L'aparició del concepte d'integral es va deure a la necessitat de trobar la funció antiderivada per la seva derivada, així com de determinar la quantitat de treball, l'àrea de figures complexes, la distància recorreguda, amb paràmetres esbossats per corbes descrites per fórmules no lineals.
Des del curs
i la física sap que el treball és igual al producte de la força i la distància. Si tot el moviment es produeix a una velocitat constant o la distància es supera amb l'aplicació de la mateixa força, aleshores tot està clar, només cal multiplicar-los. Què és una integral d'una constant? Aquesta és una funció lineal de la forma y=kx+c.
Però la força durant el treball pot canviar, i en algun tipus de dependència natural. La mateixa situació passa amb el càlcul de la distància recorreguda si la velocitat no és constant.
Per tant, està clar per a què serveix la integral. La seva definició com la suma dels productes dels valors de la funció per un increment infinitesimal de l'argument descriu completament el significat principal d'aquest concepte com l'àrea d'una figura limitada des de d alt per la línia de la funció, i en les vores pels límits de la definició.
Jean Gaston Darboux, matemàtic francès, a la segona meitat del XIXsegle va explicar molt clarament què és una integral. Va deixar tan clar que, en general, no seria difícil ni tan sols per a un estudiant de secundària entendre aquest problema.
Diguem que hi ha una funció de qualsevol forma complexa. L'eix Y, en el qual es representen els valors de l'argument, es divideix en petits intervals, idealment són infinitament petits, però com que el concepte d'infinit és més aviat abstracte, n'hi ha prou d'imaginar segments petits, el valor dels quals normalment es denota amb la lletra grega Δ (delta).
La funció va resultar "tallada" en petits maons.
Cada valor d'argument correspon a un punt de l'eix y, en el qual es representen els valors de funció corresponents. Però com que l'àrea seleccionada té dues vores, també hi haurà dos valors de la funció, més i menys.
La suma dels productes de valors més grans per l'increment Δ s'anomena suma gran de Darboux i es denota S. En conseqüència, els valors més petits en una àrea limitada, multiplicats per Δ, tots junts formar una petita suma de Darboux s. La secció en si s'assembla a un trapezi rectangular, ja que es pot descuidar la curvatura de la línia de la funció amb el seu increment infinitesimal. La manera més fàcil de trobar l'àrea d'aquesta figura geomètrica és sumar els productes del valor més gran i més petit de la funció per l'increment Δ i dividir per dos, és a dir, determinar-la com a mitjana aritmètica.
Això és la integral de Darboux:
s=Σf(x) Δ és una quantitat petita;
S=Σf(x+Δ)Δ és una gran suma.
Aleshores, què és una integral? L'àrea delimitada per la línia de funció i els límits de definició serà:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
És a dir, la mitjana aritmètica de les sumes Darboux grans i petites.c és un valor constant que es posa a zero durant la diferenciació.
A partir de l'expressió geomètrica d'aquest concepte, es fa evident el significat físic de la integral. L'àrea de la figura, delimitada per la funció de velocitat, i limitada per l'interval de temps al llarg de l'eix d'abscisses, serà la longitud del camí recorregut.
L=∫f(x)dx a l'interval de t1 a t2, On
f(x) – funció de velocitat, és a dir, la fórmula per la qual canvia amb el temps;
L: longitud del camí;
t1 – hora d'inici;
t2: hora de finalització del viatge.
Exactament segons el mateix principi, es determina la quantitat de treball, només es representarà la distància al llarg de l'abscissa i la quantitat de força aplicada en cada punt concret es representarà al llarg de l'ordenada.
