En matemàtiques, el logaritme és la inversa de la funció exponencial. Això vol dir que el logaritme de lg és la potència a la qual s'ha d'elevar el nombre b per obtenir x com a resultat. En el cas més senzill, té en compte la multiplicació repetida del mateix valor.
Considereu un exemple concret:
1000=10 × 10 × 10=103
En aquest cas, és el logaritme de base deu de lg. És igual a tres.
lg101000=3
En general, l'expressió tindrà aquest aspecte:
lgbx=a
L'exponenciació permet augmentar qualsevol nombre real positiu a qualsevol valor real. El resultat sempre serà superior a zero. Per tant, el logaritme de dos nombres reals positius b i x, on b no és igual a 1, és sempre un nombre real únic a. A més, defineix la relació entre exponenciació i logaritme:
lgbx=a si ba=x.
Història
La història del logaritme (lg) neix a Europa al segle XVII. Aquesta és l'obertura d'una nova funcióva ampliar l'abast de l'anàlisi més enllà dels mètodes algebraics. El mètode dels logaritmes va ser proposat públicament per John Napier el 1614 en un llibre anomenat Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("Descripció de les notables regles dels logaritmes"). Abans de la invenció del científic, hi havia altres mètodes en àrees similars, com l'ús de taules de progressió desenvolupades per Jost Bürggi cap al 1600.
El logaritme decimal lg és el logaritme amb base deu. Per primera vegada, es van utilitzar logaritmes reals amb heurístics per convertir la multiplicació en suma, facilitant un càlcul ràpid. Alguns d'aquests mètodes utilitzaven taules derivades d'identitats trigonomètriques.
El descobriment de la funció ara coneguda com a logaritme (lg) s'atribueix a Gregory de Saint Vincent, un belga que viu a Praga, que intenta quadraturar una hipèrbola rectangular.
Utilitzar
Els logaritmes s'utilitzen sovint fora de les matemàtiques. Alguns d'aquests casos estan relacionats amb la noció d'invariància d'escala. Per exemple, cada cambra de la closca del nautilus és una còpia aproximada de la següent, reduïda o ampliada un cert nombre de vegades. Això s'anomena espiral logarítmica.
Les dimensions de les geometries fetes per si mateix, les parts de les quals semblen semblants al producte final, també es basen en logaritmes. Les escales logarítmiques són útils per quantificar el canvi relatiuvalors. A més, com que la funció logbx creix molt lentament a x gran, s'utilitzen escales logarítmiques per comprimir dades científiques a gran escala. Els logaritmes també apareixen en nombroses fórmules científiques com l'equació de Fenske o l'equació de Nernst.
Càlcul
Alguns logaritmes es poden calcular fàcilment, per exemple log101000=3. En general, es poden calcular mitjançant sèries de potències o la mitjana aritmètica-geomètrica, o extreure's de una taula de logaritmes precalculats, que té una alta precisió.
El mètode iteratiu de Newton per resoldre equacions també es pot utilitzar per trobar el valor del logaritme. Com que la funció inversa del logarítmic és exponencial, el procés de càlcul es simplifica molt.
