A l'àlgebra hi ha un concepte de dos tipus d'igu altats: identitats i equacions. Les identitats són aquestes igu altats que són factibles per a qualsevol valor de les lletres incloses en elles. Les equacions també són igu altats, però només són factibles per a certs valors de les lletres incloses en elles.
Les lletres solen ser desiguals pel que fa a la tasca. Això vol dir que alguns d'ells poden assumir qualsevol valor permesos, anomenats coeficients (o paràmetres), mentre que altres, s'anomenen incògnites, prenen valors que cal trobar en el procés de solució. Per regla general, les quantitats desconegudes es denoten en les equacions amb lletres, les darreres en l'alfabet llatí (x.y.z, etc.), o amb les mateixes lletres, però amb un índex (x1, x 2, etc.), i els coeficients coneguts estan donats per les primeres lletres del mateix alfabet.
En funció del nombre d'incògnites, es distingeixen equacions amb una, dues i diverses incògnites. Així, tots els valors de les incògnites per als quals l'equació que es resol es converteix en una identitat s'anomenen solucions de les equacions. Una equació es pot considerar resolta si es troben totes les seves solucions o es demostra que no en té cap. La tasca "resoldre l'equació" a la pràctica és habitual i significa que cal trobar l'arrel de l'equació.
Definició: les arrels d'una equació són aquells valors de les incògnites del rang de valors admissibles en què l'equació que es resol es converteix en una identitat.
L'algorisme per resoldre absolutament totes les equacions és el mateix, i el seu significat és reduir aquesta expressió a una forma més senzilla mitjançant transformacions matemàtiques. Les equacions que tenen les mateixes arrels s'anomenen equivalents en àlgebra.
L'exemple més senzill: 7x-49=0, l'arrel de l'equació x=7;x-7=0, de la mateixa manera, l'arrel x=7, per tant, les equacions són equivalents. (En casos especials, és possible que les equacions equivalents no tinguin arrels en absolut.)
Si l'arrel d'una equació és també l'arrel d'una altra equació més senzilla obtinguda a partir de l'original mitjançant transformacions, aquesta última s'anomena conseqüència de l'equació anterior.
Si una de les dues equacions és conseqüència de l' altra, es consideren equivalents. També s'anomenen equivalents. L'exemple anterior ho il·lustra.
Sovint és difícil resoldre fins i tot les equacions més senzilles a la pràctica. Com a resultat de la solució, podeu obtenir una arrel de l'equació, dues o més, fins i tot un nombre infinit, depèn del tipus d'equacions. També n'hi ha que no tenen arrels, s'anomenen indecidibles.
Exemples:
1) 15x -20=10; x=2. Aquesta és l'única arrel de l'equació.
2) 7x - y=0. L'equació té un nombre infinit d'arrels, ja que cada variable pot tenir infinitatnombre de valors.
3) x2=- 16. Un nombre elevat a la segona potència sempre dóna un resultat positiu, de manera que és impossible trobar l'arrel de l'equació. Aquesta és una de les equacions irresolubles esmentades anteriorment.
La correcció de la solució es comprova substituint les arrels trobades en lloc de lletres i resolent l'exemple resultant. Si la identitat es manté, la solució és correcta.
