Vector és un objecte geomètric important, amb l'ajuda de les seves propietats és convenient resoldre molts problemes en el pla i en l'espai. En aquest article, el definirem, considerarem les seves característiques principals i també mostrarem com es pot utilitzar un vector a l'espai per definir plans.
Què és un vector: cas bidimensional
Primer de tot, cal entendre clarament de quin objecte estem parlant. En geometria, un segment dirigit s'anomena vector. Com qualsevol segment, es caracteritza per dos elements principals: els punts inicial i final. Les coordenades d'aquests punts determinen de manera única totes les característiques del vector.
Considerem un exemple de vector en un pla. Per fer-ho, dibuixem dos eixos x i y mútuament perpendiculars. Marquem un punt arbitrari P(x, y). Si connectem aquest punt a l'origen (punt O), i després especifiquem la direcció a P, obtenim el vector OP¯ (més endavant a l'article, la barra sobre el símbol indica que estem considerant un vector). A continuació es mostra el dibuix vectorial del pla.
Aquí també es mostra un altre vector AB¯, i podeu veure que les seves característiques són exactament les mateixes que OP¯, però es troba en una part diferent del sistema de coordenades. Mitjançant la traducció paral·lela OP¯, podeu obtenir un nombre infinit de vectors amb les mateixes propietats.
Vector a l'espai
Tots els objectes reals que ens envolten es troben en un espai tridimensional. L'estudi de les propietats geomètriques de les figures tridimensionals tracta de l'estereometria, que opera amb el concepte de vectors tridimensionals. Es diferencien dels bidimensionals només perquè la seva descripció requereix una coordenada addicional, que es mesura al llarg del tercer eix x i y z perpendiculars.
La figura següent mostra un vector a l'espai. Les coordenades del seu extrem al llarg de cada eix estan indicades per segments de colors. L'inici del vector es troba al punt d'intersecció dels tres eixos de coordenades, és a dir, té coordenades (0; 0; 0).
Com que un vector en un pla és un cas especial d'un segment dirigit espacialment, a l'article només considerarem un vector tridimensional.
Coordenades vectorials basades en les coordenades conegudes del seu inici i final
Suposem que hi ha dos punts P(x1; y1; z1) i Q(x2; y2; z2). Com determinar les coordenades del vector PQ¯. En primer lloc, cal consensuar quin dels punts serà el principi i quin el final del vector. En matemàtiques, s'acostuma a escriure l'objecte en qüestió al llarg de la seva direcció, és a dir, P és el principi, Q- el final. En segon lloc, les coordenades del vector PQ¯ es calculen com la diferència entre les coordenades corresponents del final i del principi, és a dir:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Tingueu en compte que en canviar la direcció del vector, les seves coordenades canviaran de signe, de la manera següent:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Això vol dir PQ¯=-QP¯.
És important entendre una cosa més. Abans es deia que en el pla hi ha un nombre infinit de vectors iguals al donat. Aquest fet també és vàlid per al cas espacial. De fet, quan hem calculat les coordenades de PQ¯ a l'exemple anterior, hem realitzat l'operació de translació paral·lela d'aquest vector de tal manera que el seu origen coincideix amb l'origen. El vector PQ¯ es pot dibuixar com un segment dirigit des de l'origen fins al punt M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Propietats del vector
Com qualsevol objecte de geometria, un vector té algunes característiques inherents que es poden utilitzar per resoldre problemes. Enumerem-los breument.
El mòdul vectorial és la longitud del segment dirigit. Coneixent les coordenades, és fàcil calcular-les. Per al vector PQ¯ de l'exemple anterior, el mòdul és:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Mòdul vectorial activatpla es calcula mitjançant una fórmula similar, només sense la participació de la tercera coordenada.
La suma i la diferència de vectors es realitza segons la regla del triangle. La figura següent mostra com sumar i restar aquests objectes.
Per obtenir el vector suma, afegiu el començament del segon al final del primer vector. El vector desitjat començarà al principi del primer i acabarà al final del segon.
La diferència es realitza tenint en compte el fet que el vector restant es substitueix pel contrari, i després es realitza l'operació de suma descrita anteriorment.
A més de la suma i la resta, és important poder multiplicar un vector per un nombre. Si el nombre és igual a k, s'obté un vector el mòdul del qual és k vegades diferent de l'original i la direcció és la mateixa (k>0) o oposada a l'original (k<0).
També es defineix l'operació de multiplicació de vectors entre ells. En destacarem un paràgraf a part a l'article.
Multiplicació escalar i vectorial
Suposem que hi ha dos vectors u¯(x1; y1; z1) i v¯(x2; y2; z2). Vector per vector es pot multiplicar de dues maneres diferents:
- Escalar. En aquest cas, el resultat és un número.
- Vector. El resultat és un vector nou.
