Una de les seccions fonamentals de l'anàlisi matemàtica és el càlcul integral. Cobreix el camp més ampli d'objectes, on el primer és la integral indefinida. Val la pena posicionar-lo com a clau, que fins i tot a l'institut revela un nombre creixent de perspectives i oportunitats que descriuen les matemàtiques superiors.
Aparença
A primera vista, la integral sembla totalment moderna, rellevant, però a la pràctica resulta que va aparèixer ja l'any 1800 aC. Egipte es considera oficialment la pàtria, ja que no ens han arribat proves anteriors de la seva existència. Ell, per manca d'informació, tot aquest temps es va posicionar simplement com un fenomen. Va tornar a confirmar el nivell de desenvolupament de la ciència entre els pobles d'aquells temps. Finalment, es van trobar les obres dels antics matemàtics grecs que es remunten al segle IV aC. Van descriure un mètode on s'utilitzava una integral indefinida, l'essència de la qual era trobar el volum o l'àrea d'una figura curvilínia (tridimensionali plans bidimensionals, respectivament). El principi de càlcul es basava en dividir la figura original en components infinitesimals, sempre que ja se'n conegui el volum (àrea). Amb el temps, el mètode ha anat creixent, Arquimedes el va utilitzar per trobar l'àrea d'una paràbola. Els científics de l'antiga Xina van fer càlculs similars al mateix temps i eren completament independents dels seus homòlegs grecs en ciència.
Desenvolupament
El següent avenç al segle XI dC va ser el treball del científic àrab-"universal" Abu Ali al-Basri, que va empènyer els límits del que ja es coneixia, derivant fórmules basades en la integral per calcular les sumes. de files i les sumes de potències de la primera a la quarta, aplicant per a això el mètode d'inducció matemàtica que coneixem.
Les ments dels temps moderns admiren com els antics egipcis van crear monuments arquitectònics sorprenents sense cap dispositiu especial, excepte potser les seves mans, però el poder de la ment dels científics d'aquella època no és menys un miracle? En comparació amb l'actualitat, la seva vida sembla gairebé primitiva, però la solució de les integrals indefinides es va derivar a tot arreu i es va utilitzar a la pràctica per al desenvolupament posterior.
El següent pas va tenir lloc al segle XVI, quan el matemàtic italià Cavalieri va desenvolupar el mètode dels indivisibles, que va ser recollit per Pierre Fermat. Van ser aquestes dues personalitats les que van establir les bases del càlcul integral modern, que es coneix actualment. Connectaven els conceptes de diferenciació i integració, que eren anteriormenttractats com a unitats autònomes. En general, la matemàtica d'aquells temps estava fragmentada, les partícules de conclusions existien per si soles, amb un abast limitat. El camí de la unificació i la recerca de punts en comú era l'únic cert en aquell moment, gràcies al qual l'anàlisi matemàtica moderna va tenir l'oportunitat de créixer i desenvolupar-se.
Tot ha canviat amb el temps, inclosa la notació de la integral. En general, els científics ho denotaven per tots els mitjans, per exemple, Newton utilitzava una icona quadrada en la qual col·locava una funció integrable o simplement la posava al costat.
Aquesta inconsistència va continuar fins al segle XVII, quan el científic Gottfried Leibniz, una fita per a tota la teoria de l'anàlisi matemàtica, va introduir el símbol tan familiar per a nos altres. La "S" allargada es basa efectivament en aquesta lletra de l'alfabet llatí, ja que denota la suma d'antiderivades. L'integral va rebre el seu nom gràcies a Jacob Bernoulli 15 anys després.
Definició formal
La integral indefinida depèn directament de la definició de l'antiderivada, així que considerem-la primer.
Una antiderivada és una funció que és la inversa d'una derivada, a la pràctica també s'anomena primitiva. En cas contrari: l'antiderivada d'una funció d és una funció D la derivada de la qual és igual a v V'=v. La recerca de l'antiderivada és el càlcul de la integral indefinida, i aquest procés en si s'anomena integració.
