La sèrie de Fourier és una representació d'una funció presa arbitràriament amb un període específic com a sèrie. En termes generals, aquesta solució s'anomena descomposició d'un element en una base ortogonal. L'expansió de funcions en una sèrie de Fourier és una eina força potent per resoldre diversos problemes a causa de les propietats d'aquesta transformació a l'hora d'integrar, diferenciar i canviar una expressió en un argument i una convolució.
Una persona que no estigui familiaritzada amb les matemàtiques superiors, així com amb els treballs del científic francès Fourier, probablement no entengui què són aquestes "files" i per a què serveixen. Mentrestant, aquesta transformació s'ha fet força densa a les nostres vides. És utilitzat no només per matemàtics, sinó també per físics, químics, metges, astrònoms, sismòlegs, oceanògrafs i molts altres. Mirem més de prop les obres del gran científic francès, que va fer un descobriment abans del seu temps.
L'home i la transformada de Fourier
Les sèries de Fourier són un dels mètodes (juntament amb l'anàlisi i altres) de la transformada de Fourier. Aquest procés es produeix cada vegada que una persona sent un so. La nostra oïda converteix automàticament el soones. Els moviments oscil·latoris de les partícules elementals en un medi elàstic es descomponen en files (al llarg de l'espectre) de valors successius del nivell de volum per a tons de diferents altures. A continuació, el cervell converteix aquestes dades en sons familiars per a nos altres. Tot això succeeix a més del nostre desig o consciència, per si mateix, però per entendre aquests processos, es necessitaran diversos anys per estudiar matemàtiques superiors.
Més informació sobre la Transformada de Fourier
La transformació de Fourier es pot dur a terme mitjançant mètodes analítics, numèrics i altres. Les sèries de Fourier es refereixen a la forma numèrica de descompondre qualsevol procés oscil·latori, des de les marees oceàniques i les ones de llum fins a cicles d'activitat solar (i altres objectes astronòmics). Mitjançant aquestes tècniques matemàtiques, és possible analitzar funcions, representant qualsevol procés oscil·latori com una sèrie de components sinusoïdals que van del mínim al màxim i viceversa. La transformada de Fourier és una funció que descriu la fase i l'amplitud dels sinusoides corresponents a una freqüència específica. Aquest procés es pot utilitzar per resoldre equacions molt complexes que descriuen processos dinàmics que es produeixen sota la influència de l'energia tèrmica, lluminosa o elèctrica. Així mateix, les sèries de Fourier permeten aïllar els components constants en senyals oscil·latoris complexos, fet que va permetre interpretar correctament les observacions experimentals obtingudes en medicina, química i astronomia.
Antecedents històrics
Pare fundador d'aquesta teoriaJean Baptiste Joseph Fourier és un matemàtic francès. Posteriorment, aquesta transformació va rebre el seu nom. Inicialment, el científic va aplicar el seu mètode per estudiar i explicar els mecanismes de conducció de calor: la propagació de la calor en els sòlids. Fourier va suggerir que la distribució irregular inicial d'una onada de calor es pot descompondre en els sinusoides més simples, cadascun dels quals tindrà la seva pròpia temperatura mínima i màxima, així com la seva pròpia fase. En aquest cas, cada component es mesurarà de mínim a màxim i viceversa. La funció matemàtica que descriu els pics superior i inferior de la corba, així com la fase de cadascun dels harmònics, s'anomena transformada de Fourier de l'expressió de distribució de temperatura. L'autor de la teoria va reduir la funció de distribució general, que és difícil de descriure matemàticament, a una sèrie molt fàcil de manejar de funcions periòdiques cosinus i sinus que se sumen a la distribució original.
El principi de transformació i les opinions dels contemporanis
Els contemporanis del científic -els principals matemàtics de principis del segle XIX- no van acceptar aquesta teoria. L'objecció principal va ser l'afirmació de Fourier que una funció discontínua que descriu una línia recta o una corba discontínua es pot representar com una suma d'expressions sinusoïdals que són contínues. Com a exemple, considereu el "pas" de Heaviside: el seu valor és zero a l'esquerra del buit i un a la dreta. Aquesta funció descriu la dependència del corrent elèctric de la variable de temps quan el circuit està tancat. Els contemporanis de la teoria d'aquella època no s'havien trobat maiuna situació en què l'expressió discontínua es descriuria mitjançant una combinació de funcions contínues i ordinàries, com ara exponencial, sinusoide, lineal o quadràtica.
