Aquest article explicarà la fórmula de Black-Scholes en termes senzills. El model Black-Scholes és un model matemàtic de la dinàmica d'un mercat financer que conté instruments d'inversió derivats.
A partir de l'equació diferencial parcial del model (coneguda com a equació de Black-Scholes), es pot derivar la fórmula de Black-Scholes. Ofereix un preu d'opció teòric d'estil europeu i mostra que l'opció té un preu únic, independentment del risc del valor i de la seva rendibilitat esperada (en lloc de substituir la rendibilitat esperada del valor per una taxa de risc neutre).
La fórmula va provocar un auge en el comerç d'opcions i va donar legitimitat matemàtica al Chicago Board Options Exchange i a altres mercats d'opcions d'arreu del món. És àmpliament utilitzat, encara que sovint amb ajustos i correccions, pels participants del mercat d'opcions. A les imatges d'aquest article podeu veure exemples de la fórmula de Black-Scholes.
Història i essència
Basat en treballs desenvolupats prèviament per investigadors i professionalsmercats com Louis Bachelier, Sheen Kassouf i Ed Thorpe, Fisher Black i Myron Scholes a finals de la dècada de 1960 van demostrar que la revisió dinàmica de la cartera eliminava el retorn esperat de la seguretat.
L'any 1970, després d'intentar aplicar la fórmula als mercats i patir pèrdues financeres per la manca de gestió del risc en les seves professions, van decidir centrar-se en el seu àmbit, l'acadèmia. Després de tres anys d'esforç, la fórmula, que porta el nom de la seva promulgació, es va publicar finalment l'any 1973 en un article titulat "Pricing Options and Corporate Bonds" al Journal of Political Economy. Robert S. Merton va ser el primer a publicar un article que ampliava la comprensió matemàtica del model de preus d'opcions i va encunyar el terme "model de preus de Black-Scholes".
Per la seva feina, Merton i Scholes van rebre el premi Nobel d'economia de 1997, citant el seu descobriment de la revisió dinàmica independent del risc com un avenç que desvincula l'opció del risc de seguretat subjacent. Tot i que no va rebre el premi a causa de la seva mort el 1995, Black va ser esmentat per un acadèmic suec com a participant. A la imatge següent podeu veure una fórmula típica de Black-Scholes.
Opcions
La idea principal d'aquest model és cobrir una opció comprant i venent correctament l'actiu subjacent i, en conseqüència, eliminant el risc. Aquest tipus de cobertura s'anomena "cobertura delta constantment actualitzada". Ellés la base d'estratègies més complexes com les que fan servir els bancs d'inversió i els fons de cobertura.
Gestió de riscos
Les hipòtesis del model s'han relaxat i generalitzat en moltes direccions, donant com a resultat una varietat de models que s'utilitzen actualment en la gestió del risc i els preus dels derivats. És la comprensió del model, tal com es mostra a la fórmula de Black-Scholes, la que sovint utilitzen els participants del mercat, en contrast amb els preus reals. Aquests detalls inclouen sense límits d'arbitratge i preus neutres al risc (a causa de la revisió constant). A més, l'equació de Black-Scholes, l'equació diferencial parcial que determina el preu d'una opció, permet determinar els preus numèricament quan no és possible una fórmula explícita.
Volatilitat
La fórmula de Black-Scholes només té un paràmetre que no es pot observar directament al mercat: la volatilitat futura mitjana de l'actiu subjacent, encara que es pot trobar al preu d' altres opcions. A mesura que el valor d'un paràmetre (ja sigui put o call) augmenta en aquest paràmetre, es pot invertir per produir una "superfície de volatilitat" que després s'utilitza per calibrar altres patrons com els derivats OTC.
Tenint en compte aquestes hipòtesis, suposem que aquest mercat també negocia derivats. Indiquem que aquest valor tindrà un pagament determinat en una data determinada en el futur, en funció del valor assumit per l'acció.abans d'aquesta data. Sorprenentment, ara el preu del derivat està completament determinat, tot i que no sabem quina trajectòria prendrà el preu de l'acció en el futur.
