Funcions de càlcul diferencial d'una i diverses variables

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

El càlcul és una branca del càlcul que estudia la derivada, les diferencials i el seu ús en l'estudi d'una funció.

Història de l'aparició

El càlcul diferencial va sorgir com una disciplina independent a la segona meitat del segle XVII, gràcies al treball de Newton i Leibniz, que van formular les disposicions bàsiques en el càlcul de diferencials i van notar la connexió entre integració i diferenciació. Des d'aquell moment, la disciplina s'ha desenvolupat juntament amb el càlcul d'integrals, formant així la base de l'anàlisi matemàtica. L'aparició d'aquests càlculs va obrir un nou període modern en el món matemàtic i va provocar l'aparició de noves disciplines en la ciència. També va ampliar la possibilitat d'aplicar la ciència matemàtica a les ciències naturals i la tecnologia.

Conceptes bàsics

El càlcul diferencial es basa en els conceptes fonamentals de les matemàtiques. Són: nombre real, continuïtat, funció i límit. Amb el temps, van adquirir un aspecte modern gràcies al càlcul integral i diferencial.

Procés de creació

La formació del càlcul diferencial en forma d'un mètode aplicat, i després un mètode científic es va produir abans de l'aparició d'una teoria filosòfica, que va ser creada per Nicolau de Cusa. Les seves obres es consideren un desenvolupament evolutiu a partir dels judicis de la ciència antiga. Malgrat que el mateix filòsof no era un matemàtic, la seva contribució al desenvolupament de la ciència matemàtica és innegable. Kuzansky va ser un dels primers a allunyar-se de considerar l'aritmètica com el camp de la ciència més precís, posant en dubte les matemàtiques d'aquella època.

Els matemàtics antics utilitzaven la unitat com a criteri universal, mentre que el filòsof proposava l'infinit com a nova mesura en comptes del nombre exacte. En aquest sentit, la representació de la precisió en la ciència matemàtica s'inverteix. El coneixement científic, segons ell, es divideix en racional i intel·lectual. El segon és més precís, segons el científic, ja que el primer només dóna un resultat aproximat.

Idea

La idea i concepte principal en càlcul diferencial està relacionat amb una funció en petits barris de determinats punts. Per fer-ho, cal crear un aparell matemàtic per estudiar una funció el comportament de la qual en un petit veïnatge dels punts establerts és proper al comportament d'un polinomi o d'una funció lineal. Això es basa en la definició de derivada i diferencial.

L'aparició del concepte de derivada va ser causada per un gran nombre de problemes de les ciències naturals i les matemàtiques,que va portar a trobar els valors de límits del mateix tipus.

Un dels principals problemes que es posen com a exemple a partir de l'institut és determinar la velocitat d'un punt que es mou al llarg d'una recta i construir una tangent a aquesta corba. El diferencial està relacionat amb això, ja que és possible aproximar la funció en un petit veïnatge del punt considerat de la funció lineal.

En comparació amb el concepte de derivada d'una funció d'una variable real, la definició de diferencials passa simplement a una funció de caràcter general, en particular, a la imatge d'un espai euclidià sobre un altre.

Derivada

Deixem que el punt es mogui en la direcció de l'eix Oy, durant el temps que prenem x, que es compta des d'un inici determinat del moment. Aquest moviment es pot descriure mitjançant la funció y=f(x), que s'assigna a cada moment temporal x de la coordenada del punt que es mou. En mecànica, aquesta funció s'anomena llei del moviment. La característica principal del moviment, especialment desigual, és la velocitat instantània. Quan un punt es mou al llarg de l'eix Oy segons la llei de la mecànica, aleshores en un moment aleatori x, adquireix la coordenada f (x). En el moment x + Δx, on Δx denota l'increment del temps, la seva coordenada serà f(x + Δx). Així és com es forma la fórmula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), que s'anomena increment de la funció. Representa el camí recorregut pel punt en el temps de x a x + Δx.

A causa de l'aparició d'aixòvelocitat al temps, s'introdueix la derivada. En una funció arbitrària, la derivada en un punt fix s'anomena límit (suposant que existeix). Es pot designar amb certs símbols:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

El procés de càlcul de la derivada s'anomena diferenciació.

