Si el moviment lineal dels cossos es descriu a la mecànica clàssica utilitzant les lleis de Newton, aleshores les característiques del moviment dels sistemes mecànics al llarg de trajectòries circulars es calculen mitjançant una expressió especial, que s'anomena equació de moments. De quins moments estem parlant i quin significat té aquesta equació? Aquestes i altres preguntes es revelen a l'article.
Moment de força
Tothom és ben conscient de la força newtoniana, que, actuant sobre el cos, porta a impartir-li una acceleració. Quan s'aplica aquesta força a un objecte que està fixat en un eix de rotació determinat, aquesta característica s'anomena normalment moment de força. L'equació del moment de la força es pot escriure de la següent manera:
M¯=L¯F¯
La imatge que explica aquesta expressió es mostra a continuació.
Aquí podeu veure que la força F¯ es dirigeix al vector L¯ amb un angle Φ. Se suposa que el propi vector L¯ està dirigit des de l'eix de rotació (indicat per la fletxa) fins al punt d'aplicació. F¯.
La fórmula anterior és un producte de dos vectors, de manera que M¯ també és direccional. Cap a on es girarà el moment de força M¯? Això es pot determinar amb la regla de la mà dreta (quatre dits es dirigeixen al llarg de la trajectòria des del final del vector L¯ fins al final de F¯, i el polze esquerre indica la direcció de M¯).
A la figura anterior, l'expressió del moment de força en forma escalar tindrà la forma:
M=LFsin(Φ)
Si mireu bé la figura, podeu veure que Lsin(Φ)=d, llavors tenim la fórmula:
M=dF
El valor de d és una característica important en el càlcul del moment de la força, ja que reflecteix l'efectivitat de la F aplicada al sistema. Aquest valor s'anomena palanca de força.
El significat físic de M rau en la capacitat de la força per girar el sistema. Tothom pot sentir aquesta habilitat si obren la porta per la maneta, l'empeny a prop de les frontisses, o si intenten desenroscar la femella amb una clau curta i llarga.
Equilibri del sistema
El concepte de moment de força és molt útil quan es considera l'equilibri d'un sistema sobre el qual actuen múltiples forces i té un eix o punt de gir. En aquests casos, apliqueu la fórmula:
∑iMi¯=0
És a dir, el sistema estarà en equilibri si la suma de tots els moments de forces aplicades a ell és zero. Tingueu en compte que en aquesta fórmula hi ha un signe vectorial sobre el moment, és a dir, a l'hora de resoldre, no s'ha d'oblidar de tenir en compte el signe d'aquestquantitats. La regla generalment acceptada és que la força d'acció que gira el sistema en sentit contrari a les agulles del rellotge crea un Mi¯ positiu.
Un exemple sorprenent de problemes d'aquest tipus són els problemes amb l'equilibri de les palanques d'Arquimedes.
Moment d'impuls
Aquesta és una altra característica important del moviment circular. En física, es descriu com el producte de l'impuls i la palanca. L'equació del moment té aquest aspecte:
T¯=r¯p¯
Aquí p¯ és el vector del moment, r¯ és el vector que connecta el punt del material giratori amb l'eix.
La figura següent il·lustra aquesta expressió.
Aquí ω és la velocitat angular, que apareixerà més endavant a l'equació del moment. Observeu que la direcció del vector T¯ es troba per la mateixa regla que M¯. A la figura anterior, T¯ en direcció coincidirà amb el vector velocitat angular ω¯.
El significat físic de T¯ és el mateix que les característiques de p¯ en el cas del moviment lineal, és a dir, el moment angular descriu la quantitat de moviment de rotació (energia cinètica emmagatzemada).
Moment d'inèrcia
La tercera característica important, sense la qual és impossible formular l'equació de moviment d'un objecte en rotació, és el moment d'inèrcia. Apareix a la física com a resultat de transformacions matemàtiques de la fórmula del moment angular d'un punt material. Us mostrem com es fa.
Imaginem-nos el valorT¯ de la següent manera:
T¯=r¯mv¯, on p¯=mv¯
Usant la relació entre velocitats angulars i lineals, podem reescriure aquesta expressió de la següent manera:
T¯=r¯mr¯ω¯, on v¯=r¯ω¯
Escriu l'última expressió de la següent manera:
T¯=r2mω¯
El valor r2m és el moment d'inèrcia I d'un punt de massa m que fa un moviment circular al voltant d'un eix a una distància r d'aquest. Aquest cas especial ens permet introduir l'equació general del moment d'inèrcia per a un cos de forma arbitrària:
I=∫m (r2dm)
I és una quantitat additiva, el significat de la qual rau en la inèrcia del sistema giratori. Com més gran jo, més difícil serà fer girar el cos, i es necessita un esforç considerable per aturar-lo.
Equació del moment
Hem considerat tres quantitats, el nom de les quals comença amb la paraula "moment". Això es va fer de manera intencionada, ja que tots estan connectats en una expressió, anomenada equació de 3 moments. Traiem-lo.
Considereu l'expressió del moment angular T¯:
T¯=Iω¯
Trobeu com canvia el valor de T¯ en el temps, tenim:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Donat que la derivada de la velocitat angular és igual a la de la velocitat lineal dividida per r, i ampliant el valor de I, arribem a l'expressió:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, on a¯=dv¯/dt és l'acceleració lineal.
Tingueu en compte que el producte de la massa i l'acceleració no és més que la força externa actuant F¯. Com a resultat, obtenim:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Vam arribar a una conclusió interessant: el canvi en el moment angular és igual al moment de la força externa actuant. Aquesta expressió s'escriu normalment d'una forma lleugerament diferent:
M¯=Iα¯, on α¯=dω¯/dt - acceleració angular.
Aquesta igu altat s'anomena equació de moments. Permet calcular qualsevol característica d'un cos giratori, coneixent els paràmetres del sistema i la magnitud de l'impacte extern sobre ell.
Llei de conservació T¯
La conclusió obtinguda al paràgraf anterior indica que si el moment extern de les forces és igual a zero, el moment angular no canviarà. En aquest cas, escrivim l'expressió:
T¯=const. o I1ω1¯=I2ω2 ¯
Aquesta fórmula s'anomena llei de conservació de T¯. És a dir, qualsevol canvi dins del sistema no canvia el moment angular total.
Aquest fet és utilitzat pels patinadors artístics i les ballarines durant les seves actuacions. També s'utilitza si cal fer girar un satèl·lit artificial que es mou a l'espai al voltant del seu eix.