Per a un cas especial d'una opció call o put europea, Black i Scholes van demostrar que era possible crear una posició coberta que consistia en una posició llarga en una acció i una posició curta en una opció, el valor de la qual no dependria del preu de les accions. La seva estratègia de cobertura dinàmica va donar lloc a una equació diferencial parcial que determinava el preu de l'opció. La seva solució ve donada per la fórmula de Black-Scholes.
Diferència de termes
La fórmula de Black-Scholes per a Excel es pot interpretar dividint primer l'opció de compra en la diferència de dues opcions binàries. Una opció de compra intercanvia diners en efectiu per un actiu al venciment, mentre que un actiu de compra amb o sense un actiu simplement produeix un actiu (sense efectiu a canvi) i una trucada sense efectiu simplement retorna els diners (sense canvi d'actiu)). La fórmula de Black-Scholes per a una opció és la diferència de dos termes, i aquests dos termes són iguals al valor de les opcions de compra binàries. Aquestes opcions binàries es negocien amb molta menys freqüència que les opcions de vainilla, però són més fàcils d'analitzar.
A la pràctica, alguns valors de sensibilitat solen abreujar-se per adaptar-se a l'escala dels possibles canvis de paràmetres. Per exemple, rho dividit per 10.000 (canvi per 1 punt bàsic), vega per 100 (canvi per 1 punt de volum) i theta per 365 sovint s'informa.o 252 (disposició d'1 dia en funció de dies naturals o dies de negociació per any).
El model anterior es pot ampliar per a taxes i volatilitat variables (però deterministes). El model també es pot utilitzar per valorar les opcions europees d'instruments de pagament de dividends. En aquest cas, les solucions de forma tancada estan disponibles si el dividend és una proporció coneguda del preu de l'acció. Les opcions americanes i sobre accions que paguen un dividend en efectiu conegut (més realista que un dividend proporcional a curt termini) són més difícils de valorar i hi ha una selecció de mètodes de solució (per exemple, gelosias i quadrícules).
Enfocament
Aproximació útil: tot i que la volatilitat no és constant, els resultats del model sovint ajuden a establir la cobertura en les proporcions adequades per minimitzar el risc. Encara que els resultats no siguin del tot precisos, serveixen com a primera aproximació a la qual es poden fer ajustos.
Bàsic per a millors models: el model Black-Scholes és robust en el sentit que es pot ajustar per fer front a alguns dels seus errors. En lloc de tractar alguns paràmetres (com ara la volatilitat o els tipus d'interès) com a constants, els tractem com a variables i, per tant, afegim fonts de risc.
Això es reflecteix en els grecs (canviant el valor de l'opció per canviar aquests paràmetres o equivalent a les derivades parcials respecte a aquestes variables) i cobrir aquests grecsredueix el risc provocat per la naturalesa variable d'aquests paràmetres. Tanmateix, no es poden eliminar altres defectes canviant el model, en particular el risc de cua i el risc de liquiditat, sinó que es gestionen fora del model, principalment minimitzant aquests riscos i proves d'estrès..
Modelatge explícit
Modelatge explícit: aquesta característica significa que en lloc d'assumir la volatilitat a priori i calcular-ne els preus, podeu utilitzar un model per determinar la volatilitat que doni la volatilitat implícita de l'opció a determinats preus, horaris i preus d'exercici. En resoldre la volatilitat durant un conjunt determinat de durades i preus de vaga, es pot construir una superfície de volatilitat implícita.
En aquesta aplicació del model Black-Scholes s'obté una transformació de coordenades de l'àrea de preus a l'àrea de volatilitat. En lloc de cotitzar els preus de les opcions en dòlars per unitat (que són difícils de comparar basant-se en les vagues, les durades i les freqüències dels cupons), els preus de les opcions es poden cotitzar en termes de volatilitat implícita, cosa que condueix a la volatilitat del comerç d'opcions als mercats d'opcions..
