Inequacions algebraiques o els seus sistemes amb coeficients racionals les solucions dels quals es busquen en nombres enters o enters. Per regla general, el nombre d'incògnites a les equacions diofàntiques és més gran. Així, també es coneixen com a desigu altats indefinides. En matemàtiques modernes, el concepte anterior s'aplica a equacions algebraiques les solucions de les quals es busquen en nombres enters algebraics d'alguna extensió del camp de les variables Q-racionals, el camp de les variables p-àdiques, etc.
Els orígens d'aquestes desigu altats
L'estudi de les equacions diofàntiques es troba a la frontera entre la teoria dels nombres i la geometria algebraica. Trobar solucions en variables senceres és un dels problemes matemàtics més antics. Ja a principis del segon mil·lenni aC. els antics babilonis van aconseguir resoldre sistemes d'equacions amb dues incògnites. Aquesta branca de les matemàtiques va florir més a l'antiga Grècia. L'aritmètica de Diofant (ca. segle III dC) és una font important i principal que conté diversos tipus i sistemes d'equacions.
En aquest llibre, Diofant va preveure una sèrie de mètodes per estudiar les desigu altats del segon i el tercergraus que es van desenvolupar plenament al segle XIX. La creació de la teoria dels nombres racionals per part d'aquest investigador de l'antiga Grècia va donar lloc a l'anàlisi de solucions lògiques de sistemes indefinits, que se segueixen sistemàticament en el seu llibre. Tot i que el seu treball conté solucions a equacions diofàntiques específiques, hi ha raons per creure que també estava familiaritzat amb diversos mètodes generals.
L'estudi d'aquestes desigu altats sol associar-se a greus dificultats. A causa del fet que contenen polinomis amb coeficients enters F (x, y1, …, y). A partir d'això, es van extreure conclusions que no hi ha cap algorisme únic que es pugui utilitzar per determinar per a qualsevol x donat si l'equació F (x, y1, …., y ). La situació es pot resoldre per a y1, …, y . Es poden escriure exemples d'aquests polinomis.
La desigu altat més simple
ax + by=1, on a i b són relativament nombres enters i primers, té un gran nombre d'execucions (si x0, y0 es forma el resultat, aleshores el parell de variables x=x0 + b i y=y0 -an, on n és arbitrari, també es considerarà una desigu altat). Un altre exemple d'equacions diofàntiques és x2 + y2 =z2. Les solucions integrals positives d'aquesta desigu altat són les longituds dels costats petits x, y i els triangles rectangles, així com la hipotenusa z amb dimensions dels costats enters. Aquests nombres es coneixen com a nombres pitagòrics. S'han indicat tots els triplets respecte al primerles variables anteriors estan donades per x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, on m i n són nombres enters i nombres primers (m>n>0).
Diofant a la seva Aritmètica cerca solucions racionals (no necessàriament integrals) de tipus especials de les seves desigu altats. C. G. Baschet va desenvolupar una teoria general per resoldre equacions diofàntiques de primer grau al segle XVII. Altres científics a principis del segle XIX van estudiar principalment desigu altats similars com ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, on a, b, c, d, e i f són generals, heterogenis, amb dues incògnites de segon grau. Lagrange va utilitzar fraccions contínues en el seu estudi. Gauss per a formes quadràtiques va desenvolupar una teoria general subjacent a alguns tipus de solucions.
En l'estudi d'aquestes desigu altats de segon grau, només al segle XX es va fer un avenç significatiu. A. Thue va trobar que l'equació diofàntica a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, on n≧3, a0, …, a , c són nombres enters i a0tn + …+ a no pot tenir un nombre infinit de solucions senceres. Tanmateix, el mètode de Thue no es va desenvolupar adequadament. A. Baker va crear teoremes efectius que donen estimacions sobre el rendiment d'algunes equacions d'aquest tipus. BN Delaunay va proposar un altre mètode d'investigació aplicable a una classe més estreta d'aquestes desigu altats. En particular, la forma ax3 + y3 =1 es pot resoldre completament d'aquesta manera.
