Com ja sabeu, quan es multipliquen expressions amb potències, els seus exponents sempre sumen (abac=ab+ c). Aquesta llei matemàtica va ser derivada per Arquimedes, i més tard, al segle VIII, el matemàtic Virasen va crear una taula d'indicadors enters. Van ser ells els que van servir per al descobriment posterior dels logaritmes. Es poden trobar exemples d'ús d'aquesta funció gairebé a tot arreu on es requereixi simplificar la multiplicació complicada a la suma simple. Si dediques 10 minuts a llegir aquest article, t'explicarem què són els logaritmes i com treballar-hi. Llenguatge senzill i accessible.
Definició en matemàtiques
El logaritme és una expressió de la forma següent: logab=c c" a la qual cal augmentar la base "a" per obtenir finalment el valor " b". Analitzem el logaritme amb exemples, posem per cas que hi ha una expressió log28. Com trobar la resposta? És molt senzill, cal trobar una titulació que de 2 a la titulació requerida n'obtingueu un 8. Després d'haver fet alguns càlculs en la vostra ment, obtenim el número 3! I és cert, perquè2 elevat a la potència de 3 dóna la resposta 8.
Varietats de logaritmes
Per a molts alumnes i estudiants, aquest tema sembla complicat i incomprensible, però de fet, els logaritmes no fan tanta por, el més important és entendre el seu significat general i recordar les seves propietats i algunes regles. Hi ha tres tipus diferents d'expressions logarítmiques:
- Logaritme natural ln a, on la base és el nombre d'Euler (e=2, 7).
- Logaritme decimal lg a, on la base és el número 10.
- Logaritme de qualsevol nombre b per a la base a>1.
Cada d'elles es resol d'una manera estàndard, incloent la simplificació, la reducció i la posterior reducció a un logaritme mitjançant teoremes logarítmics. Per obtenir els valors correctes dels logaritmes, cal recordar les seves propietats i l'ordre d'accions per resoldre'ls.
Normes i algunes restriccions
En matemàtiques, hi ha diverses regles-restriccions que s'accepten com a axioma, és a dir, no són negociables i són certes. Per exemple, és impossible dividir nombres per zero, i també és impossible treure una arrel parell de nombres negatius. Els logaritmes també tenen les seves pròpies regles, seguint les quals podeu aprendre fàcilment a treballar fins i tot amb expressions logarítmiques llargues i grans:
- la base de "a" ha de ser sempre major que zero i, al mateix temps, no ser igual a 1, en cas contrari l'expressió perdrà el seu significat, perquè "1" i "0" en qualsevol grau són sempre igual als seus valors;
- si un > 0, aleshores un b>0,resulta que "c" també ha de ser més gran que zero.
Com resoldre els logaritmes?
Per exemple, tenint en compte la tasca de trobar la resposta a l'equació 10x=100. És molt fàcil, cal triar aquesta potència, augmentant el número deu, Aconsegueix 100. Això, per descomptat, Bé, potència quadràtica! 102=100.
Ara representem aquesta expressió com a logarítmica. Obtenim log10100=2. Quan es resolen logaritmes, pràcticament totes les accions convergeixen a trobar la potència a la qual s'ha d'introduir la base del logaritme per obtenir un nombre donat.
Per determinar amb precisió el valor d'un grau desconegut, heu d'aprendre a treballar amb la taula de graus. Sembla així:
Com podeu veure, alguns exponents es poden endevinar de manera intuïtiva si teniu una mentalitat tècnica i coneixements de la taula de multiplicar. Tanmateix, els valors més grans requeriran una taula de potències. Pot ser utilitzat fins i tot per aquells que no entenen res en temes matemàtics complexos. La columna de l'esquerra conté nombres (base a), la fila superior de números és el valor de la potència c, a la qual s'eleva el nombre a. A la intersecció, les cel·les defineixen els valors dels números que són la resposta (ac=b). Prenem, per exemple, la primera cel·la amb el número 10 i el quadrat, obtenim el valor 100, que s'indica a la intersecció de les nostres dues cel·les. Tot és tan senzill i fàcil que fins i tot l'humanista més autèntic ho entendrà!
Equacions i desigu altats
Resulta que quanEn determinades condicions, l'exponent és el logaritme. Per tant, qualsevol expressió numèrica matemàtica es pot escriure com una equació logarítmica. Per exemple, 34=81 es pot escriure com el logaritme de 81 a la base 3, que és quatre (log381=4). Per als graus negatius, les regles són les mateixes: 2-5=1/32 escrit com a logaritme, obtenim log2 (1/32)=-5. Una de les seccions més fascinants de les matemàtiques és el tema dels "logaritmes". Considerarem exemples i solucions d'equacions una mica més baixes, immediatament després d'estudiar-ne les propietats. De moment, mirem com són les desigu altats i com distingir-les de les equacions.
Es dóna l'expressió següent: log2(x-1) > 3 - és una desigu altat logarítmica, ja que el valor desconegut "x" està sota el signe de la logaritme. L'expressió també compara dos valors: el logaritme base dos del nombre desitjat és més gran que el número tres.
La diferència més important entre les equacions logarítmiques i les desigu altats és que les equacions amb logaritmes (exemple: logaritme2x=√9) impliquen a la resposta un o més valors numèrics específics, mentre que quan es resol una desigu altat, es determina tant el rang de valors acceptables com els punts d'interrupció d'aquesta funció. Com a resultat, la resposta no és un simple conjunt de nombres individuals, com en la resposta de l'equació, sinó una sèrie contínua o conjunt de nombres.
