Les matemàtiques són originàries de l'Antiguitat. Gràcies a ella, l'arquitectura, la construcció i la ciència militar van donar una nova ronda de desenvolupament, els assoliments que es van obtenir amb l'ajuda de les matemàtiques van portar al moviment del progrés. Fins avui, les matemàtiques segueixen sent la ciència principal que es troba a totes les altres branques.
Per poder ser educats, els nens de primer de primària comencen a incorporar-se progressivament en aquest entorn. És molt important entendre les matemàtiques, ja que, en un grau o un altre, se'ls ocorre a cada persona al llarg de la seva vida. Aquest article analitzarà un dels elements clau: trobar i aplicar derivats. No tothom pot imaginar fins a quin punt s'utilitza aquest concepte. Considereu més de 10 aplicacions de derivats en determinats camps o ciències.
Aplicació de la derivada a l'estudi d'una funció
La derivada és un límitla relació entre l'increment d'una funció i l'increment del seu argument quan l'exponent de l'argument tendeix a zero. La derivada és una cosa indispensable en l'estudi d'una funció. Per exemple, es pot utilitzar per determinar l'augment i la disminució d'aquests últims, extrema, convexitat i concavitat. El càlcul diferencial s'inclou al currículum obligatori dels estudiants de 1r i 2n de les universitats de matemàtiques.
Ambit i zeros de funció
La primera etapa de qualsevol estudi del gràfic comença per descobrir el domini de definició, en casos més rars: el valor. El domini de definició s'estableix al llarg de l'eix d'abscisses, és a dir, es tracta de valors numèrics a l'eix OX. Sovint, l'abast ja està establert, però si no ho és, s'hauria d'avaluar el valor de l'argument x. Suposem que si per a alguns valors de l'argument la funció no té sentit, aquest argument s'exclou de l'àmbit.
Els zeros de la funció es troben d'una manera senzilla: la funció f(x) s'ha d'equiparar a zero i l'equació resultant s'ha de resoldre respecte a una variable x. Les arrels obtingudes de l'equació són els zeros de la funció, és a dir, en aquestes x la funció és 0.
Augmentar i disminuir
L'ús de la derivada per estudiar funcions de monotonia es pot considerar des de dues posicions. Una funció monòtona és una categoria que només té valors positius de la derivada, o només valors negatius. En paraules senzilles, la funció només augmenta o només disminueix durant tot l'interval objecte d'estudi:
- Augmenta el paràmetre. Funcióf(x) augmentarà si la derivada de f`(x) és major que zero.
- Paràmetre descendent. La funció f(x) disminuirà si la derivada de f`(x) és menor que zero.
Tangent i pendent
L'aplicació de la derivada a l'estudi d'una funció també ve determinada per la tangent (recta dirigida en angle) a la gràfica de la funció en un punt donat. Tangent en un punt (x0): una recta que passa per un punt i pertany a la funció les coordenades de la qual són (x0, f(x 0 )) i amb pendent f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - l'equació de la tangent al punt donat de la gràfica de la funció.
Significat geomètric de la derivada: la derivada de la funció f(x) és igual al pendent de la tangent formada a la gràfica d'aquesta funció en un punt x donat. El coeficient angular, al seu torn, és igual a la tangent de l'angle d'inclinació de la tangent a l'eix OX (abscissa) en sentit positiu. Aquest corol·lari és fonamental per a l'aplicació de la derivada a la gràfica d'una funció.
Punts extrems
Aplicar una derivada a un estudi implica trobar punts alts i baixos.
Per trobar i determinar els punts mínims i màxims, has de:
- Cerca la derivada de la funció f(x).
- Estableix l'equació resultant a zero.
- Cerca les arrels de l'equació.
- Troba punts alts i baixos.
Per trobar extremscaracterístiques:
- Cerca els punts mínims i màxims utilitzant el mètode anterior.
- Substituïu aquests punts a l'equació original i calculeu ymàx i ymin
El punt màxim de la funció és el valor més gran de la funció f(x) a l'interval, és a dir, xmàx.
El punt mínim de la funció és el valor més petit de la funció f(x) a l'interval, és a dir, xnom
Els
punts extrems són els mateixos que els punts màxim i mínim i l'extrem de la funció (ymàx. i ymínim) - valors de funció que corresponen a punts extrems.
Convexitat i concavitat
Podeu determinar la convexitat i la concavitat recorrent a l'ús de la derivada per dibuixar:
- Una funció f(x) examinada a l'interval (a, b) és còncava si la funció es troba per sota de totes les seves tangents dins d'aquest interval.
- La funció f(x) estudiada a l'interval (a, b) és convexa si la funció es troba per sobre de totes les seves tangents dins d'aquest interval.
