de científics talentosos, ofereix l'oportunitat de resoldre un gran nombre de problemes matemàtics i pràctics. I l'estudi de les successions numèriques ha estat el principal problema resolt per l'anàlisi matemàtica des dels seus inicis.