Càlcul diferencial d'una funció de diverses variables

Aquest mètode de càlcul s'utilitza quan s'examina una funció amb diverses variables. En presència de dues variables x i y, la derivada parcial respecte a x en el punt A s'anomena derivada d'aquesta funció respecte a x amb y fix.

Es pot representar amb els caràcters següents:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x o ∂f(x, y)’/∂x.

Habilitats requerides

Es requereixen habilitats en integració i diferenciació per estudiar amb èxit i poder resoldre difuses. Per facilitar la comprensió de les equacions diferencials, hauríeu de tenir una bona comprensió del tema de la derivada i la integral indefinida. Tampoc no està de més aprendre a trobar la derivada d'una funció donada implícitament. Això es deu al fet que en el procés d'estudi de les integrals i la diferenciació s'hauran d'utilitzar sovint.

Tipus d'equacions diferencials

En gairebé tots els treballs de prova relacionats amb equacions diferencials de primer ordre, hi ha 3 tipus d'equacions: homogènies, amb variables separables, lineals no homogènies.

També hi ha varietats d'equacions més rares: amb diferencials totals, equacions de Bernoulli i altres.

Nocions bàsiques de decisió

Primer, hauríeu de recordar les equacions algebraiques del curs escolar. Contenen variables i nombres. Per resoldre una equació ordinària, cal trobar un conjunt de nombres que compleixin una condició determinada. Per regla general, aquestes equacions tenien una arrel i, per comprovar-ne la correcció, només calia substituir aquest valor per la desconeguda.

L'equació diferencial és semblant a aquesta. En general, aquesta equació de primer ordre inclou:

• Variable independent.
• La derivada de la primera funció.
• Una funció o variable dependent.

En alguns casos, pot f altar una de les incògnites, x o y, però això no és tan important, ja que la presència de la primera derivada, sense derivades d'ordre superior, és necessària per a la solució i el diferencial. el càlcul sigui correcte.

Resolver una equació diferencial vol dir trobar el conjunt de totes les funcions que coincideixen amb l'expressió donada. Aquest conjunt de funcions sovint s'anomena solució general de DE.

Càlcul integral

El càlcul integral és una de les seccions de l'anàlisi matemàtic que estudia el concepte de la integral, les propietats i els mètodes del seu càlcul.

Sovint, el càlcul de la integral es produeix quan es calcula l'àrea d'una figura curvilínia. Aquesta àrea significa el límit al qual tendeix l'àrea d'un polígon inscrit en una figura determinada amb un augment gradual del seu costat, mentre que aquests costats es poden fer menys que qualsevol arbitrari especificat anteriorment.valor petit.

La idea principal per calcular l'àrea d'una figura geomètrica arbitrària és calcular l'àrea d'un rectangle, és a dir, demostrar que la seva àrea és igual al producte de llargada i amplada. Quan es tracta de geometria, totes les construccions es fan utilitzant un regle i una brúixola, i aleshores la relació entre la longitud i l'amplada és un valor racional. Quan calculeu l'àrea d'un triangle rectangle, podeu determinar que si poseu el mateix triangle al costat, es forma un rectangle. En un paral·lelogram, l'àrea es calcula mitjançant un mètode similar, però una mica més complicat, mitjançant un rectangle i un triangle. En polígons, l'àrea es calcula mitjançant els triangles inclosos en ella.

Quan es determina l'estalvi d'una corba arbitrària, aquest mètode no funcionarà. Si el divideixes en quadrats individuals, hi haurà llocs sense ocupar. En aquest cas, s'intenta utilitzar dues cobertes, amb rectangles a la part superior i inferior, com a resultat, aquestes inclouen el gràfic de la funció i no. El mètode de partició en aquests rectangles segueix sent important aquí. A més, si agafem particions cada cop més petites, l'àrea de d alt i de sota hauria de convergir en un valor determinat.

Ha de tornar al mètode de divisió en rectangles. Hi ha dos mètodes populars.

Riemann va formalitzar la definició de la integral creada per Leibniz i Newton com l'àrea d'un subgraf. En aquest cas es van considerar figures, formades per un nombre determinat de rectangles verticals i obtingudes mitjançant la divisiósegment. Quan, a mesura que la partició disminueix, hi ha un límit al qual es redueix l'àrea d'una figura similar, aquest límit s'anomena integral de Riemann d'una funció en un interval donat.