Què va confondre els matemàtics francesos en la teoria de Fourier?
Després de tot, si el matemàtic tenia raó en les seves afirmacions, resumint la sèrie infinita de Fourier trigonomètrica, podeu obtenir una representació exacta de l'expressió del pas encara que tingui molts passos semblants. A principis del segle XIX, una afirmació semblant semblava absurda. Però malgrat tots els dubtes, molts matemàtics han ampliat l'abast de l'estudi d'aquest fenomen, portant-lo més enllà de l'àmbit dels estudis de conductivitat tèrmica. Tanmateix, la majoria dels científics van continuar agonitzant-se per la pregunta: "La suma d'una sèrie sinusoïdal pot convergir al valor exacte d'una funció discontínua?"
Convergència de sèries de Fourier: exemple
La qüestió de la convergència es planteja sempre que cal sumar sèries infinites de nombres. Per entendre aquest fenomen, considereu un exemple clàssic. Podràs arribar mai a la paret si cada pas successiu fa la meitat de l'anterior? Suposem que estàs a dos metres de la porteria, el primer pas t'acosta a la meitat, el següent a la marca dels tres quarts, i després del cinquè faràs gairebé el 97 per cent del recorregut. Tanmateix, no importa quants passos feu, no aconseguireu l'objectiu previst en un sentit matemàtic estricte. Mitjançant càlculs numèrics, es pot demostrar que al final es pot acostar tant com vulgui.petita distància especificada. Aquesta prova equival a demostrar que el valor de la suma de la meitat, un quart, etc. tendirà a un.
Qüestió de convergència: la segona vinguda o l'aparell de Lord Kelvin
Aquesta qüestió es va plantejar repetidament a finals del segle XIX, quan es va intentar utilitzar les sèries de Fourier per predir la intensitat del flux i el reflux. En aquest moment, Lord Kelvin va inventar un dispositiu, que és un dispositiu informàtic analògic que permetia als mariners de la flota militar i mercant rastrejar aquest fenomen natural. Aquest mecanisme determinava els conjunts de fases i amplituds a partir d'una taula d' altures de marees i els seus moments temporals corresponents, mesurats acuradament en un port determinat durant l'any. Cada paràmetre era un component sinusoïdal de l'expressió d'alçada de la marea i un dels components regulars. Els resultats de les mesures es van introduir a la calculadora de Lord Kelvin, que va sintetitzar una corba que va predir l'alçada de l'aigua en funció del temps per a l'any següent. Molt aviat es van traçar corbes similars per a tots els ports del món.
I si el procés es trenca per una funció discontínua?
En aquell moment, semblava obvi que un predictor d'ona de marea amb un gran nombre d'elements de recompte podia calcular un gran nombre de fases i amplituds i, per tant, proporcionar prediccions més precises. No obstant això, va resultar que aquesta regularitat no s'observa en els casos en què l'expressió de marea, que segueixsintetitzar, contenia un s alt fort, és a dir, era discontinu. En el cas que s'introdueixin dades al dispositiu a partir de la taula de moments de temps, es calcula diversos coeficients de Fourier. La funció original es recupera gràcies als components sinusoïdals (segons els coeficients trobats). La discrepància entre l'expressió original i restaurada es pot mesurar en qualsevol punt. Quan es fan càlculs i comparacions repetits, es pot veure que el valor de l'error més gran no disminueix. Tanmateix, es localitzen a la regió corresponent al punt de discontinuïtat, i tendeixen a zero en qualsevol altre punt. El 1899, aquest resultat va ser teòricament confirmat per Joshua Willard Gibbs de la Universitat de Yale.
