El tema "progressió aritmètica" s'estudia al curs general d'àlgebra a les escoles de 9è de primària. Aquest tema és important per a un estudi més aprofundit de les matemàtiques de les sèries numèriques. En aquest article ens familiaritzarem amb la progressió aritmètica, la seva diferència, així com amb les tasques típiques que poden afrontar els escolars.
El concepte de progressió algebraica
La progressió numèrica és una seqüència de nombres en què cada element posterior es pot obtenir de l'anterior, si s'aplica alguna llei matemàtica. Hi ha dos tipus simples de progressió: geomètrica i aritmètica, que també s'anomena algebraica. Parlem-hi amb més detall.
Imaginem un nombre racional, denoteu-lo amb el símbol a1, on l'índex indica el seu nombre ordinal a la sèrie en qüestió. Afegim un altre número a un 1 , anotem-lo d. Després el segonun element d'una sèrie es pot reflectir de la següent manera: a2=a1+d. Ara tornem a afegir d, obtenim: a3=a2+d. Continuant amb aquesta operació matemàtica, podeu obtenir tota una sèrie de nombres, que s'anomenarà progressió aritmètica.
Tal com es pot entendre a partir de l'anterior, per trobar l'enèsim element d'aquesta seqüència, heu d'utilitzar la fórmula: a =a1+ (n -1)d. De fet, substituint n=1 a l'expressió, obtenim a1=a1, si n=2, la fórmula implica: a2=a1 + 1d, i així successivament.
Per exemple, si la diferència d'una progressió aritmètica és 5, i a1=1, això vol dir que la sèrie numèrica del tipus en qüestió sembla: 1, 6, 11, 16, 21, … Com podeu veure, cadascun dels seus termes és més gran que l'anterior en 5.
Fórmules per a la diferència de progressió aritmètica
De la definició anterior de la sèrie de nombres considerada, es dedueix que per determinar-la cal conèixer dos nombres: a1 i d. Aquesta última s'anomena diferència d'aquesta progressió. Determina de manera única el comportament de tota la sèrie. De fet, si d és positiu, aleshores la sèrie numèrica augmentarà constantment, per contra, en el cas de d negativa, els nombres de la sèrie augmentaran només mòdul, mentre que el seu valor absolut disminuirà amb l'augment del nombre n.
Quina diferència hi ha entre la progressió aritmètica? Considereu les dues fórmules principals que s'utilitzen per calcular aquest valor:
- d=an+1-a , aquesta fórmula es desprèn directament de la definició de la sèrie numèrica en qüestió.
- d=(-a1+a)/(n-1), aquesta expressió s'obté expressant d a partir de la fórmula donada al paràgraf anterior de l'article. Tingueu en compte que aquesta expressió esdevé indeterminada (0/0) si n=1. Això es deu al fet que cal conèixer almenys 2 elements de la sèrie per tal de determinar-ne la diferència.
Aquestes dues fórmules bàsiques s'utilitzen per resoldre qualsevol problema de trobar la diferència de progressió. Tanmateix, hi ha una altra fórmula que també cal conèixer.
Suma dels primers elements
La fórmula que es pot utilitzar per determinar la suma de qualsevol nombre de membres d'una progressió algebraica, segons l'evidència històrica, va ser obtinguda per primera vegada pel "príncep" de les matemàtiques del segle XVIII, Carl Gauss. Un científic alemany, quan encara era un nen als graus elementals d'una escola de poble, es va adonar que per sumar nombres naturals a la sèrie de l'1 al 100, primer heu de sumar el primer element i l'últim (el valor resultant serà igual). a la suma del penúltim i segon, penúltim i tercer elements, i així successivament), i després aquest nombre s'hauria de multiplicar pel nombre d'aquestes quantitats, és a dir, per 50.
La fórmula que reflecteix el resultat indicat en un exemple concret es pot generalitzar a un cas arbitrari. Es veurà així: S =n/2(a +a1). Tingueu en compte que per trobar el valor especificat, no cal conèixer la diferència d,si es coneixen dos termes de la progressió (a i a1).
Exemple 1. Determineu la diferència, coneixent els dos termes de la sèrie a1 i an
Mostrem com aplicar les fórmules esmentades anteriorment a l'article. Posem un exemple senzill: la diferència de la progressió aritmètica és desconeguda, cal determinar a què serà igual si a13=-5, 6 i a1 =-12, 1.
Com que coneixem els valors de dos elements de la seqüència numèrica, i un d'ells és el primer nombre, podem utilitzar la fórmula núm. 2 per determinar la diferència d. Tenim: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. En l'expressió hem utilitzat el valor n=13, ja que el membre amb aquest número de sèrie és conegut.
La diferència resultant indica que la progressió és creixent, malgrat que els elements donats en l'estat del problema tenen un valor negatiu. Es pot veure que a13>a1, tot i que |a13|<|a 1 |.
Exemple 2. Membres positius de la progressió de l'exemple 1
Utilitzem el resultat obtingut a l'exemple anterior per resoldre un problema nou. Es formula de la següent manera: a partir de quin número de seqüència els elements de la progressió de l'exemple 1 comencen a prendre valors positius?
Com es mostra, la progressió en què a1=-12, 1 i d=0. 54167 està augmentant, de manera que a partir d'algun nombre els nombres començaran a tenir només positius valors. Per determinar aquest nombre n, s'ha de resoldre una desigu altat simple, que ésmatemàticament escrit de la següent manera: a >0 o, utilitzant la fórmula adequada, tornem a escriure la desigu altat: a1 + (n-1)d>0. Cal trobar la incògnita n, expressem-la: n>-1a1/d + 1. Ara queda substituir els valors coneguts de la diferència i el primer membre de la seqüència. Obtenim: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 o n>23, 338. Com que n només pot prendre valors enters, de la desigu altat resultant es dedueix que qualsevol membre de la sèrie que tenir un número superior a 23 serà positiu.
Comprova la teva resposta utilitzant la fórmula anterior per calcular els elements 23è i 24è d'aquesta progressió aritmètica. Tenim: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (número negatiu); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (valor positiu). Així, el resultat obtingut és correcte: a partir de n=24, tots els membres de la sèrie numèrica seran majors de zero.
Exemple 3. Quants registres caben?
Donem un problema curiós: durant la tala, es va decidir apilar troncs serrats uns sobre els altres tal com es mostra a la figura següent. Quants troncs es poden apilar d'aquesta manera, sabent que hi caben 10 files en total?
D'aquesta manera d'apilar registres, podeu notar una cosa interessant: cada fila posterior contindrà un registre menys que l'anterior, és a dir, hi ha una progressió algebraica, la diferència de la qual és d=1. Suposant que el nombre de registres de cada fila és membre d'aquesta progressió,i també tenint en compte que a1=1 (només cabrà un registre a la part superior), trobem el número a10. Tenim: a10=1 + 1(10-1)=10. És a dir, a la 10a fila, que es troba a terra, hi haurà 10 troncs.
La quantitat total d'aquesta construcció "piramidal" es pot obtenir mitjançant la fórmula de Gauss. Obtenim: S10=10/2(10+1)=55 registres.