Equacions diofàntiques: mètodes de solució
La teoria de Diofant té moltes direccions. Així, un problema ben conegut en aquest sistema és la hipòtesi que no hi ha cap solució no trivial de les equacions diofàntiques xn + y =z n si n ≧ 3 (pregunta de Fermat). L'estudi dels compliments enters de la desigu altat és una generalització natural del problema dels triplets pitagòrics. Euler va obtenir una solució positiva del problema de Fermat per a n=4. En virtut d'aquest resultat, es refereix a la demostració de l'enter que f alta, estudis diferents de zero de l'equació si n és un nombre primer senar.
L'estudi sobre la decisió no s'ha completat. Les dificultats amb la seva implementació estan relacionades amb el fet que la factorització simple en l'anell de nombres enters algebraics no és única. La teoria dels divisors d'aquest sistema per a moltes classes d'exponents primers n permet confirmar la validesa del teorema de Fermat. Així, l'equació diofàntica lineal amb dues incògnites es compleix amb els mètodes i maneres existents.
Tipus i tipus de tasques descrites
L'aritmètica dels anells de nombres enters algebraics també s'utilitza en molts altres problemes i solucions d'equacions diofàntiques. Per exemple, aquests mètodes es van aplicar en complir les desigu altats de la forma N(a1 x1 +…+ a x)=m, on N(a) és la norma de a, i x1, …, xn Es troben variables racionals integrals. Aquesta classe inclou l'equació de Pell x2–dy2=1.
Els valors a1, …, a que apareixen, aquestes equacions es divideixen en dos tipus. El primer tipus, les anomenades formes completes, inclou equacions en què entre a hi ha m nombres linealment independents sobre el camp de variables racionals Q, on m=[Q(a1, …, a):Q], en què hi ha un grau d'exponents algebraics Q (a1, …, a ) sobre Q. Les espècies incompletes són les de que el nombre màxim d'a i inferior a m.
Els formularis complets són més senzills, el seu estudi és complet i es poden descriure totes les solucions. El segon tipus, les espècies incompletes, és més complicat i el desenvolupament d'aquesta teoria encara no s'ha completat. Aquestes equacions s'estudien utilitzant aproximacions diofàntiques, que inclouen la desigu altat F(x, y)=C, on F (x, y) és un polinomi irreductible i homogeni de grau n≧3. Per tant, podem suposar que yi→∞. En conseqüència, si yi és prou gran, aleshores la desigu altat contradirà el teorema de Thue, Siegel i Roth, del qual es dedueix que F(x, y)=C, on F és una forma de tercer grau o superior, l'irreductible no pot tenir un nombre infinit de solucions.
Com resoldre una equació diofàntica?
Aquest exemple és una classe força estreta entre tots. Per exemple, malgrat la seva senzillesa, x3 + y3 + z3=N i x2 +y 2 +z2 +u2 =N no estan inclosos en aquesta classe. L'estudi de les solucions és una branca estudiada amb força de les equacions diofàntiques, on la base és la representació mitjançant formes quadràtiques de nombres. Lagrangeva crear un teorema que diu que el compliment existeix per a tots els N naturals. Qualsevol nombre natural es pot representar com la suma de tres quadrats (teorema de Gauss), però no hauria de tenir la forma 4a (8K- 1), on a i k són exponents enters no negatius.
Solucions racionals o integrals d'un sistema d'una equació diofàntica de tipus F (x1, …, x)=a, on F (x 1, …, x) és una forma quadràtica amb coeficients enters. Així, segons el teorema de Minkowski-Hasse, la desigu altat ∑aijxixj=b iji b és racional, té una solució integral en nombres reals i p-àdics per a cada nombre primer p només si és resoluble en aquesta estructura.
A causa de les dificultats inherents, s'ha estudiat en menor mesura l'estudi de nombres amb formes arbitràries de tercer grau i superior. El principal mètode d'execució és el mètode de les sumes trigonomètriques. En aquest cas, el nombre de solucions de l'equació s'escriu explícitament en termes de la integral de Fourier. Després d'això, s'utilitza el mètode de l'entorn per expressar el nombre de compliment de la desigu altat de les congruències corresponents. El mètode de les sumes trigonomètriques depèn de les característiques algebraiques de les desigu altats. Hi ha un gran nombre de mètodes elementals per resoldre equacions diofàntiques lineals.