El segon mètode és la construcció de la integral de Lebesgue, que consisteix en el fet de dividir l'àrea definida en parts de l'integrand i després compilar la suma integral a partir dels valors obtinguts en aquestes parts, el seu rang de valors es divideix en intervals, i després es resumeix amb les corresponents mesures de preimatges d'aquestes integrals.

Avantatges moderns

Un dels principals manuals per a l'estudi del càlcul diferencial i integral va ser escrit per Fikhtengolts - "Curs de càlcul diferencial i integral". El seu llibre de text és una guia fonamental per a l'estudi de l'anàlisi matemàtica, que ha passat per moltes edicions i traduccions a altres idiomes. Creat per a estudiants universitaris i s'ha utilitzat durant molt de temps en moltes institucions educatives com una de les principals ajudes a l'estudi. Aporta dades teòriques i habilitats pràctiques. Publicat per primera vegada el 1948.

Algorisme de recerca de funcions

Per investigar una funció utilitzant els mètodes de càlcul diferencial, heu de seguir l'algorisme ja donat:

1. Cerca l'abast d'una funció.
2. Cerca les arrels de l'equació donada.
3. Calculeu els extrems. Per fer-ho, calcula la derivada i els punts on és igual a zero.
4. Substitueix el valor resultant a l'equació.

Varietats d'equacions diferencials

control de primer ordre (en cas contrari, diferencialcàlcul de variable única) i els seus tipus:

• Equació separable: f(y)dy=g(x)dx.
• Les equacions més senzilles, o càlcul diferencial d'una funció d'una variable, amb la fórmula: y'=f(x).
• DE de primer ordre lineal no homogeni: y'+P(x)y=Q(x).
• Equació diferencial de Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Equació amb diferencials totals: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Equacions diferencials de segon ordre i els seus tipus:

• Equació diferencial homogènia de segon ordre lineal amb valors de coeficients constants: y +py'+qy=0 p, q pertany a R.
• Equació diferencial lineal no homogènia de segon ordre amb coeficients constants: y +py'+qy=f(x).
• Equació diferencial homogènia lineal: y +p(x)y'+q(x)y=0, i equació de segon ordre no homogènia: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Equacions diferencials d'ordre superior i els seus tipus:

• Equació diferencial que es pot reduir per ordre: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Equació homogènia d'ordre superior lineal: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0 i no homogeni: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Passos per resoldre un problema amb una equació diferencial

Amb l'ajuda del control remot, no només es resolen qüestions matemàtiques o físiques, sinó també diversos problemes debiologia, economia, sociologia, etc. Malgrat la gran varietat de temes, s'ha d'adherir a una única seqüència lògica per resoldre aquests problemes:

1. Compilació de control remot. Un dels passos més difícils que requereix la màxima precisió, ja que qualsevol error portarà a resultats completament equivocats. S'han de tenir en compte tots els factors que influeixen en el procés i s'han de determinar les condicions inicials. També s'ha de basar en fets i conclusions lògiques.
2. Resolució de l'equació formulada. Aquest procés és més senzill que el primer pas, ja que només requereix càlculs matemàtics estrictes.
3. Anàlisi i avaluació dels resultats. La solució derivada s'ha d'avaluar per establir el valor pràctic i teòric del resultat.

Un exemple d'ús d'equacions diferencials en medicina

L'ús del control remot en l'àmbit de la medicina es produeix quan es construeix un model matemàtic epidemiològic. Al mateix temps, no s'ha d'oblidar que aquestes equacions també es troben en biologia i química, que són properes a la medicina, perquè l'estudi de diverses poblacions biològiques i processos químics del cos humà hi juga un paper important.

En l'exemple anterior d'epidèmia, podem considerar la propagació de la infecció en una societat aïllada. Els habitants es divideixen en tres tipus:

• Infectat, número x(t), format per individus, portadors de la infecció, cadascun dels quals és contagiós (el període d'incubació és curt).
• El segon tipus inclouindividus susceptibles y(t) capaços d'infectar-se mitjançant el contacte amb individus infectats.
• La tercera espècie inclou individus immunes z(t) que són immunes o que han mort a causa d'una mal altia.

El nombre d'individus és constant, no es té en compte els naixements, les morts naturals i les migracions. Hi haurà dues hipòtesis fonamentals.

