Probablement, el concepte de derivat és familiar per a tots des de l'escola. Normalment els alumnes tenen dificultats per entendre això, sens dubte, molt important. S'utilitza activament en diverses àrees de la vida de les persones, i molts desenvolupaments d'enginyeria es van basar precisament en càlculs matemàtics obtinguts mitjançant la derivada. Però abans de procedir a l'anàlisi de què són les derivades dels nombres, com calcular-les i on ens són útils, endinsem-nos en la història.
Història
El concepte de derivada, que és la base de l'anàlisi matemàtica, va ser descobert (seria millor dir "inventat", perquè no existia a la natura com a tal) per Isaac Newton, a qui tots coneixem del descobriment de la llei de la gravitació universal. Va ser ell qui va aplicar per primera vegada aquest concepte a la física per vincular la naturalesa de la velocitat i l'acceleració dels cossos. I molts científics encara lloen a Newton per aquest magnífic invent, perquè de fet va inventar la base del càlcul diferencial i integral, de fet, la base de tota una àrea de les matemàtiques anomenada "càlcul". Si en aquell moment fos el Premi Nobel, Newton l'hauria rebut amb molta probabilitat diverses vegades.
No sense altres grans ments. Excepte Newtongenis matemàtics tan eminents com Leonhard Euler, Louis Lagrange i Gottfried Leibniz van treballar en el desenvolupament de la derivada i la integral. És gràcies a ells que hem rebut la teoria del càlcul diferencial en la forma en què existeix fins als nostres dies. Per cert, va ser Leibniz qui va descobrir el significat geomètric de la derivada, que va resultar ser res més que la tangent del pendent de la tangent a la gràfica de la funció.
Què són les derivades dels nombres? Repetim una mica el que hem passat a l'escola.
Què és un derivat?
Aquest concepte es pot definir de diverses maneres diferents. L'explicació més senzilla és que la derivada és la taxa de canvi de la funció. Imagineu una gràfica d'alguna funció y de x. Si no és recte, llavors té algunes corbes al gràfic, períodes d'augment i disminució. Si prenem algun interval infinitament petit d'aquest gràfic, serà un segment de línia recta. Per tant, la relació entre la mida d'aquest segment infinitament petit al llarg de la coordenada y i la mida al llarg de la coordenada x serà la derivada d'aquesta funció en un punt donat. Si considerem la funció com un tot, i no en un punt concret, aleshores obtindrem una funció derivada, és a dir, una certa dependència de y de x.
A més, a més del significat físic de la derivada com a taxa de canvi d'una funció, també hi ha un significat geomètric. Ara parlarem d'ell.
Sentit geomètric
Les derivades dels nombres en si representen un nombre determinat que, sense una comprensió adequada, no portacap punt. Resulta que la derivada no només mostra la taxa de creixement o disminució de la funció, sinó també la tangent del pendent de la tangent a la gràfica de la funció en un punt donat. No és una definició molt clara. Analitzem-ho amb més detall. Suposem que tenim un gràfic d'una funció (per interès, fem una corba). Té un nombre infinit de punts, però hi ha zones on només un únic punt té un màxim o un mínim. A través de qualsevol punt d'aquest tipus és possible traçar una línia que seria perpendicular a la gràfica de la funció en aquest punt. Aquesta recta s'anomenarà tangent. Suposem que l'hem passat fins a la intersecció amb l'eix OX. Així doncs, l'angle obtingut entre la tangent i l'eix OX estarà determinat per la derivada. Més precisament, la tangent d'aquest angle serà igual a ella.
Parlem una mica de casos especials i analitzem les derivades dels nombres.
Casos especials
Com ja hem dit, les derivades dels nombres són els valors de la derivada en un punt determinat. Per exemple, prenem la funció y=x2. La derivada x és un nombre, i en el cas general, una funció igual a 2x. Si hem de calcular la derivada, per exemple, al punt x0=1, obtenim y'(1)=21=2. Tot és molt senzill. Un cas interessant és la derivada d'un nombre complex. No entrarem en una explicació detallada del que és un nombre complex. Diguem només que aquest és un nombre que conté l'anomenada unitat imaginària, un nombre el quadrat del qual és -1. El càlcul d'aquesta derivada només és possible si el següentcondicions:
1) Hi ha d'haver derivades parcials de primer ordre de les parts real i imaginària respecte a Y i X.
2) Es compleixen les condicions de Cauchy-Riemann associades a la igu altat de derivades parcials descrites al primer paràgraf.
Un altre cas interessant, encara que no tan complicat com l'anterior, és la derivada d'un nombre negatiu. De fet, qualsevol nombre negatiu es pot representar com un nombre positiu multiplicat per -1. Bé, la derivada de la constant i la funció és igual a la constant multiplicada per la derivada de la funció.
Serà interessant conèixer el paper de la derivada en la vida quotidiana, i això és el que parlarem ara.
Aplicació
Probablement, cadascú de nos altres almenys una vegada a la seva vida s'atrapa a si mateix pensant que és poc probable que les matemàtiques li siguin útils. I una cosa tan complicada com una derivada, probablement, no té cap aplicació. De fet, les matemàtiques són una ciència fonamental, i tots els seus fruits els desenvolupen principalment la física, la química, l'astronomia i fins i tot l'economia. La derivada va ser l'inici de l'anàlisi matemàtica, que ens va donar la possibilitat d'extreure conclusions a partir de les gràfiques de funcions, i vam aprendre a interpretar les lleis de la naturalesa i aprofitar-les gràcies a ella.
Conclusió
Per descomptat, no tothom pot necessitar un derivat a la vida real. Però les matemàtiques desenvolupen la lògica, que sens dubte serà necessària. No en va les matemàtiques s'anomenen la reina de les ciències: constitueixen la base per entendre altres àrees del coneixement.
