Quan s'estudien les propietats d'una equació quadràtica, es va establir una restricció: per a un discriminant menor que zero, no hi ha solució. De seguida es va estipular que estem parlant d'un conjunt de nombres reals. La ment inquisitiva d'un matemàtic estarà interessada: quin és el secret que conté la clàusula sobre valors reals?
Amb el temps, els matemàtics van introduir el concepte de nombres complexos, on el valor condicional de la segona arrel de menys un es pren com a unitat.
Antecedents històrics
La teoria matemàtica es desenvolupa de manera seqüencial, de simple a complexa. Descobrim com va sorgir el concepte anomenat "número complex" i per què és necessari.
Des de temps immemorials, la base de les matemàtiques va ser el compte habitual. Els investigadors només coneixien el conjunt natural de valors. La suma i la resta eren senzilles. A mesura que les relacions econòmiques es van fer més complexes, es va començar a utilitzar la multiplicació en comptes d'afegir els mateixos valors. Hi ha una operació inversa amultiplicació - divisió.
El concepte de nombre natural limitava l'ús d'operacions aritmètiques. És impossible resoldre tots els problemes de divisió del conjunt de valors enters. El treball amb fraccions va conduir primer al concepte de valors racionals, i després a valors irracionals. Si per als racionals és possible indicar la ubicació exacta del punt a la línia, per als irracionals és impossible indicar aquest punt. Només podeu aproximar l'interval. La unió dels nombres racionals i irracionals va formar un conjunt real, que es pot representar com una recta determinada amb una escala determinada. Cada pas de la línia és un nombre natural i entre ells hi ha valors racionals i irracionals.
L'era de les matemàtiques teòriques ha començat. El desenvolupament de l'astronomia, la mecànica, la física va requerir la solució d'equacions cada cop més complexes. En general, es van trobar les arrels de l'equació de segon grau. En resoldre un polinomi cúbic més complex, els científics es van trobar amb una contradicció. El concepte d'arrel cúbica a partir d'una negativa té sentit, però per a una arrel quadrada s'obté incertesa. A més, l'equació quadràtica és només un cas especial de la cúbica.
L'any 1545, l'italià J. Cardano va proposar introduir el concepte de nombre imaginari.
Aquest nombre és la segona arrel de menys un. El terme nombre complex es va formar finalment només tres-cents anys més tard, en els treballs del famós matemàtic Gauss. Va proposar estendre formalment totes les lleis de l'àlgebra al nombre imaginari. La línia real s'ha ampliat fins aavions. El món és més gran.
Conceptes bàsics
Recorda una sèrie de funcions que tenen restriccions al conjunt real:
- y=arcsin(x), definit entre negatiu i positiu 1.
- y=ln(x), el logaritme decimal té sentit amb arguments positius.
- arrel quadrada y=√x, calculat només per a x ≧ 0.
Denotant i=√(-1), introduïm aquest concepte com a nombre imaginari, això eliminarà totes les restriccions del domini de definició de les funcions anteriors. Expressions com y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) tenen sentit en algun espai de nombres complexos.
La forma algebraica es pot escriure com una expressió z=x + i×y en el conjunt de valors reals de x i y, i i2 =-1.
El nou concepte elimina totes les restriccions a l'ús de qualsevol funció algebraica i s'assembla a un gràfic d'una recta en coordenades de valors reals i imaginaris.
Avió complex
La forma geomètrica dels nombres complexos ens permet representar visualment moltes de les seves propietats. A l'eix Re(z) marquem els valors x reals, a Im(z) - els valors imaginaris de y, aleshores el punt z del pla mostrarà el valor complex requerit.
Definicions:
- Re(z) - eix real.
- Im(z): significa l'eix imaginari.
- z - punt condicional d'un nombre complex.
- S'anomena el valor numèric de la longitud del vector de zero a zmòdul.
- Els eixos real i imaginari divideixen l'avió en quarts. Amb un valor positiu de les coordenades - I quart. Quan l'argument de l'eix real és inferior a 0 i l'eix imaginari és superior a 0 - II quart. Quan les coordenades són negatives - III trimestre. L'últim, quart trimestre conté molts valors reals positius i valors imaginaris negatius.
