Què són els nombres irracionals? Per què es diuen així? On s'utilitzen i què són? Pocs poden respondre aquestes preguntes sense dubtar-ho. Però de fet, les respostes són força senzilles, encara que no tothom les necessita i en situacions molt rares
Essència i designació
Els nombres irracionals són fraccions decimals no periòdiques infinites. La necessitat d'introduir aquest concepte es deu al fet que els conceptes anteriorment existents de nombres reals o reals, enters, naturals i racionals ja no eren suficients per resoldre nous problemes emergents. Per exemple, per calcular quin és el quadrat de 2, cal utilitzar decimals infinits no recurrents. A més, moltes de les equacions més simples tampoc no tenen solució sense introduir el concepte de nombre irracional.
Aquest conjunt es denota I. I, com ja està clar, aquests valors no es poden representar com una fracció simple, en el numerador de la qual hi haurà un nombre enter, i en el denominador - un nombre natural.
Per primera vegadaen cas contrari, els matemàtics indis es van trobar amb aquest fenomen al segle VII aC, quan es va descobrir que les arrels quadrades d'algunes magnituds no es podien indicar explícitament. I la primera prova de l'existència d'aquests nombres s'atribueix al pitagòric Hippas, que ho va fer en el procés d'estudiar un triangle rectangle isòsceles. Una contribució seriosa a l'estudi d'aquest conjunt la van fer alguns altres científics que van viure abans de la nostra era. La introducció del concepte de nombres irracionals va comportar una revisió del sistema matemàtic existent, per això són tan importants.
Origen del nom
Si ratio en llatí significa "fracció", "proporció", aleshores el prefix "ir"
dóna a aquesta paraula el sentit contrari. Així, el nom del conjunt d'aquests nombres indica que no es poden correlacionar amb un nombre enter o fraccionari, tenen un lloc separat. Això es desprèn de la seva essència.
Lloc a la classificació general
Els nombres irracionals, juntament amb els nombres racionals, pertanyen al grup dels nombres reals o reals, que al seu torn pertanyen als nombres complexos. No hi ha subconjunts, però, hi ha varietats algebraiques i transcendentals, que es comentaran a continuació.
Propietats
Com que els nombres irracionals formen part del conjunt dels nombres reals, s'hi apliquen totes les seves propietats que s'estudien en aritmètica (també s'anomenen lleis algebraiques bàsiques).
a + b=b + a (commutativitat);
(a + b) + c=a + (b + c)(associativitat);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (l'existència del nombre oposat);
ab=ba (llei de desplaçament);
(ab)c=a(bc) (distributivitat);
a(b+c)=ab + ac (llei distributiva);
a x 1=a
a x 1/a=1 (l'existència d'un nombre invers);
La comparació també es realitza d'acord amb les lleis i principis generals:
Si a > b i b > c, aleshores a > c (transitivitat de la relació) i. etc.
Per descomptat, tots els nombres irracionals es poden convertir mitjançant l'aritmètica bàsica. No hi ha regles especials per a això.
A més, l'axioma d'Arquimedes s'aplica als nombres irracionals. Diu que per a dues quantitats qualsevol a i b, és certa l'afirmació que prenent a com a terme prou vegades, podeu superar b.
Utilitzar
Malgrat que a la vida normal no t'has d'enfrontar sovint, els nombres irracionals no es poden comptar. N'hi ha molts, però són gairebé invisibles. Estem envoltats de nombres irracionals a tot arreu. Exemples coneguts per a tothom són el nombre pi, igual a 3, 1415926…, o e, que és essencialment la base del logaritme natural, 2, 718281828… En àlgebra, trigonometria i geometria, s'han d'utilitzar constantment.. Per cert, el famós valor de la "secció daurada", és a dir, la relació entre la part més gran i la més petita, i viceversa, també és
pertany a aquest conjunt. "plata" també menys conegut.
Estan situats molt densament a la recta numèrica, de manera que entre dos valors qualsevol relacionat amb el conjunt de racionals, segur que n'hi haurà un de irracional.
Encara hi ha molts problemes sense resoldre relacionats amb aquest conjunt. Hi ha criteris com la mesura de la irracionalitat i la normalitat d'un nombre. Els matemàtics continuen examinant els exemples més significatius per la seva pertinença a un grup o un altre. Per exemple, es creu que e és un nombre normal, és a dir, la probabilitat que apareguin diferents dígits al seu registre és la mateixa. Pel que fa a pi, encara s'està investigant al respecte. Una mesura d'irracionalitat també s'anomena valor que mostra com es pot aproximar aquest o aquell nombre mitjançant nombres racionals.
Algebraic i transcendental
Com ja s'ha esmentat, els nombres irracionals es divideixen condicionalment en algebraics i transcendentals. Condicionalment, ja que, estrictament parlant, aquesta classificació s'utilitza per dividir el conjunt C.
Aquesta designació amaga nombres complexos, que inclouen nombres reals o reals.
Per tant, un valor algebraic és un valor que és una arrel d'un polinomi que no és idènticament igual a zero. Per exemple, l'arrel quadrada de 2 estaria en aquesta categoria perquè és la solució de l'equació x2 - 2=0.
Tots els altres nombres reals que no compleixen aquesta condició s'anomenen transcendentals. A aquesta varietatinclou els exemples més famosos i ja esmentats: el nombre pi i la base del logaritme natural e.
Curiosament, ni un ni el segon van ser deduïts originalment pels matemàtics en aquesta capacitat, la seva irracionalitat i transcendència es van demostrar molts anys després del seu descobriment. Per a pi, la prova es va donar el 1882 i es va simplificar el 1894, fet que va posar fi a la polèmica de 2.500 anys sobre el problema de la quadratura del cercle. Encara no s'entén del tot, així que els matemàtics moderns tenen alguna cosa per treballar. Per cert, el primer càlcul prou precís d'aquest valor el va fer Arquimedes. Abans d'ell, tots els càlculs eren massa aproximats.
Per a e (els nombres d'Euler o Napier), la prova de la seva transcendència es va trobar el 1873. S'utilitza per resoldre equacions logarítmiques.
Altres exemples inclouen valors de sinus, cosinus i tangents per a qualsevol valor algebraic diferent de zero.