Anàlisi diofàntica
Departament de matemàtiques, la matèria del qual és l'estudi de solucions integrals i racionals de sistemes d'equacions d'àlgebra mitjançant mètodes de geometria, a partir del mateixesferes. A la segona meitat del segle XIX, l'aparició d'aquesta teoria dels nombres va portar a l'estudi de les equacions diofàntiques a partir d'un camp arbitrari amb coeficients, i les solucions es consideraven en ell o en els seus anells. El sistema de funcions algebraiques es va desenvolupar paral·lelament als nombres. L'analogia bàsica entre ambdós, que va ser emfatitzada per D. Hilbert i, en particular, L. Kronecker, va conduir a la construcció uniforme de diversos conceptes aritmètics, que normalment s'anomenen globals.
Això és especialment notable si les funcions algebraiques que s'estudien sobre un camp finit de constants són una variable. Conceptes com la teoria de camps de classe, el divisor i la ramificació i els resultats són una bona il·lustració de l'anterior. Aquest punt de vista es va adoptar en el sistema de desigu altats diofàntiques només més tard, i la investigació sistemàtica no només amb coeficients numèrics, sinó també amb coeficients que són funcions, va començar només als anys cinquanta. Un dels factors decisius en aquest plantejament va ser el desenvolupament de la geometria algebraica. L'estudi simultani dels camps dels nombres i de les funcions, que sorgeixen com a dos aspectes igualment importants d'una mateixa assignatura, no només va donar resultats elegants i convincents, sinó que va provocar l'enriquiment mutu dels dos temes.
En geometria algebraica, la noció de varietat es substitueix per un conjunt no invariant d'inequacions sobre un determinat camp K, i les seves solucions són substituïdes per punts racionals amb valors en K o en la seva extensió finita. Per tant, es pot dir que el problema fonamental de la geometria diofàntica és l'estudi dels punts racionalsd'un conjunt algebraic X(K), mentre que X són certs nombres del camp K. L'execució d'enteres té un significat geomètric en equacions diofàntiques lineals.
Estudis de desigu altat i opcions d'execució
En estudiar punts racionals (o integrals) sobre varietats algebraiques, sorgeix el primer problema, que és la seva existència. El desè problema de Hilbert es formula com el problema de trobar un mètode general per resoldre aquest problema. En el procés de creació d'una definició exacta de l'algorisme i després que es va demostrar que no hi ha aquestes execucions per a un gran nombre de problemes, el problema va obtenir un resultat negatiu evident, i la pregunta més interessant és la definició de classes d'equacions diofàntiques. per als quals existeix el sistema anterior. L'enfocament més natural, des del punt de vista algebraic, és l'anomenat principi de Hasse: el camp inicial K s'estudia juntament amb les seves terminacions Kv sobre totes les estimacions possibles. Com que X(K)=X(Kv) són una condició necessària per a l'existència, i el punt K té en compte que el conjunt X(Kv) no està buit per a tots els v.
La importància rau en el fet que reuneix dos problemes. El segon és molt més senzill, es pot resoldre mitjançant un algorisme conegut. En el cas particular on la varietat X és projectiva, el lema de Hansel i les seves generalitzacions fan possible una reducció addicional: el problema es pot reduir a l'estudi de punts racionals sobre un camp finit. Aleshores decideix construir un concepte, ja sigui mitjançant una investigació coherent o mètodes més eficaços.
Últimuna consideració important és que els conjunts X(Kv) no són buits per a tots excepte per a un nombre finit de v, de manera que el nombre de condicions és sempre finit i es poden provar eficaçment. Tanmateix, el principi de Hasse no s'aplica a les corbes de grau. Per exemple, 3x3 + 4y3=5 té punts en tots els camps de nombre p-àdic i al sistema de nombres reals, però no té punts racionals.
Aquest mètode va servir com a punt de partida per construir un concepte que descriu les classes d'espais homogenis principals de varietats abelianes per realitzar una "desviació" del principi de Hasse. Es descriu en termes d'una estructura especial que es pot associar a cada varietat (grup Tate-Shafarevich). La principal dificultat de la teoria rau en el fet que els mètodes de càlcul de grups són difícils d'obtenir. Aquest concepte també s'ha estès a altres classes de varietats algebraiques.