El producte escalar dels vectors u¯ i v¯ es calcula de la següent manera:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
On α és l'angle entre els vectors donats.
Es pot demostrar que coneixent les coordenades u¯ i v¯, el seu producte escalat es pot calcular mitjançant la fórmula següent:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
El producte escalar és convenient utilitzar-lo quan es descompon un vector en dos segments dirigits perpendicularment. També s'utilitza per calcular el paral·lelisme o l'ortogonalitat dels vectors i per calcular l'angle entre ells.
El producte creuat de u¯ i v¯ dóna un nou vector que és perpendicular als originals i té mòdul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
La direcció cap avall o cap amunt del nou vector està determinada per la regla de la mà dreta (quatre dits de la mà dreta es dirigeixen des del final del primer vector fins al final del segon, i el polze s'enganxa cap amunt). indica la direcció del nou vector). La figura següent mostra el resultat del producte creuat per a a¯ i b¯ arbitraris.
El producte creuat s'utilitza per calcular les àrees de les figures, així com per determinar les coordenades d'un vector perpendicular a un pla donat.
Els vectors i les seves propietats són convenients d'utilitzar quan es defineix l'equació d'un pla.
Equació normal i general del pla
Hi ha diverses maneres de definir un avió. Un d'ells és la derivació de l'equació general del pla, que es desprèn directament del coneixement del vector perpendicular a aquest i d'algun punt conegut que pertany al pla.
Suposem que hi ha un vector n¯ (A; B; C) i un punt P (x0; y0; z 0). Quina condició satisfarà tots els punts Q(x; y; z) del pla? Aquesta condició consisteix en la perpendicularitat de qualsevol vector PQ¯ a la normal n¯. Per a dos vectors perpendiculars, el producte escalat esdevé zero (cos(90o)=0), escriviu això:
(n¯PQ¯)=0 o
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Obrint els claudàtors, obtenim:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 o
Ax + By + Cz +D=0 on D=-Ax0-By0-Cz0.
Aquesta equació s'anomena general per al pla. Veiem que els coeficients davant de x, y i z són les coordenades del vector perpendicular n¯. S'anomena guia d'avió.
Equació paramètrica vectorial del pla
La segona manera de definir un pla és utilitzar dos vectors que hi ha.
Suposem que hi ha vectors u¯(x1; y1; z1) i v¯(x2; y2; z2). Com es va dir, cadascun d'ells a l'espai es pot representar amb un nombre infinit de segments dirigits idèntics, per tant, cal un punt més per determinar de manera única el pla. Sigui aquest punt P(x0;y0; z0). Qualsevol punt Q(x; y; z) es troba en el pla desitjat si el vector PQ¯ es pot representar com una combinació de u¯ i v¯. És a dir, tenim:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
On α i β són alguns nombres reals. D'aquesta igu altat se segueix l'expressió:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
S'anomena equació vectorial paramètrica del pla respecte a 2 vectors u¯ i v¯. Substituint els paràmetres arbitraris α i β, es poden trobar tots els punts (x; y; z) pertanyents a aquest pla.
A partir d'aquesta equació és fàcil obtenir l'expressió general del pla. Per fer-ho, n'hi ha prou de trobar el vector de direcció n¯, que serà perpendicular als dos vectors u¯ i v¯, és a dir, s'ha d'aplicar el seu producte vectorial.
El problema de determinar l'equació general del pla
Mostrem com utilitzar les fórmules anteriors per resoldre problemes geomètrics. Suposem que el vector de direcció del pla és n¯(5; -3; 1). Hauríeu de trobar l'equació del pla, sabent que el punt P(2; 0; 0) li pertany.
L'equació general s'escriu com:
Ax + By + Cz +D=0.
Com que es coneix el vector perpendicular al pla, l'equació tindrà la forma:
5x - 3y + z +D=0.
Resta trobar el terme lliure D. El calculem a partir del coneixement de les coordenades P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Així, l'equació desitjada del pla té la forma:
5x - 3y + z -10=0.
La figura següent mostra com és l'avió resultant.
Les coordenades indicades dels punts corresponen a les interseccions del pla amb els eixos x, y i z.
El problema de determinar el pla a través de dos vectors i un punt
Ara suposem que el pla anterior es defineix de manera diferent. Es coneixen dos vectors u¯(-2; 0; 10) i v¯(-2; -10/3; 0), així com el punt P(2; 0; 0). Com escriure l'equació plana en forma paramètrica vectorial? Utilitzant la fórmula corresponent considerada, obtenim:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Tingueu en compte que les definicions d'aquesta equació del pla, els vectors u¯ i v¯ es poden prendre absolutament qualsevol, però amb una condició: no han de ser paral·lels. En cas contrari, el pla no es pot determinar de manera única, però es pot trobar una equació per a un feix o un conjunt de plans.