El punt que separa la convexitat i la concavitat s'anomena punt d'inflexió de la funció.
Per trobar punts d'inflexió:
- Troba punts crítics de segon tipus (segona derivada).
- Els punts d'inflexió són aquells punts crítics que separen dos signes oposats.
- Calculeu els valors de la funció als punts d'inflexió de la funció.
Derivades parcials
Aplicacióhi ha derivades d'aquest tipus en problemes on s'utilitza més d'una variable desconeguda. Molt sovint, aquestes derivades es troben en dibuixar un gràfic de funcions, per ser més precisos, superfícies a l'espai, on en comptes de dos eixos hi ha tres, per tant, tres magnituds (dues variables i una constant).
La regla bàsica per calcular derivades parcials és triar una variable i tractar la resta com a constants. Per tant, quan es calcula la derivada parcial, la constant esdevé com un valor numèric (en moltes taules de derivades, es denoten C=const). El significat d'aquesta derivada és la taxa de canvi de la funció z=f(x, y) al llarg dels eixos OX i OY, és a dir, caracteritza la inclinació de les depressions i protuberàncies de la superfície construïda.
Derivada en física
L'ús de la derivada en física és molt estès i important. Significat físic: la derivada de la trajectòria respecte al temps és la velocitat, i l'acceleració és la derivada de la velocitat respecte al temps. Des del significat físic, es poden dibuixar moltes branques a diverses branques de la física, tot conservant completament el significat de la derivada.
Amb l'ajuda de la derivada, es troben els valors següents:
- Velocitat en cinemàtica, on es calcula la derivada de la distància recorreguda. Si es troba la segona derivada de la trajectòria o la primera derivada de la velocitat, es troba l'acceleració del cos. A més, és possible trobar la velocitat instantània d'un punt material, però per a això cal conèixer l'increment ∆t i ∆r.
- En electrodinàmica:càlcul de la força instantània del corrent altern, així com la FEM d'inducció electromagnètica. Calculant la derivada, podeu trobar la potència màxima. La derivada de la quantitat de càrrega elèctrica és la intensitat del corrent en el conductor.
Derivat en química i biologia
Química: la derivada s'utilitza per determinar la velocitat d'una reacció química. El significat químic de la derivada: funció p=p(t), en aquest cas p és la quantitat d'una substància que entra en una reacció química en el temps t. ∆t - increment de temps, ∆p - increment de quantitat de substància. El límit de la relació de ∆p a ∆t, a la qual ∆t tendeix a zero, s'anomena velocitat d'una reacció química. El valor mitjà d'una reacció química és la relació ∆p/∆t. A l'hora de determinar la velocitat, cal conèixer exactament tots els paràmetres, condicions necessaris, per conèixer l'estat agregat de la substància i el medi de flux. Aquest és un aspecte força important de la química, que s'utilitza àmpliament en diverses indústries i activitats humanes.
Biologia: s'utilitza el concepte de derivada per calcular la taxa mitjana de reproducció. Significat biològic: tenim una funció y=x(t). ∆t - increment de temps. Aleshores, amb l'ajuda d'algunes transformacions, obtenim la funció y`=P(t)=x`(t) - l'activitat vital de la població del temps t (taxa de reproducció mitjana). Aquest ús de la derivada us permet mantenir estadístiques, fer un seguiment de la taxa de reproducció, etc.
Derivat en geografia i economia
La derivada permet als geògrafs decidirtasques com trobar població, calcular valors en sismografia, calcular la radioactivitat d'indicadors geofísics nuclears, calcular la interpolació.
En economia, una part important dels càlculs és el càlcul diferencial i el càlcul de la derivada. En primer lloc, això ens permet determinar els límits dels valors econòmics necessaris. Per exemple, la productivitat laboral més alta i més baixa, els costos, els beneficis. Bàsicament, aquests valors es calculen a partir de gràfics de funcions, on troben extrems, determinen la monotonia de la funció a l'àrea desitjada.
Conclusió
El paper d'aquest càlcul diferencial està implicat, com s'indica a l'article, en diverses estructures científiques. L'ús de funcions derivades és un element important en la part pràctica de la ciència i la producció. No és debada que a l'institut i a la universitat ens van ensenyar a construir gràfics complexos, explorar i treballar funcions. Com podeu veure, sense derivades i càlculs diferencials, seria impossible calcular indicadors i quantitats vitals. La humanitat ha après a modelar diversos processos i explorar-los, per resoldre problemes matemàtics complexos. De fet, les matemàtiques són la reina de totes les ciències, perquè aquesta ciència és la base de totes les altres disciplines naturals i tècniques.