Convergència de les sèries de Fourier i el desenvolupament de les matemàtiques en general
L'anàlisi de Fourier no és aplicable a les expressions que contenen un nombre infinit de ràfegues en un interval determinat. En general, les sèries de Fourier, si la funció original és el resultat d'una mesura física real, sempre convergeixen. Qüestions de la convergència d'aquest procés per a classes específiques de funcions han donat lloc a l'aparició de noves seccions en matemàtiques, per exemple, la teoria de les funcions generalitzades. S'associa amb noms com L. Schwartz, J. Mikusinsky i J. Temple. En el marc d'aquesta teoria, es va crear una base teòrica clara i precisa per a expressions com la funció delta de Dirac (descriu una àrea d'una sola àrea concentrada en un veïnatge infinitament petit d'un punt) i el Heaviside . pas”. Gràcies a aquest treball, la sèrie de Fourier es va fer aplicableresoldre equacions i problemes que impliquen conceptes intuïtius: càrrega puntual, massa puntual, dipols magnètics, així com una càrrega concentrada en un feix.
Mètode Fourier
Les sèries
Fourier, d'acord amb els principis d'interferència, comencen amb la descomposició de formes complexes en altres més simples. Per exemple, un canvi en el flux de calor s'explica pel seu pas a través de diversos obstacles fets de material termoaïllant de forma irregular o un canvi en la superfície de la terra - un terratrèmol, un canvi en l'òrbita d'un cos celeste - la influència de planetes. Per regla general, equacions similars que descriuen sistemes clàssics simples es resolen elementalment per a cada ona individual. Fourier va demostrar que també es poden sumar solucions simples per donar solucions a problemes més complexos. En el llenguatge de les matemàtiques, la sèrie de Fourier és una tècnica per representar una expressió com una suma d'harmònics: cosinus i sinusoides. Per tant, aquesta anàlisi també es coneix com a "anàlisi harmònica".
Sèrie Fourier: la tècnica ideal abans de l'"era de l'ordinador"
Abans de la creació de la tecnologia informàtica, la tècnica de Fourier era la millor arma de l'arsenal dels científics quan treballaven amb la naturalesa ondulatòria del nostre món. La sèrie de Fourier en una forma complexa permet resoldre no només problemes simples que es poden aplicar directament a les lleis de la mecànica de Newton, sinó també equacions fonamentals. La majoria dels descobriments de la ciència newtoniana al segle XIX només van ser possibles gràcies a la tècnica de Fourier.
Sèrie Fourier avui
Amb el desenvolupament dels ordinadors de transformada de Fourierelevat a un nivell completament nou. Aquesta tècnica està fermament arrelada en gairebé totes les àrees de la ciència i la tecnologia. Un exemple és un senyal d'àudio i vídeo digital. La seva realització només va ser possible gràcies a la teoria desenvolupada per un matemàtic francès a principis del segle XIX. Així, la sèrie de Fourier en una forma complexa va permetre fer un gran avenç en l'estudi de l'espai exterior. A més, va influir en l'estudi de la física de materials semiconductors i plasma, acústica de microones, oceanografia, radar, sismologia.
Sèrie de Fourier trigonomètrica
En matemàtiques, una sèrie de Fourier és una manera de representar funcions complexes arbitràries com una suma d' altres més simples. En casos generals, el nombre d'aquestes expressions pot ser infinit. A més, com més es tingui en compte el seu nombre en el càlcul, més precís serà el resultat final. Molt sovint, les funcions trigonomètriques de cosinus o sinus s'utilitzen com les més simples. En aquest cas, les sèries de Fourier s'anomenen trigonomètriques i la solució d'aquestes expressions s'anomena expansió de l'harmònic. Aquest mètode té un paper important a les matemàtiques. En primer lloc, la sèrie trigonomètrica proporciona un mitjà per a la imatge, així com l'estudi de les funcions, és l'aparell principal de la teoria. A més, permet resoldre una sèrie de problemes de física matemàtica. Finalment, aquesta teoria va contribuir al desenvolupament de l'anàlisi matemàtica, va donar lloc a una sèrie de seccions molt importants de la ciència matemàtica (la teoria de les integrals, la teoria de les funcions periòdiques). A més, va servir de punt de partida per al desenvolupament de les teories següents: conjunts, funcionsvariable real, anàlisi funcional i també va establir les bases per a l'anàlisi harmònic.
