L'estudiant es troba amb més freqüència amb superfícies de 2n ordre el primer any. Al principi, les tasques sobre aquest tema poden semblar senzilles, però a mesura que estudies matemàtiques superiors i aprofundeixes en el vessant científic, finalment pots deixar d'orientar-te en el que està passant. Per evitar que això passi, cal no només memoritzar, sinó entendre com s'obté tal o aquella superfície, com l'afecta canviar els coeficients i la seva ubicació en relació al sistema de coordenades original i com trobar un nou sistema. (aquella en la qual el seu centre coincideix amb les coordenades d'origen, i l'eix de simetria és paral·lel a un dels eixos de coordenades). Comencem pel principi.
Definició
GMT s'anomena superfície de segon ordre, les coordenades de la qual compleixen l'equació general de la forma següent:
F(x, y, z)=0.
És clar que cada punt pertanyent a la superfície ha de tenir tres coordenades en alguna base designada. Encara que en alguns casos el lloc geogràfic dels punts pot degenerar, per exemple, en un pla. Només vol dir que una de les coordenades és constant i és igual a zero en tot el rang de valors acceptables.
La forma completa pintada de la igu altat esmentada anteriorment té aquest aspecte:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – algunes constants, x, y, z – variables corresponents a coordenades afins d'algun punt. En aquest cas, almenys un dels factors constants no ha de ser igual a zero, és a dir, cap punt no correspondrà a l'equació.
A la gran majoria d'exemples, molts factors numèrics encara són iguals a zero i l'equació es simplifica molt. A la pràctica, determinar si un punt pertany a una superfície no és difícil (n'hi ha prou amb substituir les seves coordenades a l'equació i comprovar si s'observa la identitat). El punt clau d'aquest treball és portar aquest últim a una forma canònica.
L'equació escrita anteriorment defineix qualsevol superfície (totes les que s'enumeren a continuació) del segon ordre. Considerarem exemples a continuació.
Tipus de superfícies de 2n ordre
Les equacions de superfícies de 2n ordre només difereixen en els valors dels coeficients Anm. Des de la visió general, per a determinats valors de les constants, es poden obtenir diferents superfícies, classificades de la següent manera:
- Cilindres.
- Tipus el·líptic.
- Tipus hiperbòlic.
- Tipus cònic.
- Tipus parabòlic.
- Avions.
Cada un dels tipus enumerats té una forma natural i imaginària: en la forma imaginària, el lloc geogràfic dels punts reals o bé degenera en una figura més simple o està absent del tot.
Cilindres
Aquest és el tipus més senzill, ja que una corba relativament complexa només es troba a la base, actuant com a guia. Els generadors són rectes perpendiculars al pla on es troba la base.
El gràfic mostra un cilindre circular, un cas especial d'un cilindre el·líptic. En el pla XY, la seva projecció serà una el·lipse (en el nostre cas, un cercle) -una guia, i en XZ -un rectangle- ja que els generadors són paral·lels a l'eix Z. Per obtenir-ho de l'equació general, necessiteu per donar als coeficients els valors següents:
S'utilitza En lloc dels símbols habituals x, y, z, x amb un número de sèrie, no importa.
De fet, 1/a2i les altres constants que s'indiquen aquí són els mateixos coeficients indicats a l'equació general, però s'acostuma a escriure d'aquesta forma; això és la representació canònica. A més, només s'utilitzarà aquesta notació.
Així es defineix un cilindre hiperbòlic. L'esquema és el mateix: la hipèrbole serà la guia.
y2=2px
Un cilindre parabòlic es defineix una mica diferent: la seva forma canònica inclou un coeficient p, anomenat paràmetre. De fet, el coeficient és igual a q=2p, però s'acostuma a dividir-lo en els dos factors presentats.
Hi ha un altre tipus de cilindre: imaginari. Cap punt real pertany a aquest cilindre. Es descriu per l'equaciócilindre el·líptic, però en lloc de la unitat és -1.