Exemple:
Funció s(y)=y3, i la seva antiderivada S(y)=(y4/4).
El conjunt de totes les antiderivades de la funció considerada és la integral indefinida, es denota de la següent manera: ∫v(x)dx.
A causa del fet que V(x) és només una antiderivada de la funció original, es produeix l'expressió: ∫v(x)dx=V(x) + C, on C és una constant. Una constant arbitrària és qualsevol constant, ja que la seva derivada és igual a zero.
Propietats
Les propietats que té la integral indefinida es basen en la definició principal i les propietats de les derivades.
Mirem els punts clau:
- la integral de la derivada de l'antiderivada és la pròpia antiderivada més una constant arbitrària С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- la derivada de la integral de la funció és la funció original (∫v(x)dx)'=v(x);
- constant es treu de sota el signe integral ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, on k és arbitrari;
- la integral extreta de la suma és idènticament igual a la suma de les integrals ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
A partir de les dues últimes propietats, podem concloure que la integral indefinida és lineal. Gràcies a això, tenim: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Per consolidar, considereu exemples de resolució d'integrals indefinides.
Cal trobar la integral ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
De l'exemple podem concloure:no saps com resoldre integrals indefinides? Només has de trobar tots els primitius! Però els principis de la cerca es consideraran a continuació.
Mètodes i exemples
Per resoldre la integral, podeu recórrer als mètodes següents:
- utilitza la taula preparada;
- integrar per parts;
- integra canviant la variable;
- portant sota el signe diferencial.
Taules
La manera més fàcil i divertida. Actualment, l'anàlisi matemàtica compta amb taules força extenses on s'escriuen les fórmules bàsiques de les integrals indefinides. En altres paraules, hi ha plantilles que s'han desenvolupat abans que vostè i per a vostè, només queda utilitzar-les. Aquí teniu una llista de les posicions principals de la taula a les quals podeu derivar gairebé tots els exemples que tinguin solució:
- ∫0dy=C, on C és una constant;
- ∫dy=y + C, on C és una constant;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, on C és una constant i n - número no un;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, on C és una constant;
- ∫eydy=ey + C, on C és una constant;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, on C és una constant;
- ∫cosydy=siny + C, on C és una constant;
- ∫sinydy=-cosy + C, on C és una constant;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, on C és una constant;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, on C és una constant;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, on C és una constant;
- ∫chydy=tímid + C, on C -constant;
- ∫shydy=chy + C, on C és una constant.
Si cal, fes un parell de passos, porta l'integrand a forma tabular i gaudeix de la victòria. Exemple: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Segons la solució, queda clar que per a l'exemple tabular, a l'integrand li f alta un factor de 5. Ho sumem, multiplicant-lo en paral·lel per 1/5 perquè l'expressió general no canviï.
Integració per parts
Considereu dues funcions: z(y) i x(y). Han de ser contínuament diferenciables en tot el domini de definició. Segons una de les propietats de diferenciació, tenim: d(xz)=xdz + zdx. Integrant les dues parts de l'equació, obtenim: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Reescrivint la igu altat resultant, obtenim una fórmula que descriu el mètode d'integració per parts: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Per què és necessari? La qüestió és que alguns exemples es poden simplificar, condicionalment parlant, reduir ∫zdx a ∫xdz si aquest últim és proper a la forma tabular. A més, aquesta fórmula es pot aplicar més d'una vegada, aconseguint resultats òptims.
Com resoldre integrals indefinides d'aquesta manera:
necessitat de calcular ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
necessitat de calcular ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Substitució de variables
Aquest principi de resolució d'integrals indefinides no és menys demandat que els dos anteriors, tot i que és més complicat. El mètode és el següent: sigui V(x) la integral d'alguna funció v(x). En el cas que la pròpia integral de l'exemple resulti complexa, hi ha una gran probabilitat de confondre's i prendre el camí equivocat de solució. Per evitar-ho, es practica la transició de la variable x a z, en la qual l'expressió general es simplifica visualment mantenint la dependència de z de x.