Així, en un pla amb valors de coordenades x i y, sempre es pot visualitzar un punt d'un nombre complex. S'introdueix el caràcter i per separar la part real de la imaginària.
Propietats
- Quan el valor de l'argument imaginari és zero, obtenim només un nombre (z=x), que es troba a l'eix real i pertany al conjunt real.
- Cas especial quan el valor de l'argument real esdevé zero, l'expressió z=i×y correspon a la ubicació del punt en l'eix imaginari.
- La forma general de z=x + i×y serà per a valors diferents de zero dels arguments. Indica la ubicació del punt que caracteritza el nombre complex en un dels quarts.
Notació trigonomètrica
Recordem el sistema de coordenades polars i la definició de les funcions trigonomètriques sin i cos. És obvi que amb l'ajuda d'aquestes funcions és possible descriure la ubicació de qualsevol punt del pla. Per fer-ho, n'hi ha prou de conèixer la longitud del feix polar i l'angle d'inclinació respecte de l'eix real.
Definició. Una entrada de la forma ∣z ∣ multiplicada per la suma de les funcions trigonomètriques cos(ϴ) i la part imaginària i ×sin(ϴ) s'anomena nombre complex trigonomètric. Aquí la designació és l'angle d'inclinació respecte a l'eix real
ϴ=arg(z) i r=∣z∣, longitud del feix.
A partir de la definició i propietats de les funcions trigonomètriques, una fórmula de Moivre molt important segueix:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Usant aquesta fórmula, és convenient resoldre molts sistemes d'equacions que contenen funcions trigonomètriques. Sobretot quan sorgeix el problema d'elevar al poder.
Mòdul i fase
Per completar la descripció d'un conjunt complex, proposem dues definicions importants.
Coneixent el teorema de Pitàgores, és fàcil calcular la longitud del feix en el sistema de coordenades polars.
r=∣z∣=√(x2 + y2), aquesta notació en un espai complex s'anomena " mòdul" i caracteritza la distància de 0 a un punt del pla.
L'angle d'inclinació del feix complex respecte a la línia real ϴ s'anomena habitualment fase.
La definició mostra que les parts real i imaginària es descriuen mitjançant funcions cícliques. És a dir:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
A la inversa, la fase està relacionada amb valors algebraics mitjançant la fórmula:
ϴ=arctan(x / y) + µ, s'introdueix la correcció µ per tenir en compte la periodicitat de les funcions geomètriques.
fórmula d'Euler
Els matemàtics utilitzen sovint la forma exponencial. Els nombres plans complexos s'escriuen com a expressions
z=r × ei×ϴ , que es desprèn de la fórmula d'Euler.
Aquest registre s'utilitza àmpliament per al càlcul pràctic de magnituds físiques. Forma de presentació en el formulariEls nombres complexos exponencials són especialment convenients per als càlculs d'enginyeria, on es fa necessari calcular circuits amb corrents sinusoïdals i cal conèixer el valor de les integrals de funcions amb un període determinat. Els propis càlculs serveixen com a eina en el disseny de diverses màquines i mecanismes.
Definir operacions
Com ja s'ha indicat, totes les lleis algebraiques de treballar amb funcions matemàtiques bàsiques s'apliquen als nombres complexos.
Operació de suma
Quan s'afegeixen valors complexos, també s'afegeixen les seves parts reals i imaginàries.
z=z1 + z2 on z1 i z2 - nombres complexos generals. Transformant l'expressió, després d'obrir els claudàtors i simplificar la notació, obtenim l'argument real x=(x1 + x2), l'argument imaginari y=(y 1 + y2).
Al gràfic, sembla la suma de dos vectors, segons la coneguda regla del paral·lelogram.
Operació de resta
Considerat com un cas especial d'addició, quan un nombre és positiu, l' altre és negatiu, és a dir, situat al quart del mirall. La notació algebraica sembla la diferència entre parts reals i imaginàries.
z=z1 - z2, o, tenint en compte els valors dels arguments, de manera similar a la suma operació, obtenim per als valors reals x=(x1 - x2) i imaginaris y=(y1- y2).