El percentatge d'incidència en un moment determinat és x(t)y(t) (a partir de la teoria que el nombre de casos és proporcional al nombre d'interseccions entre representants mal alts i susceptibles, que en el primer l'aproximació serà proporcional a x(t)y(t)), en relació amb això, el nombre de casos augmenta, i el nombre de susceptibles disminueix a una velocitat que es calcula mitjançant la fórmula ax(t)y(t) (a > 0).

El nombre d'individus immunes que s'han convertit en immunes o que han mort augmenta a un ritme que és proporcional al nombre de casos, bx(t) (b > 0).

Com a resultat, podeu crear un sistema d'equacions tenint en compte els tres indicadors i extreure'n conclusions.

Exemple d'economia

El càlcul diferencial s'utilitza sovint en l'anàlisi econòmica. La tasca principal de l'anàlisi econòmica és l'estudi de les quantitats de l'economia, que s'escriuen en forma de funció. S'utilitza per resoldre problemes com ara canvis en els ingressos immediatament després d'un augment d'impostos, introducció de drets, canvis en els ingressos de l'empresa quan canvia el cost de producció, en quina proporció es poden substituir els treballadors jubilats per equips nous. Per resoldre aquests problemes, és necessaricrear una funció de connexió a partir de les variables d'entrada, que després s'estudien mitjançant el càlcul diferencial.

En l'àmbit econòmic, sovint cal trobar els indicadors més òptims: la màxima productivitat laboral, els ingressos més elevats, els costos més baixos, etc. Cadascun d'aquests indicadors és una funció d'un o més arguments. Per exemple, la producció es pot veure com una funció dels inputs de treball i capital. En aquest sentit, trobar un valor adequat es pot reduir a trobar el màxim o el mínim d'una funció a partir d'una o més variables.

Problemes d'aquest tipus creen una classe de problemes extrems en l'àmbit econòmic, la solució dels quals requereix càlcul diferencial. Quan s'ha de minimitzar o maximitzar un indicador econòmic en funció d'un altre indicador, aleshores, en el punt de màxim, la relació entre l'increment de la funció i els arguments tendirà a zero si l'increment de l'argument tendeix a zero. En cas contrari, quan aquesta relació tendeix a algun valor positiu o negatiu, el punt especificat no és adequat, perquè augmentant o disminuint l'argument, podeu canviar el valor dependent en la direcció requerida. En la terminologia del càlcul diferencial, això significarà que la condició requerida per al màxim d'una funció és el valor zero de la seva derivada.

En economia, sovint hi ha problemes per trobar l'extrem d'una funció amb diverses variables, perquè els indicadors econòmics estan formats per molts factors. Preguntes com aquesta són bones.estudiat en teoria de funcions de diverses variables, aplicant mètodes de càlcul diferencial. Aquests problemes inclouen no només funcions maximitzades i minimitzades, sinó també restriccions. Aquestes qüestions estan relacionades amb la programació matemàtica i es resolen amb l'ajuda de mètodes desenvolupats especialment, basats també en aquesta branca de la ciència.

Entre els mètodes de càlcul diferencial utilitzats en economia, una secció important és l'anàlisi marginal. En l'àmbit econòmic, aquest terme es refereix a un conjunt de mètodes per estudiar indicadors variables i resultats a l'hora de modificar el volum de creació, consum, a partir de l'anàlisi dels seus indicadors marginals. L'indicador limitant és la derivada o derivada parcial amb diverses variables.

El càlcul diferencial de diverses variables és un tema important en el camp de l'anàlisi matemàtica. Per a un estudi detallat, podeu utilitzar diversos llibres de text per a l'educació superior. Un dels més famosos va ser creat per Fikhtengolts - "Curs de càlcul diferencial i integral". Com el seu nom indica, les habilitats per treballar amb integrals són d'una importància considerable per resoldre equacions diferencials. Quan es realitza el càlcul diferencial d'una funció d'una variable, la solució es fa més senzilla. Tot i que, cal tenir en compte, està subjecte a les mateixes normes bàsiques. Per estudiar una funció a la pràctica mitjançant càlcul diferencial, n'hi ha prou amb seguir l'algorisme ja existent, que es dóna a l'institut i només és lleugerament complicat quan s'introdueixen de nous.variables.