Tipus el·líptic
Un el·lipsoide es pot estirar al llarg d'un dels eixos (al llarg dels quals depèn dels valors de les constants a, b, c, indicats anteriorment; és obvi que un coeficient més gran correspondrà a l'eix més gran).).
També hi ha un el·lipsoide imaginari, sempre que la suma de les coordenades multiplicada pels coeficients sigui -1:
Hiperboloides
Quan apareix un menys en una de les constants, l'equació el·lipsoide es converteix en l'equació d'un hiperboloide d'una sola làmina. Cal entendre que aquest menys no s'ha de localitzar abans de la coordenada x3! Només determina quin dels eixos serà l'eix de rotació de l'hiperboloide (o paral·lel a aquest, ja que quan apareixen termes addicionals al quadrat (per exemple, (x-2))2) el centre de la figura es desplaça, com a resultat, la superfície es mou paral·lela als eixos de coordenades). Això s'aplica a totes les superfícies de segon ordre.
A més, cal entendre que les equacions es presenten en forma canònica i que es poden canviar variant les constants (amb el signe conservat!); mentre que la seva forma (hiperboloide, con, etc.) es mantindrà igual.
Aquesta equació ja ve donada per un hiperboloide de dues fulles.
Superfície cònica
No hi ha cap unitat a l'equació del con - igu altat a zero.
Només una superfície cònica limitada s'anomena con. La imatge següent mostra que, de fet, hi haurà dos anomenats cons al gràfic.
Nota important: en totes les equacions canòniques considerades, les constants es prenen positives per defecte. En cas contrari, el signe pot afectar el gràfic final.
Els plans de coordenades es converteixen en els plans de simetria del con, el centre de simetria es troba a l'origen.
Només hi ha avantatges a l'equació del con imaginària; posseeix un únic punt real.
Paraboloides
Les superfícies de segon ordre a l'espai poden prendre formes diferents fins i tot amb equacions similars. Per exemple, hi ha dos tipus de paraboloides.
x2/a2+y2/b2=2z
Un paraboloide el·líptic, quan l'eix Z és perpendicular al dibuix, es projectarà en una el·lipse.
x2/a2-y2/b2=2z
Paraboloide hiperbòlic: les seccions amb plans paral·lels a ZY produiran paràboles, i les seccions amb plans paral·lels a XY produiran hipèrboles.
Plans que s'intersequen
Hi ha casos en què superfícies de segon ordre degeneren en un pla. Aquests avions es poden organitzar de diverses maneres.
Considereu primer els plans que s'intersequen:
x2/a2-y2/b2=0
Aquesta modificació de l'equació canònica dóna com a resultat només dos plans que s'intersequen (imaginari!); tots els punts reals estan a l'eix de la coordenada que f alta a l'equació (a l'eix canònic: l'eix Z).
Plans paral·lels
y2=a2
Quan només hi ha una coordenada, les superfícies de 2n ordre degeneren en un parell de plans paral·lels. Recordeu, qualsevol altra variable pot ocupar el lloc de Y; llavors s'obtindran plans paral·lels a altres eixos.
y2=−a2
En aquest cas, esdevenen imaginaris.
Avios coincidents
y2=0
Amb una equació tan senzilla, un parell de plans degeneren en un, coincideixen.
No oblideu que en el cas d'una base tridimensional, l'equació anterior no defineix la recta y=0! Li f alten les altres dues variables, però això només vol dir que el seu valor és constant i igual a zero.
Edifici
Una de les tasques més difícils per a un alumne és la construcció de superfícies de 2n ordre. Encara és més difícil passar d'un sistema de coordenades a un altre, donats els angles de la corba respecte als eixos i el desplaçament del centre. Repetim com determinar de manera coherent la vista futura del dibuix amb una anàlisimanera.
Per crear una superfície de segon ordre, necessiteu:
- porta l'equació a la forma canònica;
- determinar el tipus de superfície en estudi;
- construcció basada en valors de coeficients.
A continuació es mostren tots els tipus considerats:
Per consolidar, anem a descriure amb detall un exemple d'aquest tipus de tasques.