Multiplicació en el pla complex
Usant les regles per treballar amb polinomis, obtenim la fórmulaper resoldre nombres complexos.
Seguint les regles algebraiques generals z=z1×z2, descriu cada argument i enumereu-ne de similars. Les parts real i imaginària es poden escriure així:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Sembla més bonic si fem servir nombres complexos exponencials.
L'expressió té aquest aspecte: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Més senzillament, es multipliquen els mòduls i s'afegeixen les fases.
Divisió
Si considerem l'operació de divisió com la inversa de la multiplicació, obtenim una expressió simple en notació exponencial. Dividir el valor z1 per z2 és el resultat de dividir els seus mòduls i la diferència de fase. Formalment, quan s'utilitza la forma exponencial dels nombres complexos, es veu així:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
En forma de notació algebraica, l'operació de dividir els nombres del pla complex s'escriu una mica més complicada:
z=z1 / z2.
Descrivint arguments i realitzant transformacions polinomials, és fàcil obtenir valorsx=x1 × x2 + y1 × y2, respectivament y=x2 × y1 - x1 × y2 , però, dins de l'espai descrit, aquesta expressió té sentit si z2 ≠ 0.
Extreure l'arrel
Tot l'anterior es pot aplicar quan es defineixen funcions algebraiques més complexes, augmentant a qualsevol potència i a la inversa, extreure l'arrel.
Usant el concepte general d'elevar a la potència n, obtenim la definició:
zn =(r × eiϴ).
Usant propietats comunes, reescriu com a:
zn =rn × eiϴ.
Tenim una fórmula senzilla per elevar un nombre complex a una potència.
De la definició del grau en obtenim una conseqüència molt important. Una potència parell de la unitat imaginària sempre és 1. Qualsevol potència senar de la unitat imaginària és sempre -1.
Ara estudiem la funció inversa: extreure l'arrel.
Per facilitar la notació, prenem n=2. L'arrel quadrada w del valor complex z en el pla complex C es considera l'expressió z=±, vàlida per a qualsevol argument real superior o igual a zero. Per w ≦ 0, no hi ha solució.
Mirem l'equació quadràtica més senzilla z2 =1. Utilitzant fórmules de nombres complexos, torna a escriure r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Es pot veure del registre que r2 =1 i ϴ=0, per tant, tenim una solució única igual a 1. Però això contradiu la noció que z=-1 també s'ajusta a la definició d'arrel quadrada.
Anem a esbrinar què no tenim en compte. Si recordem la notació trigonomètrica, restaurem l'enunciat: amb un canvi periòdic en la fase ϴ, el nombre complex no canvia. Sigui p el valor del període, llavors tenim r2 × ei2ϴ =ei(0+p), d'on 2ϴ=0 + p, o ϴ=p / 2. Per tant, ei0 =1 i eip/2 =-1. Hem obtingut la segona solució, que correspon a la comprensió general de l'arrel quadrada.
Per tant, per trobar una arrel arbitrària d'un nombre complex, seguirem el procediment.
- Escriu la forma exponencial w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k és un nombre enter arbitrari.
- El nombre desitjat també es representa en la forma d'Euler z=r × eiϴ.
- Utilitzeu la definició general de la funció d'extracció d'arrel r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- A partir de les propietats generals de la igu altat de mòduls i arguments, escrivim rn =∣w∣ i nϴ=arg (w) + p×k.
- El registre final de l'arrel d'un nombre complex es descriu amb la fórmula z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Nota. El valor de ∣w∣, per definició,és un nombre real positiu, de manera que l'arrel de qualsevol grau té sentit.
Camp i conjugació
En conclusió, donem dues definicions importants que són de poca importància per resoldre problemes aplicats amb nombres complexos, però que són essencials per al desenvolupament posterior de la teoria matemàtica.
Es diu que les expressions per a la suma i la multiplicació formen un camp si compleixen els axiomes de qualsevol element del pla complex z:
- La suma complexa no canvia a partir del canvi de llocs de termes complexos.
- La afirmació és certa: en una expressió complexa, qualsevol suma de dos nombres es pot substituir pel seu valor.