Cerca un algorisme per complir les desigu altats
Una altra idea heurística utilitzada en l'estudi de les equacions diofàntiques és que si el nombre de variables implicades en un conjunt de desigu altats és gran, aleshores el sistema sol tenir una solució. No obstant això, això és molt difícil de demostrar per a un cas concret. L'enfocament general de problemes d'aquest tipus utilitza la teoria analítica de nombres i es basa en estimacions per a sumes trigonomètriques. Aquest mètode es va aplicar originalment a tipus especials d'equacions.
No obstant això, més tard es va demostrar amb la seva ajuda que si la forma d'un grau senar és F, en di n variables i amb coeficients racionals, aleshores n és prou gran en comparació amb d, de manera que la hipersuperfície projectiva F=0 té un punt racional. Segons la conjectura d'Artin, aquest resultat és cert encara que n > d2. Això només s'ha demostrat per a les formes quadràtiques. També es poden demanar problemes similars per a altres camps. El problema central de la geometria diofàntica és l'estructura del conjunt de punts enters o racionals i el seu estudi, i la primera qüestió que cal aclarir és si aquest conjunt és finit. En aquest problema, la situació sol tenir un nombre finit d'execucions si el grau del sistema és molt més gran que el nombre de variables. Aquesta és la suposició bàsica.
Desigu altats en línies i corbes
El grup X(K) es pot representar com una suma directa d'una estructura lliure de rang r i un grup finit d'ordre n. Des de la dècada de 1930, s'ha estudiat la qüestió de si aquests nombres estan acotats en el conjunt de totes les corbes el·líptiques sobre un determinat camp K. La limitació de la torsió n es va demostrar als anys setanta. Hi ha corbes de rang alt arbitrari en el cas funcional. En el cas numèric, encara no hi ha resposta a aquesta pregunta.
Finalment, la conjectura de Mordell afirma que el nombre de punts integrals és finit per a una corba del gènere g>1. En el cas funcional, aquest concepte va ser demostrat per Yu. I. Manin el 1963. La principal eina que s'utilitza per demostrar els teoremes de finitud en geometria diofàntica és l'alçada. De les varietats algebraiques, les dimensions superiors a una són abelianesles varietats, que són els anàlegs multidimensionals de les corbes el·líptiques, han estat les més estudiades.
A. Weil va generalitzar el teorema sobre la finitud del nombre de generadors d'un grup de punts racionals a varietats abelianes de qualsevol dimensió (el concepte Mordell-Weil), ampliant-lo. A la dècada de 1960, va aparèixer la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer, millorant aquesta i les funcions de grup i zeta de la varietat. L'evidència numèrica recolza aquesta hipòtesi.
Problema de resolució
El problema de trobar un algorisme que es pugui utilitzar per determinar si alguna equació diofàntica té solució. Una característica essencial del problema plantejat és la recerca d'un mètode universal que sigui adequat per a qualsevol desigu altat. Aquest mètode també permetria resoldre els sistemes anteriors, ja que és equivalent a P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 o p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. El problema de trobar una manera tan universal de trobar solucions per a les desigu altats lineals en nombres enters va ser plantejat per D. Gilbert.
A principis dels anys 50, van aparèixer els primers estudis destinats a demostrar la inexistència d'un algorisme per resoldre equacions diofàntiques. En aquest moment, va aparèixer la conjectura de Davis, que deia que qualsevol conjunt enumerable també pertany al científic grec. Perquè es coneixen exemples de conjunts algorítmicament indecidibles, però són enumerables recursivament. Es dedueix que la conjectura de Davis és certa i el problema de la solubilitat d'aquestes equacionsté una execució negativa.
Després d'això, per a la conjectura de Davis, queda per demostrar que hi ha un mètode per transformar una desigu altat que també (o no) al mateix temps té solució. Es va demostrar que aquest canvi de l'equació diofàntica és possible si té les dues propietats anteriors: 1) en qualsevol solució d'aquest tipus v ≦ uu; 2) per a qualsevol k, hi ha una execució amb creixement exponencial.
Un exemple d'equació diofàntina lineal d'aquesta classe va completar la demostració. El problema de l'existència d'un algorisme per a la resolució i reconeixement d'aquestes desigu altats en nombres racionals encara es considera una qüestió important i oberta que no s'ha estudiat prou.
