En matemàtiques, les funcions inverses són expressions que es corresponen entre si. Per entendre què significa això, val la pena considerar un exemple concret. Suposem que tenim y=cos(x). Si agafem el cosinus de l'argument, podem trobar el valor de y. Òbviament, per a això cal tenir x. Però, què passa si el jugador es dóna inicialment? Aquí és on arriba al cor de la qüestió. Per resoldre el problema, cal utilitzar una funció inversa. En el nostre cas, aquest és l'arc cosinus.
Després de totes les transformacions, obtenim: x=arccos(y).
És a dir, per trobar una funció inversa a una determinada, n'hi ha prou amb expressar-ne un argument. Però això només funciona si el resultat tindrà un sol valor (més en parlarem més endavant).
En termes generals, aquest fet es pot escriure de la següent manera: f(x)=y, g(y)=x.
Definició
Sigui f una funció el domini de la qual és el conjunt X, iel rang de valors és el conjunt Y. Aleshores, si existeix g els dominis del qual realitzen tasques oposades, aleshores f és reversible.
A més, en aquest cas g és únic, el que significa que hi ha exactament una funció que compleix aquesta propietat (ni més, ni menys). Aleshores s'anomena funció inversa, i per escrit es denota així: g(x)=f -1(x).
En altres paraules, es poden veure com una relació binària. La reversibilitat només es produeix quan un element del conjunt correspon a un valor d'un altre.
No sempre hi ha una funció inversa. Per fer-ho, cada element y є Y ha de correspondre com a màxim a un x є X. Aleshores f s'anomena un a un o injecció. Si f -1 pertany a Y, aleshores cada element d'aquest conjunt ha de correspondre a alguna x ∈ X. Les funcions amb aquesta propietat s'anomenen surjeccions. Es compleix per definició si Y és una imatge f, però no sempre és així. Per ser inversa, una funció ha de ser alhora una injecció i una surjecció. Aquestes expressions s'anomenen bijeccions.
Exemple: funcions quadrades i arrel
La funció es defineix a [0, ∞) i donada per la fórmula f (x)=x2.
Llavors no és injectiu, perquè cada resultat possible Y (excepte 0) correspon a dues X diferents: una positiva i una negativa, de manera que no és reversible. En aquest cas, serà impossible obtenir les dades inicials de les rebudes, la qual cosa es contradiuteories. No serà injectiu.
Si el domini de definició es limita condicionalment a valors no negatius, tot funcionarà com abans. Aleshores és bijectiu i, per tant, inversible. La funció inversa aquí s'anomena positiva.
Nota sobre l'entrada
Deixa que la designació f -1 (x) pot confondre una persona, però en cap cas s'ha d'utilitzar així: (f (x)) - 1 . Es refereix a un concepte matemàtic completament diferent i no té res a veure amb la funció inversa.
Com a regla general, alguns autors utilitzen expressions com sin-1 (x).
No obstant això, altres matemàtics creuen que això pot provocar confusió. Per evitar aquestes dificultats, les funcions trigonomètriques inverses sovint es denoten amb el prefix "arc" (del llatí arc). En el nostre cas, estem parlant de l'arcosinus. També podeu veure ocasionalment el prefix "ar" o "inv" per a algunes altres funcions.