- Hi ha un valor neutre 0 per al qual z + 0=0 + z=z és cert.
- Per a qualsevol z hi ha un oposat - z, a la qual a més d'això es dóna zero.
- Quan canvieu de lloc de factors complexos, el producte complex no canvia.
- La multiplicació de dos nombres qualsevol es pot substituir pel seu valor.
- Hi ha un valor neutre 1, la multiplicació pel qual no canvia el nombre complex.
- Per cada z ≠ 0, hi ha una inversa de z-1, que es multiplica per 1.
- Multiplicar la suma de dos nombres per un terç equival a l'operació de multiplicar cadascun d'ells per aquest nombre i sumar els resultats.
- 0 ≠ 1.
Els nombres z1 =x + i×y i z2 =x - i×y s'anomenen conjugats.
Teorema. Per a la conjugació, l'afirmació és certa:
- La conjugació de la suma és igual a la suma dels elements conjugats.
- El conjugat del producte ésproducte de conjugacions.
- La conjugació de la conjugació és igual al nombre en si.
A l'àlgebra general, aquestes propietats s'anomenen automorfismes de camp.
Exemples
Seguint les regles i fórmules donades de nombres complexos, podeu operar-hi fàcilment.
Considerem els exemples més senzills.
Problema 1. Utilitzant l'equació 3y +5 x i=15 - 7i, determineu x i y.
Decisió. Recordeu la definició d'igu altats complexes, aleshores 3y=15, 5x=-7. Per tant, x=-7 / 5, y=5.
Tasca 2. Calcula els valors 2 + i28 i 1 + i135.
Decisió. Òbviament, 28 és un nombre parell, per la conseqüència de la definició d'un nombre complex en la potència tenim i28 =1, la qual cosa vol dir que l'expressió 2 + i 28 =3. El segon valor, i135 =-1, després 1 + i135 =0.
Tasca 3. Calcula el producte dels valors 2 + 5i i 4 + 3i.
Decisió. De les propietats generals de multiplicació de nombres complexos, obtenim (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). El valor nou serà -7 + 26i.
Tasca 4. Calcula les arrels de l'equació z3 =-i.
Decisió. Hi ha diverses maneres de trobar un nombre complex. Considerem un dels possibles. Per definició, ∣ - i∣=1, la fase per a -i és -p / 4. L'equació original es pot reescriure com a r3ei3ϴ =e-p/4+pk, des d'on z=e-p / 12 + pk/3, per a qualsevol nombre enter k.
El conjunt de solucions té la forma (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Per què necessitem números complexos
La història coneix molts exemples quan els científics, treballant en una teoria, ni tan sols pensen en l'aplicació pràctica dels seus resultats. Les matemàtiques són, en primer lloc, un joc de la ment, una estricta adhesió a les relacions causa-efecte. Gairebé totes les construccions matemàtiques es redueixen a resoldre equacions integrals i diferencials, i aquestes, al seu torn, amb alguna aproximació, es resolen trobant les arrels dels polinomis. Aquí primer trobem la paradoxa dels nombres imaginaris.
Científics naturalistes, resolent problemes completament pràctics, recorrent a solucions de diverses equacions, descobreixen paradoxes matemàtiques. La interpretació d'aquestes paradoxes porta a descobriments absolutament sorprenents. La naturalesa dual de les ones electromagnètiques n'és un exemple. Els nombres complexos tenen un paper crucial per entendre les seves propietats.
Això, al seu torn, ha trobat una aplicació pràctica en òptica, radioelectrònica, energia i molts altres camps tecnològics. Un altre exemple, molt més difícil d'entendre els fenòmens físics. L'antimatèria es va predir a la punta d'un bolígraf. I només molts anys després, comencen els intents de sintetitzar-lo físicament.
No us penseu que només a la física hi ha aquestes situacions. No menys interessants es fan descobriments en la vida salvatge, en la síntesi de macromolècules, durant l'estudi de la intel·ligència artificial. I tot és gràcies aampliació de la nostra consciència, allunyant-nos de la simple suma i resta de valors naturals.