Exemples
Suposem que hi ha una equació:
3(x2-2x+1)+6a2+2z2+ 60 anys+144=0
Portem-ho a la forma canònica. Destaquem els quadrats complets, és a dir, disposem els termes disponibles de manera que siguin l'expansió del quadrat de la suma o diferència. Per exemple: si (a+1)2=a2+2a+1, aleshores a2+2a +1=(a+1)2. Farem la segona operació. En aquest cas, no cal obrir els claudàtors, ja que això només complicarà els càlculs, sinó que cal treure el factor comú 6 (entre parèntesis amb el quadrat complet de la Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
La variable z apareix en aquest cas només una vegada; de moment, podeu deixar-la sola.
Analitzem l'equació en aquesta etapa: totes les incògnites van precedides d'un signe més; quan es divideix per sis, queda un. Per tant, tenim una equació que defineix un el·lipsoide.
Tingueu en compte que 144 es va tenir en compte en 150-6, després del qual el -6 es va moure cap a la dreta. Per què s'havia de fer d'aquesta manera? Òbviament, el major divisor d'aquest exemple és -6, de manera que després de dividir-loun es queda a la dreta, cal "ajornar" exactament 6 de 144 (el fet que un ha d'estar a la dreta s'indica per la presència d'un terme lliure, una constant no multiplicada per una incògnita).
Dividiu-ho tot per sis i obteniu l'equació canònica de l'el·lipsoide:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
En la classificació de superfícies de 2n ordre utilitzada anteriorment, es considera un cas especial quan el centre de la figura es troba a l'origen de les coordenades. En aquest exemple, està compensat.
Suposem que cada parèntesi amb incògnites és una variable nova. És a dir: a=x-1, b=y+5, c=z. En les noves coordenades, el centre de l'el·lipsoide coincideix amb el punt (0, 0, 0), per tant, a=b=c=0, d'on: x=1, y=-5, z=0. A les coordenades inicials, el centre de la figura es troba en el punt (1, -5, 0).
El·lipsoide s'obtindrà a partir de dues el·lipses: la primera en el pla XY i la segona en el pla XZ (o YZ - no importa). Els coeficients pels quals es divideixen les variables són quadrats en l'equació canònica. Per tant, en l'exemple anterior, seria més correcte dividir per l'arrel de dos, un i l'arrel de tres.
L'eix menor de la primera el·lipse, paral·lel a l'eix Y, és dos. L'eix principal paral·lel a l'eix x són dues arrels de dos. L'eix menor de la segona el·lipse, paral·lel a l'eix Y, segueix sent el mateix: és igual a dos. I l'eix major, paral·lel a l'eix Z, és igual a dues arrels de tres.
Amb l'ajuda de les dades obtingudes de l'equació original mitjançant la conversió a la forma canònica, podem dibuixar un el·lipsoide.
Resum
Cobert en aquest articleel tema és força extens, però, de fet, com ara podeu veure, no és gaire complicat. El seu desenvolupament, de fet, acaba en el moment en què memoritzes els noms i les equacions de les superfícies (i, per descomptat, com es veuen). A l'exemple anterior, hem comentat cada pas en detall, però portar l'equació a la forma canònica requereix un coneixement mínim de matemàtiques superiors i no hauria de causar cap dificultat per a l'estudiant.
L'anàlisi del futur calendari sobre la igu altat existent ja és una tasca més difícil. Però per a la seva solució satisfactòria, n'hi ha prou d'entendre com es construeixen les corbes de segon ordre corresponents: el·lipses, paràboles i altres.
Casos de degeneració: una secció encara més senzilla. A causa de l'absència d'algunes variables, no només es simplifiquen els càlculs, com s'ha esmentat anteriorment, sinó també la pròpia construcció.
Tan aviat com pugueu anomenar amb confiança tots els tipus de superfícies, varieu les constants, convertint el gràfic en una o altra forma, el tema es dominarà.
Éxit en els teus estudis!