Teoremes bàsics sobre logaritmes
Quan resoleu tasques primitives per trobar els valors del logaritme, és possible que no en conegueu les propietats. Tanmateix, quan es tracta d'equacions o desigu altats logarítmiques, en primer lloc, cal entendre clarament i aplicar a la pràctica totes les propietats bàsiques dels logaritmes. Més endavant ens familiaritzarem amb els exemples d'equacions, primer analitzem cada propietat amb més detall.
- La identitat bàsica té aquest aspecte: alogaB=B. Només s'aplica si a és major que 0, no és igual a un, i B és major que zero.
- El logaritme del producte es pot representar amb la fórmula següent: logd(s1s2)=registreds1 + registreds2. En aquest cas, la condició obligatòria és: d, s1 i s2 > 0; a≠1. Podeu fer una demostració d'aquesta fórmula de logaritmes, amb exemples i una solució. Deixeu que registre as1 =f1 i registre as 2=f2, després af1=s1, a f2=s2. Aconseguim aquest s1s2 =af1a f2=af1+f2 (propietats de grau), i més per definició: loga(s1 s2)=f1+ f2=registre as1 + logas2, que s'havia de demostrar.
- El logaritme del quocient té aquest aspecte: loga(s1/s2)=registre as1- registre as2.
- El teorema en forma de fórmula pren la forma següent: logaqbn =n/q registreab.
Aquesta fórmula s'anomena "propietat del grau del logaritme". S'assembla a les propietats dels graus ordinaris, i no és d'estranyar, perquè totes les matemàtiques es recolzen en postulats regulars. Vegem la prova.
Deixa registrarab=t, obtenim at=b. Si eleveu els dos costats a la potència m: atn=b;
però perquè atn=(aq)nt/q=b , per tant, registre aq bn=(nt)/t, després registreaq bn=n/q registreab. Teorema demostrat.
Exemples de problemes i desigu altats
Els tipus més comuns de problemes de logaritme són exemples d'equacions i desigu altats. Es troben en gairebé tots els llibres de problemes, i també s'inclouen a la part obligatòria dels exàmens de matemàtiques. Per entrar a la universitat o superar les proves d'accés a matemàtiques, cal saber resoldre aquests problemes correctament.
Desafortunadament, no hi ha cap pla o esquema únic per resoldre i determinar el valor desconegut del logaritme, però es poden aplicar determinades regles a cada desigu altat matemàtica o equació logarítmica. En primer lloc, hauríeu d'esbrinar si l'expressió es pot simplificar o reduir a una forma general. Podeu simplificar les expressions logarítmiques llargues si feu servir les seves propietats correctament. Anem a conèixer-los aviat.
En resoldre equacions logarítmiques,cal determinar quin tipus de logaritme tenim davant nostre: un exemple d'expressió pot contenir un logaritme natural o un decimal.
Aquí teniu exemples de logaritmes decimals: ln100, ln1026. La seva solució es redueix al fet que cal determinar el grau en què la base 10 serà igual a 100 i 1026, respectivament. Per a solucions de logaritmes naturals, cal aplicar identitats logarítmiques o les seves propietats. Vegem exemples de resolució de problemes logarítmics de diversos tipus.
Com utilitzar les fórmules de logaritme: amb exemples i solucions
Així doncs, mirem exemples d'ús dels teoremes principals sobre logaritmes.
- La propietat del logaritme del producte es pot utilitzar en tasques on cal descompondre un gran valor del nombre b en factors més simples. Per exemple, registre24 + registre2128=registre2(4128)=registre2512. La resposta és 9.
- registre48=registre22 23 =3/2 log22=1, 5 - com podeu veure, aplicant la quarta propietat del grau del logaritme, vam aconseguir resoldre a primera vista una expressió complexa i irresoluble. Tot el que has de fer és factoritzar la base i després treure el poder del signe del logaritme.
Tresques de l'examen
Els logaritmes es troben sovint a les proves d'accés, especialment molts problemes logarítmics a l'examen estatal unificat (examen estatal per a tots els graduats escolars). En general, aquestes tasques estan presents no només a la part A (la mésprova fàcil part de l'examen), però també a la part C (les tasques més difícils i voluminoses). L'examen requereix un coneixement precís i perfecte del tema "Logaritmes naturals".
Els exemples i les solucions de problemes s'han extret de les versions oficials de l'examen. Vegem com es resolen aquestes tasques.
Registre donat2(2x-1)=4. Solució:
rescriviu l'expressió, simplificant-la una mica registre2(2x-1)=22, segons la definició del logaritme obtenim que 2x-1=24, per tant, 2x=17; x=8, 5.
Seguint unes quantes directrius, seguint les quals podeu resoldre fàcilment totes les equacions que continguin expressions que estiguin sota el signe del logaritme.
- El millor és reduir tots els logaritmes a la mateixa base perquè la solució no sigui feixuga i confusa.
- Totes les expressions sota el signe logarítmic s'indiquen com a positives, de manera que quan es multiplica l'exponent de l'expressió que està sota el signe logarítmic i com a base, l'expressió que queda sota el logaritme ha de ser positiva.