Matemàticament es veu així: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), on x=y(z) és una substitució. I, per descomptat, la funció inversa z=y-1(x) descriu completament la dependència i la relació de les variables. Nota important: el diferencial dx es substitueix necessàriament per un nou diferencial dz, ja que la substitució d'una variable en la integral indefinida implica la seva substitució a tot arreu, i no només a l'integrand.
Exemple:
cal trobar ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Aplica la substitució z=(s+1)/(s2+2s-5). Aleshores dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Com a resultat, obtenim la següent expressió, que és molt fàcil de calcular:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
cal trobar la integral∫2sesdx
Per resoldre, tornem a escriure l'expressió de la forma següent:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Denoteu amb a=2e (aquest pas no és un reemplaçament de l'argument, encara és s), portem la nostra integral aparentment complexa a una forma tabular elemental:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Bringing under the diferencial sign
En general, aquest mètode d'integrals indefinides és un germà bessó del principi de canvi variable, però hi ha diferències en el procés de disseny. Fem una ullada més de prop.
Si ∫v(x)dx=V(x) + C i y=z(x), aleshores ∫v(y)dy=V(y) + C.
En aquest cas, no s'han d'oblidar les trivials transformacions integrals, entre les quals:
- dx=d(x + a), on a és qualsevol constant;
- dx=(1 / a)d(ax + b), on a torna a ser una constant, però no igual a zero;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Si considerem el cas general quan calculem la integral indefinida, els exemples es poden resumir amb la fórmula general w'(x)dx=dw(x).
Exemples:
cal trobar ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Ajuda en línia
En alguns casos, la culpa dels quals pot ser la mandra o la necessitat urgent, podeu utilitzar consells en línia, o més aviat, utilitzar la calculadora integral indefinida. Malgrat tota l'aparent complexitat i contestabilitat de les integrals, la seva solució està subjecta a un cert algorisme, que es basa en el principi "si no …, llavors …".
Per descomptat, una calculadora d'aquest tipus no dominarà exemples especialment complexos, ja que hi ha casos en què la solució s'ha de trobar artificialment, introduint "a la força" determinats elements en el procés, perquè el resultat no es pot aconseguir de manera evident. maneres. Malgrat tota la controvèrsia d'aquesta afirmació, és cert, ja que les matemàtiques, en principi, són una ciència abstracta, i considera la necessitat d'ampliar els límits de les possibilitats com la seva tasca principal. De fet, és extremadament difícil avançar i desenvolupar-se d'acord amb les teories fluïdes, de manera que no hauríeu d'assumir que els exemples de resolució d'integrals indefinides que hem donat són l' altura de possibilitats. Però tornem a la part tècnica de les coses. Almenys per comprovar els càlculs, podeu utilitzar els serveis en què tot estava escrit abans que nos altres. Si cal un càlcul automàtic d'una expressió complexa, no es pot prescindir d'elles, haureu de recórrer a un programari més seriós. Val la pena parar atenció en primer lloc a l'entorn MatLab.
Aplicació
La solució de les integrals indefinides a primera vista sembla completament fora de contacte amb la realitat, ja que és difícil veure les àrees d'aplicació evidents. De fet, no es poden utilitzar directament enlloc, però es consideren un element intermedi necessari en el procés d'obtenció de solucions utilitzades a la pràctica. Per tant, la integració és inversa a la diferenciació, per la qual cosa participa activament en el procés de resolució d'equacions.
Al seu torn, aquestes equacions tenen un impacte directe en la solució de problemes mecànics, el càlcul de trajectòries i la conductivitat tèrmica, en definitiva, tot allò que configura el present i configura el futur. La integral indefinida, exemples de la qual hem examinat més amunt, només és trivial a primera vista, ja que és la base per fer cada cop més nous descobriments.
